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江苏省扬州中学2016届高三上学期10月月考试题 数学(文) Word版含答案


江苏省扬州中学高三数学(文科)月考试卷 数 学
2015.10 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1、已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N= a+i 2、复数 z= 为纯虚数,则实数 a 的值为 1-i 3、抛物线 y ? 4 x2 的焦点到准线的

距离是 4、“ x ? 1 ”是“ . . .

1 ? 1 ”的 条件. x ? ? ? ? ? ? 5、向量 a ? (1,2)、 b ? (-3,2),若( ka ? b )∥( a ? 3b ),则实数 k=_________.
6、已知 m 为任意实数,则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 必过定点_________. 7、若关于 x 的方程 cos2x+4sinx-a=0 有解,则实数 a 的取值范围是 .

?π 3?,则 φ 的最 8、将 y=sin2x 的图像向右平移 φ 单位(φ>0) ,使得平移后的图像仍过点 , ?3 2 ?
小值为_______. 9、若函数 f (x)=mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是_________. 10、已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. → 1→ → → 11、已知△ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 AB + AC = AD ,且| CD |= 3, 2 →→ 那么 DA · DC = 12、已知椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2 ,点 P 是椭圆上某一点,椭圆 a 2 b2

的左准线为 l , PQ ? l 于 Q 点,若四边形 PQFF 1 2 为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范 围是
?-x2+ax (x≤1) 13、已知函数 f (x)=? ,若 ? x1, x2∈R,x1≠x2,使得 f (x1)=f (x2)成立,则实 (x>1) ?2ax-5

数 a 的取值范围是



1 1 14、已知函数 f (x)满足 f (x)=f ( ),当 x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[ ,3]内,函数 g(x)=f (x) x 3 -ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本小题满分 14 分)

已知直线 l1 : (m ? 2) x ? (m ? 3) y ? 5 ? 0 和 l2 : 6 x ? (2m ? 1) y ? 5 . 问:m 为何值时,有: (1) l1

? l2 ;

(2) l1 ? l2 .

16、 (本小题满分 14 分) π 1 已知函数 f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点 M? , ?,且与 x 轴两个相邻的 ?3 2? 交点的距离为 π. (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)= ,f (B)= ,求△ABC 的面积. 5 13

17、(本小题满分 15 分) 已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120?,当 k 为何值时, (1)ka-b 与 a-kb 垂直; (2)|ka-2b|取得最小值?并求出最小值.

18、 (本小题满分 15 分) 如图①,一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C,村庄 B 与 A、C 的直线距离都是 2km,BC 与河岸垂直,垂足为 D.现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A、B 供电.修建地下 电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元/km、4 万元/km. (1)已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆,但旧电缆需要改造,改造费用是 0.5 万元/km.现决 定利用此段旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总施工费用的最小 值. π (2) 如图②, 点 E 在线段 AD 上, 且铺设电缆的线路为 CE、 EA、 EB. 若∠DCE=θ(0≤θ≤ ), 3 试用 θ 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

19、 (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,离心率为 , P 点是椭圆上某一点, 2 a b 2

?PF1F2 的周长为 4 ? 2 3 ,
(1)求椭圆的标准方程; (2)以椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC ,设直线 AB 的斜率 为k (k ? 0) ,求所有满足要求的 k .

20、 (本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,函数 f (x)=a· lnx+x2-4x. (1)是否存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值?证明你的结论; (2)若函数 f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; 1+a (3)设 g(x)=2alnx+x2-5x- ,若存在 x0∈[1, e],使得 f (x0)<g(x0)成立,求实数 a 的取 x 值范围.

高三数学(文科)月考试卷 答案 2015.10.6
1、(0,1) 6、 (9,-4) 11、3 2、1 7、[-4,4] 12、 ( ,1) 3、

1 8

4、充分不必要” 1 9、[ ,+∞) 2 ln3 1 14、? , ? ? 3 e?

5、- 10、4

1 3

π 8、 6 13、 (-∞,4)

1 2

15、解: (1)∵ l1 ? l2 ,∴ (m ? 2)(2m ? 1) ? 6m ? 18 ,得 m ? 4 或 m ? ?

