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高一数学预科班资料



课时安排: 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲 集合的含义与表示 集合间的基本关系 集合的基本运算(一) 集合的基本运算(二)



一次函数、一次不等式与二次函数 一元一次不等式、一元二次方程 函数的概念 函数的表示法 单调性与最

大(小)值 奇偶性 指数与指数幂的运算 指数函数及其性质 对数与对数运算 对数性质的应用 小结与测试

资料说明:
本资料适用于高一预科班,内容为必修 1 的前半部分内容,授课对象为初三升入高一的学生,他们在 很大程度上还没适应高中的学习,所以本资料紧扣教材,有点象教师的教案,有点象教材,也可作为学生 听课笔记。每一讲的每一道题如果都讲解,可能没有这么多的时间,再者学生层次不一,拓广探索的题可 选上,思考题可不上(仅供有一定的数学基础和数学学习兴趣的同学参考) ,请上课教师斟酌考虑,自行 安排。 由于本人水平有限,资料有不足之,敬请各位同仁多提宝贵意见,不胜感谢。

1

第一讲
? 、引入

集合的含义与表示

在小学和初中,我们已经接触过一些集合,例如: (1)自然数的集合; (2)有理数的集合; (3)不等式 x ? 7 ? 3 的解的集合; (4)到一个定点的距离等到于定长的点的集合(即 (5)到一条线段的两个端点距离相等的点的集合(即

) ; )

?? 、新授 一、集合的概念: 新教材:一般地,我们把研究对象统称为元素( element ) , 把一些元素组成的总体叫做集合( set ) (简称为集 ) 。 旧教材:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集。集合中的每一个对象叫做这个集 合的元素。 例 1:判断下列哪些能组成集合。 (1)1~20 以内的所有质数; (2)我国从 1991~2003 年的 13 年内所发射的所有人造卫星; (3)金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车; (4)2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家; (5)所有的正方形; (6)到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点;
(7)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根;
2

(8)新华中学 2004 年 9 月入学的所有的高一学生; (9)身材较高的人; (10){1,1}; (11)我国的大河流; 问: (1){3,2,1}、{1,2,3}、{2,1,3}这三个集合有何关系?

(2){{1,2},{2,3},{2,4},{3,5}}是否为一个集合?

点评: 1、 集合元素的性质: (1) (2) (3) 2、经常用大写拉丁字母 A,B,C, ? ? 表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c, ?? 表示集合中的元素。 例如:A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}; B={a,b,c,d,e,f,g}; 特例:C={A,B} 3、如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作 ; 如果 a 不是集合 A 的元素,
2

就说 a 不属于(not belong to )集合 A,记作 。 h 例如:太平洋 A B B a 4、数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集) ,记作 所有正整数组成的集合称为正整数集,记作 ; 全体整数组成的集合称为整数集,记作 ; 有理数组成的集合称为有理数集,记作 ; 全体实数组成的集合称为实数集,记作 。



二、集合的表示方法 我们可以用自然语言描述一个集合,还可以用列举法、描述法等来表示集合。 1、 列举法 概念:把集合中的元素一 一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法 自然语言描述:“地球上的四大洋”组成的集合 列举法: 自然语言描述:“方程 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的所有实数根”组成的集合 列举法: 例 2、用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的所有自然数组成的集合; (2)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

(3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合。 问: (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式 x ? 7 ? 3 的解集吗?

2、描述法 我们不能用列举法表示不等式 x ? 7 ? 3 的解集,因为这个集合中的元素是列举不完的。但是,我们可以 用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。 例如,不等式 x ? 7 ? 3 的解集中所含元素的共同特征是: x ? R, 且x ? 7 ? 3,即x ? 10 所以,我们可以把这个集合表示为 D= 又如,任何一个奇数都可以表示为 x ? 2k ? 1(k ? Z ) 的形式。所以,我们可以把所有奇数的集合表示为 E= 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 点评: x ? R , k ? Z 有时可以省略 例如:D= E=
3

例 3、试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1) 方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。

三、例题解析 1 下列各项中,不可以组成集合的是( A 所有的正数 B 等于 2 的数 2 下面有四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1 ;
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) C 接近于 0 的数
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D

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不等于 0 的偶数

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(2)若 ?a 不属于 N ,则 a 属于 N ;
2

(3)若 a ? N , b ? N , 则 a ? b 的最小值为 2 ; (4) x ? 1 ? 2 x 的解可表示为 ? 1,1? ; 其中正确命题的个数为( A 0个 B
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) 1个

C

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2个

D

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3个


3、若集合 M ? ?a, b, c? 中的元素是△ ABC 的三边长,则△ ABC 一定不是( A 锐角三角形 B 直角三角形 4、下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;
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C

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钝角三角形

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等腰三角形

(2)集合 y | y ? x 2 ? 1 与集合 ?x, y ? | y ? x 2 ? 1 是同一个集合; (3) 1, , , ?

