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2015年高二年级数学竞赛试题答案


2015 年益阳市六中 高二年级数学竞赛试题答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 5*12=60 分) 1 1 1、 已知 loga >logb >0, 则 a、 b 的关系是 3 3 A.1<b<a B.1<a<b C.0<a<b<1 D.0<b<a<1 ) ( D )

2、命题甲: “α=2kπ 且 β=2nπ,k、n∈Z” ,命题乙: “

cosα+cosβ=2” ,则甲是乙的( A (A)充分非必要条件; (C) 充要条件; 3 函数 y=2cos(sinx)的值域是 A.[0,2cos1] 4、 函数 f(x)= A. -1; B.[-2,2] C.[2cos1,2] (B)必要非充分条件; (D)既不充分又不必要条件 ( C )

D.[-2cos1,2cos1] ( ) 1 D. 2 ( B ) 3 2

|x-1|-a 是奇函数, 则实数 a 的值为 1-x2 B. 1; 1 C. - 2

5 1 5、 已知π <θ < π , sin2θ = , 则 cosθ —sinθ 等于 4 2 A、 1 2 B、- 1 2 C、 3 2

D、-

6、 函数 y=-xcosx 的部分图象是上图中的

( D

)

7、 已指数列{an}的前 n 项的和 Sn=an-1 (a 是不为 0 的实数), 那么{an} A、 一定是等差数列 B、一定是等比数列



C



C、 或者是等差数列,或者是等比数列 D、既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 8. 直线 x ? ay ? 1 ? 0(a ? R ) 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 的交点个数是(
2 2

C

) D.无数个

A. 0

B. 1

C. 2

9. 今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社

区开展募捐活动, 第一天只有 10 人捐款, 人均捐款 10 元, 之后通过积极宣传, 从第二天起, 每天的 捐款人数是前一天的 2 倍,且人均捐款数比前一天多 5 元.则截止第 5 天(包括第 5 天)捐款总数是( B A.4800 元 ). B.8000 元 C.9600 元 D.11200 元 ) D.

10. 函数 f ? x ? ? cos2x ? sin x( x ? R ) 的最大值和最小值分别为( D A.

7 , 0 8

B.

7 , ?2 8

C.

9 , 0 8

9 , ?2 8

11、定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上是增函 数,下面关于函数 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数 ③ f(x) 在 [0 , 1] 上 是 增 函 数 , ( D ) B、②③
2

②f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ④ f(x) 在 [1 , 2] 上 是 增 函 数 其 中 正 确 的 判 断 是

A、①④

C、①②③

D、①②④

2 2 12. 若点 ? a, b ? 是圆 x ? ? y ? 1? ? 1 内的动点,则函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的一个零点在

? ?1,0? 内,
1 4

另一个零点在 ? 0,1? 内的概率为( A



A.

B.

1

?

C.

1 2

D.

2

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 4*5=20 分)

13、 等差数列{an}中, 已知 a4+a7+a10=18, a6+a8+a10=27, 若 ak=21, 则 k=____12_____
14. 已知大于 1 的实数 x, y 满足 lg ? 2x ? y ? ? lg x ? lg y , 则 lg x ? lg y 的最小值为

3lg 2

.

15. 设 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b =0, 则 ? a ? b? ? ? b ? c ? 的最大值为
w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

1? 2

.

16. 在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ? 1 ,如果椭圆经过 A, B 两点,它的一个焦点为 C ,另一个 焦 点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为

6? 3

.

三、解答题: (要求:必须写清楚必要的步骤和必需的证明过程) (共 70 分) 17、求和: 解:

S=1 + 2x + 3x2 + ? + nxn-1

(10 分)

(1) x=1

(2)x=0

(3)x 不等于 1 且不等于 0

∴ S=
ax2+1 18、已知 f(x)= (a、b、c∈Z)是奇函数,又 f(1)=2 f(2)<3 bx+c ① 求 a、b、c 的值。 ② 当 x<0 时,讨论 f(x)的单调性(写出证明过程) (12 分) 解:

(1) a=1,b=1,c=0

(2) (略)
19. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,已知 C ? 2 A, cos A ? (1) 求 cos B 的值; (2)求 b 的值. 解: (1)∵ C ? 2 A, cos A ? ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

? ??? ? 27 3 ??? , BA?BC ? . 4 2

3 ? 0, 4
2
2

1 ?3? cos C ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 0 . 8 ?4? 0 ? A ? ?,0 ? C ? ? , ? ? 0 ? A ? ,0 ? C ? . 2 2 3 7 7 , sin C ? 1 ? cos 2 C ? . sin A ? 1 ? cos 2 A ? 8 4 cos B ? cos ? ?? ? ? A ? C ?? ? ? ? cos ? A ? C ?

