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第1章 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第3讲 简单的逻辑联结词、全称
量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; 2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定.

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考点突破

课堂总结

知识梳理 1.简单的逻辑联结词 且 、___ 或 、___

非 叫做逻辑联结词. (1)命题中的___ (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p


真 假 假


假 真 假

___ 真
___ 假 假 假


真 真 ___ 假
基础诊断




___ 真 ___ 真
考点突破 课堂总结

2.全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 ? ”表示;含有全称量词的命题叫 叫做全称量词,用“___

做全称命题.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中 ? ”表示;含有存在量词的命 通常叫做存在量词,用“___ 题叫做特称命题. 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,?p(x0) _________________ ________________ ?x∈M,?p(x)
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (×) (√ ) (3)已知命题p:?n0∈N,2n0>1 000,则? p:?n0∈N,2n0≤ 1 000. (×)

(1)命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.

(2)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.

(4)命题“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x∈R,x2<0”. (×)
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.(2014·重庆卷)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;
q : x = 1 是方程 x + 2 = 0 的根.则下列命题为真命题的是 ( )

A.p∧?q
C.?p∧?q 解析

B.?p∧q
D.p∧q

由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故?q

为真命题,所以p∧?q为真命题. 答案 A

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3.(2014· 湖南卷)设命题p:?x∈R,x2+1>0,则? p为 ( A.?x0∈R,x2 0+1>0 C.?x0∈R,x2 0+1<0 B.?x0∈R,x2 0+1≤0 D.?x∈R,x2+1≤0
2 0

)

解析

“?x∈R,x2+1>0”的否定为“?x0∈ R,x



1≤0”,故选B.
答案 B

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4.若命题“?x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取 值范围是________.
解析 当a=0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知
? ?a<0, ? 2 ? Δ = a +8a≤0, ?

得-8≤a<0.综上,-8≤a≤0.

答案

[-8,0]

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5.(人教A选修1-1P26A3改编)给出下列命题: ①?x∈N,x3>x2; ②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0; ③?x0∈R,x2 0-x0+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③

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考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断
【例1】 (1)(2014·辽宁卷)设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则 a∥c.则下列命题中真命题是 A.p∨q B.p∧q ( )

C.(?p)∧(?q)

D.p∨(?q)

(2)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则

命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
(
基础诊断 考点突破

)
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A.(?p)∨(?q)

B.p∨(?q)

C.(?p)∧(?q)

D.p∨q

解析 (1)由于a,b,c都是非零向量, ∵ a·b = 0 , ∴ a⊥b.∵b·c = 0 , ∴ b⊥c. 如图,则可能 a∥c ,

∴ a·c≠0 , ∴ 命题 p 是假命题, ∴ ?p 是真命题.命题 q 中,
a∥b ,则 a 与 b 方向相同或相反; b∥c ,则 b 与 c 方向相同或相 反.故a与c 方向相同或相反, ∴a∥c,即q是真命题,则?q是 假命题,故p∨q是真命题,p∧q,(?p)∧(?q),p∨(?q)都是假 命题.

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(2) 命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包含以下三 种情况:“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范

围,乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围,甲没有降
落在指定范围”.选A.或者,命题“至少有一位学员没有降落 在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命

题,即“p∧q”的否定.选A.
答案 (1)A (2)A 规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先 判断构成这个命题的每个简单命题的真假,再依据 “ 或 ” —— 一真即真, “且 ”——一假即假, “非” —— 真假相反,做出判

断即可.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练1】 (1)若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1, +∞),命题q:函数y=x- ∞),则 A.p∧q是真命题 C.? p是真命题 B.p∨q是假命题 D.? q是真命题 1 x 的单调递增区间是[1,+ ( )

(2)“p∨q”为真命题是“p∧q”为真命题的________条 件.

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解析

(1)因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所

以p是真命题; 1 因为函数y=x- x 的单调递增区间(-∞,0)和(0,+∞),所以 q是假命题. 所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,? p为假命题,? q为真命 题,故选D. (2)若命题“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题. 若命题“p∧q”为真命题,则p,q都为真命题,因此“p∨q”为真 命题是“p∧q”为真命题的必要不充分条件.
答案 (1)D (2)必要不充分
基础诊断 考点突破 课堂总结

深度思考

常常借助集合的“并、交、补”的意义来理解由

“或、且、非”三个联结词构成的命题问题,你清楚吗?