?

?

?

?

3 6 2 4

1 , 0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; 2
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(4)集合 ??x, y ? | xy ? 0, x, y ? R? 是指第二和第四象限内的点集 A
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0个

B

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1个


C

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5、方程组 ? A

?x ? y ? 1
2 2 ?x ? y ? 9

的解集是(

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?5 , 4 ?
R? ? R

B

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?5,?4?


C

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??? 5,4??

D

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??5,?4??

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h t t :p/www.x / jkty .cgo m /w x c /

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wxck @1 t 26 .c o m

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h t t :p/www.x / jkty .cgo m /w x c /

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6、下列式子中,正确的是( A C
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B

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Z ? ? ?x | x ? 0, x ? Z ?

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空集是任何集合的真子集

D

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? ? ?? ?

4

四、拓广探索 1、已知由实数 a ? a ? 1 ,3, a , ? 1 为对象组成的集合为 M,且 M 中仅含有 3 个元素,求实数 a 的值。
2

2、已知集合 A={ x ? R | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R }。 (1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并求出该元素; (2)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围。

3、已知集合 M={ a, a ? d , a ? 2d },N={ a, aq, aq2 }表示同一集合,其中 a ? 0 ,求 q 的值

五、思考(本题仅供参考) 4、设集合 M = { z | z ? x 2 ? y 2 , x, y ? z }。 (1)试验证 5 和 6 是否属于集合 M; (2)关于集合 M,还能得到什么结论吗?

5

第二讲
? 、温故知新
1、 用描述法表示集合:{1,

集合间的基本关系

1 1 1 1 1 , , , , } 2 3 4 5 6

2、用列举法表示集合:{ x | x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 }
3 2

3、若 x ? R ,则{3, x , x ? 2 x }中的元素 x 应满足什么条件?
2

?? 、新授
一、几个概念 观察下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗? (1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; (2)设 A 为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B 为这个班全体学生组成的集合; (3)设 A={ x | x 是两条边相等的三角形}, B={ x | x 是等腰三角形}。 子集:一般地,对于两个集合 A,B, 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两 个集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集( subset ) , 记作 (或 ) 读作“ ”(或“ ”) 如:{ x | x ? 3 } { x | 3 x ? 6 ? 0 }; 两集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集(A ? B) ,且集合 B 是集合 A 的子集(B ? A) ,此时,集合 A 与集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 { x | x ?1 ? 0 }
2

{ ? 1 ,1} 与实数中的结论“若 a?b , 且 b?a , 则 a ?b。 ”相类比,你有什 么体会?

真子集:如果集合 A ? B,但存在元素 x ?B,且 x ?A, 我们称集合 A 是集合 B 的 ( proper

subset ) ,
”)

记作 (或 ) 。 读作“ ”(或“ A={ x | x 是正方形} B={ x | x 是四边形}
6

空集:我们把不含任何元素的集合叫做 例如:{ x | x ? 1 ? 0 }=
2

( empty

,记作 set )



点评: 1、 ? 和 ? 分别可以用 ? 和 ? 表示; 2、在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 V enn图(韦恩图) 例如:A ? B 可以用下图表示

B

A

3、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A; 4、规定:空集是任何集合的子集; ? ? A ,

? ? { ? },

? ?{ ? }

空集是任何非空集合的真子集; 5、子集的传递性 (1)对于集合 A、B、C,如果 A B, B (2)对于集合 A、B、C,如果 A B, B 6、注意区别:{ a } ? A 与 a ? A 二、例题解析 1、集合 ? 与{0}的关系是( A、{0} = ? ) B、 ? ? {0}

C, 那么 A C, 那么 A

C C

C、 ?

{0}

D、{0}

?

