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第5章-第4课时:数列求和


高三总复习.数学(文)

第五章 第4课时





数列求和

考 点

考点一 分组转化求和 考点二 裂项相消法求和
考点三 错位相减法求和 ■方法探究?系列 ■应考迷津?展示

考纲·展示

1.转化

为等差、等比数列,用公式法求数列的和. 2.用裂项相消法求和. 3.用错位相减法求和. 4.数列求和与不等式证明或求解相结合.

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数列的求和方法

1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?n-1?d n?a1+an? na1+ 2 Sn= = ; 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

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数列的求和方法

2.倒序相加法
? 如果一个数列? ?an?的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ? ?

同一个常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数 列的前 n 项和公式即是用此法推导的.

3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项 和公式就是用此法推导的.

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数列的求和方法

4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而求得其和. 5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an =(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
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数列的求和方法

? [自测 1] 如果数列? ?an?满足 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?是首项

?

?

为 1,公比为 3 的等比数列,则 an 等于( 3n+1 A. 2 3n-1 C. 2
C

)

3n+3 B. 2 3n-3 D. 2

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数列的求和方法

? ? ? ? n ? ? ? [自测 2] 若数列? ?an?的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列?an?的前 n 项和

Sn 为(

) B.2n+1+n2-1 D.2n+n2-2

A.2n+n2-1 C.2n+1+n2-2
C

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数列的求和方法

n-1 ? [自测 3] 数列? · (4n-3),则它的前 100 项之 ?an?的通项公式为 an=(-1)
? ?

和 S100 等于( A.200
B

) B.-200 C.400 D.-400

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数列的求和方法

[自测 4] 3· 2-1+4· 2-2+5· 2-3+?+(n+2)· 2-n=__________.

n+4 4- 2 n

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数列的求和方法

[ 自测 5]

1 1 ( 教材改编 ) 数列 1 , , ,?的前 n 项和 Sn = 1+2 1+2+3

__________.

2n n+1

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考点一 分组转化求和

{突破点} 分清哪些项组合在一起可成为特殊数列便于求和
?bn an=bn± cn 或 an=? ?cn
? ?

n为奇数 ? ? ? ? ? ? ? ,数列? ?bn?,?cn?是等比数列或等差数列, n为偶数

? 采用分组求和法求? ?an?的前 n 项和.

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考点一 分组转化求和

1.(2014· 高考山东卷)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2,
? 所以数列? ?an?的通项公式为 an=2n. ? ?

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考点一 分组转化求和

n?n+1? (2)设 bn=a 2 ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn.
n?n+1? (2)由题意知 bn=a 2 =n(n+1), 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn· (n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),可得当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn) n 2?4+2n? n?n+2? =4+8+12+?+2n= = 2 , 2

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考点一 分组转化求和

当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn) ?n-1??n+1? ?n+1?2 = -n(n+1)=- 2 . 2
2 ? n + 1 ? ?- ? 2 ,n为奇数,

所以 Tn=?

?n?n+2?,n为偶数. ? 2

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考点一 分组转化求和

n2+n 2.(2014· 高考湖南卷)已知数列 a 的前 n 项和 Sn= 2 ,n∈N*.
? ? ? ? n? ? ? ? ? (1)求数列? ?an?的通项公式;

(1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n ?n-1?2+?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 2 - =n. 2
? 故数列? ?an?的通项公式为 an=n. ? ?

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考点一 分组转化求和

? (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列? ?bn?的前 2n 项和. ? ?

(2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn.
? 记数列? ?bn?的前 2n 项和为 T2n,则 ? ?

T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n, 2?1-22n? 则 A= =22n+1-2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n,
2n+1 ? 故数列? +n-2. ?bn?的前 2n 项和 T2n=A+B=2
? ?

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考点一 分组转化求和

?1?从通项公式入手,通过拆、并等手段,使通项成为 n 个等差,或等比 形式的和?或差?,可转化为公式法求和. ?2?若数列有周期性,先求出一个周期内的和,再转化其它数列?常数列? 求和.

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考点二 裂项相消法求和

{关键点1} 正确裂项是关键 1 形如a · 的数列可利用裂项相消法. b n n 常见的裂项公式 1 1 1 (1) =n- ; n?n+1? n+1 1 ? 1 1?1 (2) =k?n-n+k?; n?n+k? ? ?

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考点二 裂项相消法求和

1 ? 1 1? 1 - ?; (3) = ? ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 ? 1 1? 1 (4) =2?n?n+1?-?n+1??n+2??; n?n+1??n+2? ? ? (5) 1 n+ n+k 1 =k( n+k- n).

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考点二 裂项相消法求和

? 1.(2015· 辽宁五校联考)已知等差数列? ?an?,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,S3

?