5 ; 2

当 m=4 时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即 l1 与 l2 重合,故舍去.

5 1 1 时, l1 : ? x ? y ? 5 ? 0, l2 : 6 x ? 6 y ? 5, 即 l1 ? l2 2 2 2 5 ∴当 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2 9 (2)由 6(m ? 2) ? ( m ? 3)(2 m ?1) ? 0 得 m ? ?1 或 m ? ? ; 2 9 ∴当 m ? ?1 或 m ? ? 时, l1 ? l2 . 2
当m ? ? 16、解:(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ)

………7 分

………14 分

π π 1 π π 4π π 5π π ∵f ( )=sin( +φ)= ,且 0<φ<π ∴ < +φ< ∴ +φ= 即 φ= 3 3 2 3 3 3 3 6 2 π ∴f (x)=sin?x+ ?=cosx. ? 2? 3 5 (2)∵f (A)=cosA= ,f (B)=cosB= , 5 13 4 12 ∴sinA= ,sinB= 5 13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 65 a b ∵在△ABC 中 = sinA sinB ∴b=15. π ∴A,B∈(0, ) 2 ………8 分 ………10 分 ………12 分 ………14 分 ………6 分

1 1 56 ∴S△ABC= absinC= ?13?15? =84. 2 2 65

17、解: (1)∵ka-b 与 a-kb 垂直,∴(ka-b)?(a-kb)=0. ∴ka2-k2a?b-b?a+kb2=0.∴9k-(k2+1)?3?2?cos120°+4k=0. -13± 133 ∴3k2+13k+3=0.∴k= . ………7 分 6 (2)∵|ka-2b|2=k2a2-4ka?b+4b2=9k2-4k?3?2?cos120°+4?4 =9k2+12k+16=(3k+2)2+12. 2 ∴当 k=- 时,|ka-2b|取得最小值为 2 3. ………15 分 3 18、解: (1)由已知可得△ABC 为等边三角形,∵AD⊥CD,∴水下电缆的最短线路为 CD. 过 D 作 DE⊥AB 于 E,可知地下电缆的最短线路为 DE、AB. ………3 分

又 CD=1,DE= 1?4+

3 ,AB=2,故该方案的总费用为 2

3 ?2+2?0.5=5+ 3 (万元) . …………6 分 2

π (2)∵∠DCE=θ (0≤θ≤ ) 3 1 ∴CE=EB= ,ED=tanθ,AE= 3-tanθ. cosθ 则 y= 3-sinθ 1 1 ?4+ ?2+( 3-tanθ)?2=2? +2 3 ……9 分 cosθ cosθ cosθ 3-sinθ π (0≤θ≤ ) cosθ 3

令 f (θ)=

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ) 3sinθ-1 则 f ?(θ)= = ,……11 分 cos2θ cos2θ π 3 1 π ∵0≤θ≤ ,∴0≤sinθ≤ ,记 sinθ0= ,θ0∈(0, ) 3 2 3 3 1 当 0≤θ<θ0 时,0≤sinθ< ,∴f ?(θ)<0 3 π 1 3 当 θ0<θ≤ 时, <sinθ≤ ,∴f ?(θ)>0 3 3 2 π ∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减,在(θ0, ]上单调递增.……13 分 3 1 3- 3 2 ∴f (θ)min=f (θ0)= =2 2,从而 ymin=4 2+2 3,此时 ED=tanθ0= , 4 2 2 3 答:施工总费用的最小值为(4 2+2 3)万元,其中 ED= 2 . ……15 分 4

? 2 a ? 2c ? 4 ? 2 3 ? ? ?a ? 2 19、解: (1)由题意得 ? c , ? ? 3 ? ?c ? 3 ? ? 2 ?a

?b ? 1

? 椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ---------------------6 分 ? ? 1. 4 1 (2)设 BA 的直线方程为设 y ? kx ? 1 , (不妨设 k ? 0 )
? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , ?1 ? ? ?4 1

? x1 ? 0, x2 ?
? AB ? (

?8k ?8k ?8k 2 ? A ( , ? 1) 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

----------------------8 分

?8k 2 ?8k 2 2 8k ) ? ( ) ? 2 k 2 ?1 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1

? BC ?