? ? ? cos A cos C ? sin Asin C ?

9 . 16 ??? ? ??? ? 27 (2) ∵ BA?BC ? , 2

?

∴ ac cos B ? ∴ ac ? 24 . ∵

27 . 2

a c c c ? ? ? , sin A sin C sin 2 A 2sin A cos A c 2 ? c. ∴a ? 2 cos A 3 2 ? ? a ? 4, ?a ? c, 由? 解得 ? 3 ?c ? 6. ? ?ac ? 24.
2 2 ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 4 ? 6 ? 2 ? 24 ?

∴ b ? 5.

9 ? 25 . 16

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 45? , 在半平面 ? 内有一个半圆 O , 其直径 AB 在 l 上,

M 是这个半圆 O 上任一点(除 A 、 B 外), 直线 AM 、 BM 与另一个半平面 ? 所成的
角分别为 ?1 、 ?2 . 试证明 cos2 ?1 ? cos2 ?2 为定值. 证明:过 M 作 MH ? ? , H 为垂足,在 ? 内,作 MK ? AB , K 为垂足, 连接 KH , AH , BH ,则 ?MAH ? ?1 , ?MBH ? ?2 . ∵ MH ? ? , AB ? ? , ∴ MH ? AB . ∵ MK ? MH ? M , MK ? 平面 MHK , MH ? 平面 MHK , ∴ AB ? 平面 MHK . ∵ HK ? 平面 MHK , ∴ AB ? HK . ∴ ?MKH 是二面角 ? ? l ? ? 的平面角.
? ∴ ?MKH ? 45 .

?
M

K A B

l

2 H MK . 2 ? 2 2 2 在 Rt ?AMB 中, AM ? AK ?AB, BM ? BK ?AB, MK ? AK ?BK . MH MH ,sin ? 2 ? 在 Rt ?MHA 和 Rt ?MHB 中, sin ?1 ? . AM MB
∴ MH ? ∴ sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ?

MH 2 MH 2 MK 2 MK 2 ? ? ? AM 2 MB 2 2 AK ?AB 2 BK ?AB

AK ?BK AK ?BK ? 2 AK ?AB 2 BK ?AB BK ? AK ? 2 AB AB 1 ? ? . 2 AB 2 ?
2 2 ∴ cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? 2 ? ( sin ?1 ? sin ? 2 ) ?

3 2

21. (本小题满分 12 分) 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 10 , BC ? 6 , 现以矩形 ABCD 的 AB 边为 x 轴, AB 的 中点 为原点建立直角坐标系, P 是 x 轴上方一点, 使得 PC 、 PD 与线段 AB 分别交于点 C1 、

D1 , 且 AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列.
(1) 求动点 P 的轨迹方程; (2) 求动点 P 到直线 l : x ? y ? 6 ? 0 距离 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标. 解: (1)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ? y ? 0? ,过 P 作 PE // CD 交 DA 的延长线于 E ,交 CB 的 延长线于 F . 在 ?DPE 中,
y

D1 A PE

?

DA DE

, 得

D1 A 5? x

?

6 , 6? y
F P E

6 ?5 ? x ? 得 D1 A ? . 6? y
在 ?PCD 中,

C1 D1

y ? , ? ? CD PD ED 6 ? y

PD1

EA

C1 B
18

D1 O A x

16

得 C1 D1 ?

10 y . 6? y

14

C

12

D

6 ?5 ? x ? 同理可得 C1 B ? . 6? y
∵ AD1 , D1C1 , C1B 成等比数列,

10

y
8

6

4

2

-30

-25

-20

-15

-10

-5 -2

O l
-4

5

x

10

15

∴ D1C1 ? AD1 ?C1 B .