?

=6 且满足 a3-a1,2a2,a8 成等比数列.
? ? ? (1)求? ?an?的通项公式;

(1)由 S3=6,得 a2=2. ∵a3-a1,2a2,a8 成等比数列, 4 ∴2d· (2+6d)=42,解得,d=1 或 d=-3. ∵d>0,∴d=1,
? ∴数列? ?an?的通项公式为 an=n. ? ?

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考点二 裂项相消法求和

1 ? ? ? (2)设 bn= ,求数列? ?bn?的前 n 项和 Tn. an· an+2
1 1 (2)∵bn= = , an· an+2 n?n+2? 1 1 1 1 ∴Tn= + + +?+ = 1×3 2×4 3×5 n?n+2?
?1 ?1 1 ?? ?1 1? 1? 1? 1?? ? ? ? ? ? ? - ? 1- ?+? - ?+? - ?+?+? ?? 3? ?2 4? ?3 5? 2?? ? ?n n+2??

1 1 ? 3n2+5n 1?3 =2?2-n+1-n+2?= . ? ? 4?n+1??n+2?

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考点二 裂项相消法求和

? 2. (2014· 高考山东卷)已知等差数列? 前 n 项和为 Sn, 且 S1, ?an?的公差为 2,

?

?

S2,S4 成等比数列.
? ? ? (1)求数列? ?an?的通项公式; 2×1 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ 2 ×2=2a1+2,

4×3 S4=4a1+ 2 ×2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1, 所以 an=2n-1.

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考点二 裂项相消法求和

(2)令 bn=(-1)n-1
(2)bn=(-1)n-1

4n ? ? ? ,求数列? ?bn?的前 n 项和 Tn. anan+1

4n 4n =(-1)n-1 anan+1 ?2n-1??2n+1?
?

1 ? ? 1 =(-1)n-1?2n-1+2n+1?.
?

当 n 为偶数时,
?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? 1? 1 ? ? ? + + ? ? ? ? Tn= 1+3?-?3+5?+?+ 2n-3 2n-1 - 2n-1 2n+1 =1- = 2n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2n . 2n+1
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考点二 裂项相消法求和

当 n 为奇数时,
?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1? 1? 1 ? ? ? Tn= 1+3?-?3+5?+?-?2n-3+2n-1?+?2n-1+2n+1?=1+ = 2n+1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2n+2 . 2n+1

?2n+2,n为奇数, ?2n+1 所以 Tn=? ? 2n ,n为偶数. ?2n+1

? 2n+1+?-1?n-1? ?或Tn= ? 2 n + 1 ? ?

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考点二 裂项相消法求和

将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项 ? ? ? 之差和系数之积与原通项相等.如:若? ?an?是等差数列, 1 ? 1 ? 1 1? 1 1 1 ?1 ?, ?. 则 = ? - = ? - anan+1 d?an an+1? anan+2 2d?an an+2?

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考点二 裂项相消法求和

{关键点2} 求和相消时,正确归纳消项的规律是中心环节 归纳得出哪些项消掉了,哪些项留下了.

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考点二 裂项相消法求和

? 3.已知等差数列? ?an?的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. ? ? ? (1)求? ?an?的通项公式;

?

?

? (1)设 an? ?的公差为 d,则 Sn=na1+

? ? ?

n?n-1? 2 d.

?3a1+3d=0, ?a1=1, 由已知可得? 解得? ?5a1+10d=-5. ?d=-1.
? 故? ?an?的通项公式为 an=2-n. ? ?

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考点二 裂项相消法求和

1 ? ? ? (2)求数列 a a ?的前 n 项和. ? 2n-1 2n+1?

(2)由(1)知

1 1 = a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n?

1 ? 1? 1 - ? =2 2n-3 2n-1?, ? ? 1 ? ? 从而数列?a a ?的前 n 项和为 ? 2n-1 2n+1? 1 1 ? 1? 1 1 1 1 n -1+1-3+?+ - ? ?= 2n-3 2n-1? 1-2n. 2?-1

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考点二 裂项相消法求和

* ? 4.在等比数列? ?an?中,a1>0,n∈N ,且 a3-a2=8,又 a1、a5 的等比中项
? ?

为 16.
? ? ? (1)求数列? ?an?的通项公式;
? (1)设数列? ?an?的公比为 q,由题意可得 a3=16, ? ?

∵a3-a2=8,则 a2=8,∴q=2.∴an=2n+1.