8 k 2 ?1 k2 ? 4

由 AB ? BC 得 k (k 2 ? 4) ? 4k 2 ? 1 ,即 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0 ,即 k ? 1 或 k ? 注:求出 k ? 1 给 2 分 2x2-4x+a a 20、解: (1)函数 f (x)定义域为(0,+∞),f ?(x)= +2x-4= x x 假设存在实数 a,使 f (x)在 x=1 处取极值,则 f ?(1)=0,∴a=2,

3? 5 2

……2 分

2(x-1)2 此时,f ?(x)= , x ∴当 0<x<1 时,f ?(x)>0,f (x)递增;当 x > 1 时,f ?(x)>0,f (x)递增. ∴x=1 不是 f (x)的极值点. 故不存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值. ………4 分 2x2-4x+a 2(x-1)2+a-2 (2)f ?(x)= = , x x ①当 a≥2 时,∴f ?(x)≥0,∴f (x)在(0,+∞)上递增,成立; ………6 分 a a ②当 a<2 时,令 f ?(x)>0,则 x>1+ 1- 或 x<1- 1- , 2 2 a ∴f (x)在(1+ 1- ,+∞)上递增, 2 a ∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,∴1+ 1- <3,解得:6<a<2 2 综上,a>-6. ………10 分 ( 3 )在 [1,e] 上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在 [1,e] 上存在一点 x0 ,使得
x 1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a )] 有 h?( x) ? 1 ? 2 ? ? ? x x x2 x2

h ? x0 ? ? 0 ,即函数 h ? x ? ? x ? 1 ? a ? a ln x 在[1,e]上的最小值小于零.

①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递减, 所以 h ? x ? 的最小值为 h ? e ? ,由 h ? e ? ? e ? 因为

e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e
………12 分

e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 ②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时, h ? x ? 在 ?1,e ? 上单调递增,
所以 h ? x ? 最小值为 h ?1? ,由 h ?1? ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; 因为 0 ? ln ?1 ? a ? ? 1 ,所以, 0 ? a ln ?1 ? a ? ? a ,

………14 分

③当 1 ? a ? 1 ? e , 即 0 ? a ? e ? 1 时, 可得 h ? x ? 最小值为 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? , 故 h ?1 ? a ? ? 2 ? a ? a ln ?1 ? a ? ? 2 此时不存在 x0 使 h ? x0 ? ? 0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: a ?

e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

………16 分

1 1 解法二:由题意得,存在 x∈[1, e],使得 a(lnx- )>x+ 成立. x x 1 1 令 m(x)=lnx- ,∵m(x)在[1, e]上单调递增,且 m(1)=-1<0, m(e)=1- >0 x e

故存在 x1∈(1,e),使得 x∈[1, x1)时,m(x)<0;x∈(x1, e]时,m(x)>0 x2+1 故存在 x∈[1, x1)时,使得 a< 成立,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (☆) xlnx-1 x2+1 或存在 x∈(x1, e]时,使得 a> 成立,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (☆☆) ………12 分 xlnx-1 x2+1 (x2-1)lnx-(x+1)2 记函数 F(x)= ,F ?(x)= xlnx-1 (xlnx-1)2

?lnx-x+1? 当 1<x≤e 时,(x2-1)lnx-(x+1)2=(x2-1)· ? x-1? ? ?
x+1 2 2 ∵G(x)=lnx- =lnx- -1 递增,且 G(e)=- <0 x-1 x-1 e-1 ∴当 1<x≤e 时,(x2-1)lnx-(x+1)2<0,即 F ?(x)<0 ∴F(x)在[1, x1)上单调递减,在(x1, e]上也是单调递减, ∴由条件(☆)得:a<F(x)max=F(1)=-2 由条件(☆☆)得:a>F(x)min=F(e)= e2+1 综上可得,a> 或 a<-2. e-1 e2+1 e-1 ………16 分 ………14 分


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