2、判断 A={ x | x ? 2m ? 1 , m ? Z }, B={ x | x ? 2n ? 1 , n ? Z }是否相等。

3、下列四个集合中,是空集的是( A C
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) B
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{x | x ? 3 ? 3}

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{( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R} {x | x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R}
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{x | x 2 ? 0}

D

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4、设集合 A ? {x ? 3 ? x ? 2} , B ? {x 2k ?1 ? x ? 2k ?1} ,且 A ? B ,则实数 k 的取值范围是 5、写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集。

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三、拓展探索 1、已知集合 A ? ? x ? N |

? ?

8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 A 6? x ?

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2、已知 A ? {x ? 2 ? x ? 5} , B ? {x m ?1 ? x ? 2m ?1} , B ? A ,求 m 的取值范围

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3、设 A={ x ? R | x ? 8 x ? 15 ? 0 },B={ x ? R | ax ? 1 ? 0 },且 B ? A,求实数 a 组成的集合,并写出
2

它的所有非空真子集。

4、设 A={ x | x 2 ? 4 x ? 0 },B={ x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0 }。 (1)若 B ? A,求 a 的值 (2)若 A ? B,求 a 的值

5、已知 A={ a, b, c },求: (1)集合 A 的子集的个数; (2)若集合 A 含有元素分别为 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个,则子集的个数分别是多少? (3)据上面的结果猜测集合 A 含有 n 个元素时,集合 A 的子集的个数。

6、设集合 A ? {x | x ?

n 1 n 1 ? , n ? Z } , B ? {x | x ? ? , n ? Z } ,试确定集合 A 与 B 的关系. 2 4 4 2

四、思考(本题仅供参考) 7、设 a, b, c, d ? Z ,集合 A ? {x | x ? 12a ? 8b}, B ? {x | x ? 20c ? 8d} ,试确定集合 A 与 B 的关系.

8

思考?

第三讲

1.1.3 集合的基本运算(一)

引:我们知道,实数有加法运算,类比实数的加法运算,集合是否也可以 “相加”呢? 考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6}, C={1,2,3,4,5,6}; (2) A={ x | x 是有理数}, B={ x | x 是无理数}, C={ x | x 是实数}。

一、并集: 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集( union ,记作 (读作“ ”) ,即 set ) 并集的 Venn 图表示: A A∪B 点评: (1)“ x ? A 或 x ? B ”包括下列三种情况: (2)A ? A= ; A?? = B

(3)A ? B=B ? A(4) ? A ? B ? ? C ? A ? ? B ? C ? (5)A ? B ? A,A ? B ? B 例 1、设 A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求 A ? B

例 2、设集合 A={ x | ?1 ? x ? 2},集合 B={ x | 1 ? x ? 3 },求 A ? B

点评: 我们还可以在数轴上表示例 2 中的并集 A ? B,即: 引:考察下面的的问题,集合 A,B 与集合 C 之间有什么关系? (1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}; (2) A={ x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的女同学}, B={ x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级同学}, C={ x | x 是新华中学 2004 年 9 月在校的高一年级女同学},
9

二、交集 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合, 称为 A 与 B 的交集 ( int er sec tion set ) , 记作 (读作“ ”) ,即 交集的 Venn 图表示:

点评: (1)A ? A= (2)A ? B=B ? A



A?? =



(3) ? A ? B ? ? C ? A ? ? B ? C ? (4)A ? B ? A, A ? B ? B. (5)联系并集与交集的性质有结论: ? ? A ? B ? A ? A ? B. 例 3、新华中学开运动会,设 A={ x | x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学},B={ x | x 是新华中学 高一年级参加跳高比赛的同学}, 求 A ? B。

例 4、设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合为 L2 ,试用集合的运算表示 l1 , l 2 的位置关系。 三、拓展探索
2 2 1、已知集合 A ? a , a ? 1, ?3 , B ? a ? 3, 2a ? 1, a ? 1 ,若 A ? B ? ??3? ,求实数 a 的值

?

?

?

?

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2、已知集合 A={ x | x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 },B={ x | x ? 0} ,若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

3、设 A={ x | ?2 ? x ? ?1或x ? 1} ,B={ x | a ? x ? b },若 A ? B={ x | x ? ?2 },A ? B={ x | 1 ? x ? 3 }, 求 a ? b 的值。 4、已知集合 A={ x | 4 ? x ? 7 },B={ x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1 },且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围

5、设集合 A ? {?1, 2, x ? x ? 1} , B ? {?4, 2 y, x ? 4} ,已知 A ? B ? {?1,7} ,求 x、 y 的值.
2

四、思考
2 2 2 6 、 已 知 集 合 A ? x | x ? (2a ? 3) x ? 3a ? 0 , B ? x | x ? (a ? 3) x ? a ? 3a ? 0 , 若 A ? B , 且

?