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考点二

全(特)称命题的否定及其真假判定

【例2】 (1)(2014· 安徽卷)命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ( A.?x∈R,|x|+x2<0 C.?x0∈R,|x0|+x2 0<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0
2 D.?x0∈R,|x0|+x0 ≥0

)

(2)(2014· 沈阳质量监测)下列命题中,真命题的是 A.?x∈R,x2>0 C.?x0∈R,2x0<0

(

)

B.?x∈R,-1<sin x<1 D.?x0∈R,tan x0=2
基础诊断 考点突破 课堂总结

解析 (1)全称命题的否定是特称命题,即命题“?x∈R,|x|+ x2≥0”的否定为“?x0∈R,|x0|+x 2 0 <0”.故选C.(2)?x∈R, x2≥0,故A错;?x∈R,-1≤sin 0,故C错,故选D.
答案 (1)C (2)D

x≤1,故B错;?x∈R,2x>

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规律方法

(1)对全(特)称命题进行否定的方法有:①找到命题

所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行

否 定 ; ② 对 原 命 题 的 结 论 进 行 否 定 . (2) 判 定 全 称 命 题
“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证 明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至 少能找到一个x=x0,使p(x0)成立.

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【训练2】 命题“存在实数x,使x>1”的否定是

(

)

A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1

D.存在实数x,使x≤1
解析 “存在实数 x ,使 x > 1” 的否定是 “ 对任意实数 x , 都有x≤1”.故选C. 答案 C

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考点三 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 【例3】 已知p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>

0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是
A.[2,+∞) B.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2]
解析

(

)

依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2

+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2 -4≥0,m≤-2或m≥2.因此由p,q均为假命题得
? ?m≥0, ? ? ?m≤-2或m≥2,

即m≥2.
基础诊断 考点突破 课堂总结

答案 A 规律方法 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对

两个简单命题进行化简,然后依据“p∨q”“p∧q”“?p”形
式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.

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【 训 练 3】 已 知 命 题 p : “ ? x∈[0,1] , a≥ex” ; 命 题 q :
“ ? x∈R ,使得 x2 + 4x + a = 0”.若命题“ p∧q”是真命 题,则实数a的取值范围是________. 解析 若命题 “p∧q”是真命题,那么命题 p , q 都是真命 题.由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x∈R,使x2+4x+a=

0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
答案 [e,4]

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微型专题 利用逻辑关系判断命题真假
2014年高考试题新课标全国Ⅰ卷中考查了一道实际问题的逻辑 推理题,这也是今后高考命题的新趋向,大家应加以重视,解 决问题的关键是弄清实际问题的含义,结合数学的逻辑关系进 行转化.

【 例 4】 (1)(2014·新课标全国 Ⅰ 卷) 甲、乙、丙三位同学被问
到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:我没去过C城市;

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课堂总结

丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2) 对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作 如下猜测:

甲:中国非第一名,也非第二名;
乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错, 则中国足球队得了第________名.

点拨 找出符合命题的形式,根据逻辑分析去判断真假.

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解析

(1) 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市

多,而丙说 “ 三人去过同一城市 ” ,说明甲去过 A , C 城市,
而乙 “ 没去过 C 城市 ” ,说明乙去过城市 A ,由此可知,乙去 过的城市为A. (2) 由上可知:甲、乙、丙均为 “ p 且 q” 形式,所以猜对一半 者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命 题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一 点评 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现

“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并
根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而 解决问题.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[思想方法] 1 .把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现 “或”、“且”、“非”字眼,要结合语句的含义理解.

2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀: p∨q→见真即真,
p∧q→见假即假,p与?p→真假相反. 3.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命

题,对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结
论”.

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[易错防范] 1.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否 定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命

题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
2.命题的否定包括:(1)对“若p,则q”形式命题的否定;(2) 对含有逻辑联结词命题的否定; (3)对全称命题和特称命题 的否定,要特别注意下表中常见词语的否定.

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词语

词语的否定

等于 大于
小于 是 一定是 都是 必有一个 任意的

不等于
不大于(或小于等于)

不小于(或大于等于)
不是 不一定是

不都是(至少有一个不是)
一个也没有 某一个


或 至多有一个


且 至少有两个
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