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考点二 裂项相消法求和

1 ? ? ? b (2)设 bn=log4an,数列? 的前 n 项和为 S ,是否存在正整数 k ,使得 ? n? n S+
1

1 1 1 * + +?+ < k 对任意 n ∈ N 恒成立?若存在, 求出正整数 k 的最小值; S2 S 3 Sn 不存在,请说明理由.

n+1 (2)∵bn=log42n+1= 2 , n?n+3? ∴Sn=b1+b2+?+bn= 4 . 1 ? 1 4 4?1 - ? ∵S = =3 n n+3?, n ? n + 3 ? ? ? n
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考点二 裂项相消法求和

1 1 1 1 ∴S +S +S +?+S 1 2 3 n 1 1 ? 4?1 1 1 1 1 1 =3?1-4+2-5+3-6+?+n-n+3?
? ?

1 1 1 ? 4? 1 1 =3?1+2+3-n+1-n+2-n+3?< ? ? 1 1? 4? 22 ? ? 1 + + = 2 3? 3? 9, ? ? ∴存在正整数 k,其最小值为 3.

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考点二 裂项相消法求和

通过多写几个前面的项和最后的几项,采取“试消”的方法来总结规律, 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面 也剩两项.

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考点三 错位相减法求和

{注意点1} “怎么错位”才可相减 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一 步准确写出“Sn-qSn”的表达式.即“错位”是为了两式中的同类项相 减.

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考点三 错位相减法求和

? 1.(2014· 高考安徽卷)数列? ?an?满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈

?

?

N*. a (1)证明:数列 n 是等差数列; ? an+1 an an+1 an ?an? ? a1 ? (1)证明:由已知可得 = n +1,即 - n =1,所以? n ? 是以 1 =1 为 n+1 n+1 ? ? ?
首项,1 为公差的等差数列.
? ? n? ? ? ? ? ? ? ?

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考点三 错位相减法求和

? (2)设 bn=3n· an,求数列? ?bn?的前 n 项和 Sn. an (2)解:由(1)得 n =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2. ? ?

从而 bn=n· 3n. Sn=1×31+2×32+3×33+?+n· 3n, 3Sn=1×32+2×33+?+(n-1)· 3n+n· 3n+1. ① ②

n 3· ? 1 - 3 ? ①-②得,-2Sn=31+32+?+3n-n· 3n+1= -n· 3n+1= 1-3

?1-2n?· 3n+1-3 . 2 ?2n-1?· 3n+1+3 所以 Sn= . 4
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考点三 错位相减法求和

? 2.(2014· 高考四川卷)设等差数列? ?an?的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=

?

?

2x 的图象上(n∈N*).
? (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列? ?an?的前 n 项和 Sn; ? ?

(1)由已知,b7=2a7,b8=2a8=4b7, 有 2a8=4×2a7=2a7+2.解得 d=a8-a7=2. 所以 Sn=na1+ n?n-1? 2 d =- 2 n + n ( n - 1) = n -3n. 2

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考点三 错位相减法求和

(2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-
? ?an? ? 1 ? ?的前 n 项和 T . n b ln 2,求数列? ? n? ?

(2)函数 f(x)=2x 在(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2),它在 1 x 轴上的截距为 a2-ln 2. 1 1 由题意知,a2-ln 2=2-ln 2,解得 a2=2. 所以 d=a2-a1=1,从而 an=n,bn=2n.

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考点三 错位相减法求和

n-1 n 1 2 3 所以 Tn=2+22+23+?+ n-1 +2n, 2 1 2 3 n 2Tn=1+2+22+?+ n-1. 2 1 1 1 n ∴②-①,2Tn-Tn=1+2+22+?+ n-1-2n 2 n 2 =2- n-1-2n= 2 1
n+1

① ②

-n-2 2n+1-n-2 .所以 Tn= . 2n 2n

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考点三 错位相减法求和

如果 Sn 表达式为①式,qSn 的表达式为②,即可以①-②,如 1 题也可以 ②-①,如 2 题,都必须是“q 的同次方”项相减.

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考点三 错位相减法求和

{注意点2} 哪些项可组成等比数列,有多少项可求和 Sn-qSn 的表达式中,某些项成为等比数列,可根据公式求和.

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考点三 错位相减法求和

? 3.(2015· 昆明调研)已知等差数列? a2=4,a4 是 a2 与 a8 的等比中项. ?an?中, ? (1)求数列? ?an?的通项公式; ? ?

?

?

(1)由 a2=4,且 a4 是 a2,a8 的等比中项可得 a1+d=4,a2 4=a2a8, 即(4+2d)2=4(4+6d),化简得 d2-2d=0, 则 d=0 或 d=2,由于 a2=4,当 d=0 时,an=4; 当 d=2 时,a1=2,则 an=2n.

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考点三 错位相减法求和

n-1 an? (2)若 an+1≠an,求数列 2 · ?的前 n 项和.
? ? ? ?