2

6 ?5 ? x ? 6 ?5 ? x ? ? 10 y ? ? ∴ ? . ? ? 6? y 6? y ?6? y ?
2

化简得

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . 25 9

x2 y 2 ? ? 1? y ? 0 ? . ∴ 动点 P 的轨迹方程为 25 9
(2)由图易知当与直线 l 平行的直线与半椭圆相切于点 P 时,点 P 到直线 l 距离的最大. 设与直线 l : x ? y ? 6 ? 0 平行的直线方程为 x ? y ? k ? 0 ,代入 得 34 x2 ? 50kx ? 25k 2 ? 225 ? 0 ,①
2 2 由 ? ? 2500k ? 3400 k ? 9 ? 0 ,

x2 y 2 ? ? 1, 25 9

?

?

解得 k 2 ? 34 ,由 k ? 0 ,得 k ? ? 34 .

故点 P 到直线 l 距离的最大值为

k ?6 2

?

? 34 ? 6 2

? 3 2 ? 17 .

把 k ? ? 34 代入①式,可解得点 P 的坐标为 ?

? 25 34 9 34 ? ? 34 , 34 ? ?. ? ?

22. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1) ?

5 ,且对于任意实数 x、 y , 2

总有 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ) 成立. (1)求 f (0) 的值,并证明 f ( x ) 为偶函数; (2)若数列 {an } 满足 an ? 2 f (n ? 1) ? f (n)(n ? 1, 2,3,?) ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若对于任意非零实数 y ,总有 f ( y ) ? 2 .设有理数 x1 , x2 满足 | x1 |?| x2 | ,判断 f ( x1 ) 和 f ( x2 ) 的大小关系,并证明你的结论.

解:(1)令 x ? 1, y ? 0 ,? f ?1? ? f ? 0? ? f ?1? ? f ?1? ,又? f (1) ?

5 ,? f ? 0? ? 2 . 2

令 x ? 0 ,得 f (0) f ( y) ? f ( y) ? f (? y) ,即 2f ( y) ? f ( y) ? f (? y)

? f ( y) ? f (? y) 对任意的实数 y 总成立, ? f ? x ? 为偶函数.
(2)令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? f ?1? ? f ? 2? ? f ? 0? ,?

25 17 ? f (2) ? 2 ,? f (2) ? . 4 4

? a1 ? 2 f (2) ? f (1) ?

17 5 ? ? 6. 2 2

令 x ? n ? 1, y ? 1 ,得 f (n ? 1) f (1) ? f (n ? 2) ? f (n) ,

? f (n ? 2) ?

5 f (n ? 1) ? f (n) . 2

?5 ? ? an?1 ? 2 f ? n ? 2 ? ? f ? n ? 1? ? 2 ? f ? n ? 1? ? f ? n ?? ? f ? n ? 1? ? 4 f ? n ? 1? ? 2 f ? n ? ?2 ?

? 2[2 f (n ? 1) ? f (n)] ? 2an

(n …1).

? {an } 是以 6 为首项,以 2 为公比的等比数列.
∴ an ? 6 ? 2n?1 . (3)结论: f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 证明:∵ y ? 0 时, f ( y ) ? 2 , ∴ f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? 2 f ( x) ,即 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? y ) . ∴令 x ? ky( k ? N ) , 故 ?k ? N , 总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] 成
+ +

立. 则

f [(k ? 1) y] ? f (ky) ? f (ky) ? f [(k ?1) y] ? f [(k ?1) y] ? f [(k ? 2) y] ? ? ? f ( y) ? f (0) ? 0
∴对于 k ? N ,总有 f [(k ? 1) y] ? f (ky) 成立.
+

+ ∴对于 m, n ? N ,若 n ? m ,则有 f (ny ) ? f ? ?? n ? 1? y ? ? ? ? ? f (my ) 成立.

∵ x1 , x2 ? Q ,所以可设 | x1 |?

q1 q ,| x2 |? 2 ,其中 q1 , q2 是非负整数, p1 , p2 都是正整数, p1 p2

则 | x1 |?

q1 p2 pq 1 , t ? q1 p2 , s ? p1q2 ,则 t , s ? N+ . ,| x2 |? 1 2 ,令 y ? p1 p2 p1 p2 p1 p2

∵ | x1 |?| x2 | ,∴ t ? s ,∴ f (ty) ? f ( sy ) ,即 f (| x1 |) ? f (| x2 |) . ∵函数 f ( x ) 为偶函数,∴ f (| x1 |) ? f ( x1 ), f (| x2 |) ? f ( x2 ) . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) .


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