(2)∵an+1≠an,∴an=2n,则 2n-1an=2n-1· 2n=2n· n, ∵Sn=21+2×22+3×23+?+(n-1)· 2n-1+n· 2n,(*1) (*1)×2 得,2Sn=22+2×23+3×24+?+(n-1)· 2n+n· 2n+1,(*2) (*1)-(*2)得,-Sn=21+22+23+?+2n-n· 2n+1 2?1-2n? = -n· 2n+1, 1-2 ∴Sn=(n-1)· 2n+1+2.

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考点三 错位相减法求和

? ? ? 4.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)已知? ?an?是递增的等差数列,a2,a4 是方程

x2-5x+6=0 的根.
? (1)求? ?an?的通项公式; ? ?

(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3, 由题意得 a2=2,a4=3. 1 ? ? ? 设数列? ?an?的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= , 2 3 从而 a1=2. 1 ? ? ? 所以? ?an?的通项公式为 an= n+1. 2
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考点三 错位相减法求和

a (2)求数列 2 的前 n 项和.
a an n+2 (2)设 2 的前 n 项和为 Sn.由(1)知2n= n+1 ,则 2 n+1 n+2 3 4 Sn=22+23+?+ 2n + n+1 , ① 2 n+1 n+2 1 3 4 2Sn=23+24+?+ 2n+1 + 2n+2 . ②
? ? n? ? ? n? ? ? ? ?

? ? n? ? ? n? ? ? ? ?

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考点三 错位相减法求和

两式相减得 1 ? n+2 1 3 ?1 ? 3+?+ n+1?- n+2 2 ? 2 2Sn=4+?2 1 ? n+2 3 1? 1 - ? =4+4 n-1?- n+2 . 2 ? ? 2 n+4 所以 Sn=2- n+1 . 2

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考点三 错位相减法求和

利用等比数列的定义判定,在第3题的?*1?-?*2?表 式中从第一项起为等比数列共有n项;在第4题的① ②表达式中从第2项起为等比数列,共有?n-1?项,求 a1?1-qn? 时,如果知道项数可用公式Sn= ;如果不清 1-q a1-anq 项数,可用公式Sn= . 1-q

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■方法探究?系列
关系转化
数列的通项与求和与项数奇偶性的关系

? 【典例】 等比数列? ?an?中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某

?

?

一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 3 2 10 第一行 6 4 14 第二行 9 8 18 第三行 ? ? ? (1)求数列? ?an?的通项公式;
2 (1)从不同行且不同列中各选一个数组成等比数列,即满足 a2 =a1a3.

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■方法探究?系列

(1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意; 当 a1=10 时,不合题意. 因此 a1=2,a2=6,a3=18.所以公比 q=3.故 an=2· 3n-1.

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■方法探究?系列
关系转化

n ? ? ? (2)若数列? ?bn?满足:bn=an+(-1) ln an,求数列?bn?的前 n 项和 Sn.
? ? ? ?

(2)因 n 的奇偶性不同,(-1)nln a 的符号不同,故分 n 的奇偶性后,分组
? 转化,? ?an?为等比数列,ln an 为等差数列. ? ?

(2)因为 bn=an+(-1)nln an =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1) =2· 3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] =2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以 Sn=2(1+3+?+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1 +2-3+…+(-1)nn]· ln 3.
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■方法探究?系列

所以当 n 为偶数时, 1-3n n n Sn=2× +2ln 3=3n+2ln 3-1; 1-3 当 n 为奇数时,
? ? 1-3n ?n-1 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? ln 3 - n ?· 1-3 ? 2 ?

n-1 =3n- 2 · ln 3-ln 2-1.

?3n+nln 3-1, n为偶数, ? 2 综上所述,Sn=? n-1 ? 3n- ln 3-ln 2-1,n为奇数. ? 2
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■方法探究?系列
回归反思

(1)从表中选数字组成等比数列,就是试验法,先确定 a2,再看是否满足
2 a2 =a1a3.
? ? ? (2)当? ?an?为等比数列,且 an>0 时,则 ln an 为等差数列.

(3)对于通项中含有(-1)n 的符号变化的要分 n 的奇偶性求和.

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■应考迷津?展示

1.考前必记 (1)等差、等比数列的求和公式. (2)常见的裂项公式. (3)错位相减法的实施过程.

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■应考迷津?展示

2.答题指导 (1)看到等差、等比数列求和,想到它们的求和公式. (2)看到非等差、等比数列,想到拆项、并项转化为等差、等比数列.(如 考点一,第 2 题) 1 (3)看到通项为 形式的数列求和,想到裂项相消法.(如考点二) f?n?· g?n? (4)看到通项为等差与等比积的形式,想到错位相减法求和.(如考点三)

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