?

?

?

A ? B ? ? ,求 A ? B .
10

第四讲

集合的基本运算(二)

在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围。 例如,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研 究范围扩充到实数。在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充。 在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果。例如方程( x ? 2)(x 2 ? 3) ? 0 的解集,在有理数范 围内只有一个解 2,即{ x ? Q | ( x ? 2)(x 2 ? 3) ? 0 }={ 在实数范围内有三个解: }; };

,即{ x ? R | ( x ? 2)(x 2 ? 3) ? 0 }={

答:{2};2, ? 3, 3 ; ? 3, 3, 2

?

?

一、 全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集( universe ,通常记作 。 set ) 二、补集 对于一个集合 A,由全集合 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补

ary set ) 集( com plem ent ,简称为集合 A 的补集,记作
答案:U; Cu A , CUA={x| x ?U 且 x ?A} 补集的 Venn 图表示 点评: 补集的性质:

,即

U A

( 1 )C ( u A? ) A ? U ( 2C ) u ( CuA ? ) A ( 3 )C ( u A? ) A ?? ( 4C ) u (A ? B? ) ( C u? A) ( 5C ) u (A ? B? ) ( C u? A)

CuA
(C u B ) (C u B)
。 。

例 1、若 S = { 2, 3, 4 }, A = { 4,3 }, 则 C S A =
2

例 2、若 U = { 1,3, a ? 2a ? 1 },A = { 1,3 }, CU A = { 5 },则 a = 例 3、设全集 U = { 2,3, m ? 2m ? 3 },A = { | m ? 1 |,2 }, CU A = { 5 },求 m 。
2

11

例 4、设 U = { x | x 是小于 9 的正整数},A = {1,2,3},B={3,4,5,6},求 CU A , CU B 。

例 5、设全集 U = { x | x 是三角形},A = { x | x 是锐角三角形},B= { x | x 是钝角三角形}, 求 CU A , A ? B, CU ( A ? B) 。

三、奇数集和偶数集 形如 2 n(n ? Z ) 的整数叫做偶数,形如 2n ? 1(n ? Z ) 的整数叫做奇数, 全体奇数的集合简称奇数集,全体偶数的集合简称偶数集。 例 6、已知 A 为奇数集,B 为偶数集,Z 为整数集,求 A ? B, A ? Z , B ? Z ,A ? B, A ? Z , B ? Z 。

四、拓展探索 1、下列表示图形中的阴影部分的是( A B C
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( A ? C) ? (B ? C) ( A ? B)? ( A ? C) ( A ? B)? ( B ? C) ( A ? B) ? C

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A C

B

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D

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12

2、若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A
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) D
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3个

B

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5

C

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7个

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8个


3、若集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为( A
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1

B

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?1

C

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1 或 ?1
2

D

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1 或 ?1 或 0


4、若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则有(
2

?

?

?

?

A M ? N? M B M ?N ? N 5、下列表述中错误的是( )
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C M ?N ?M
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D M ?N ??
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A C

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若 A ? B, 则A ? B ? A

B

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若 A ? B ? B,则A ? B

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( A ? B)

A

( A ? B)

D

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CU ? A ? B? ? ?CU A? ? ?CU B?


6、若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A ? B ,则 C 的非空子集的个数为 7、若集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7? , B ? ?x | 2 ? x ? 10? ,则 A ? B ? _____________
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2 2 8、设全集 U ? R , M ? m | 方程mx ? x ? 1 ? 0有实数根 , N ? n | 方程x ? x ? n ? 0有实数根 ,

?

?

?

?

求?CU M? ? N .

9、设全集 U = { 1,2,3,4 },A = { x | x ? 5x ? m ? 0, x ?U },求 CU A , m 。
2

10、 (1)已知全集 U = {2,5, a ? 2a ? 4 },M={2,| a ? 6 |},且 CU M ? {?5} ,求 a 的值;
2

(2)若 A={0,2,4}, CU A ={-1,1}, CU B ={-1,0,2},求 B。

13

五、思考 1、设全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8},A = { 3,4,5 }, B = { 4,7,8 } 求: (1) 、 CU A , CU B , ( CU A ) ? ( CU B ) , ( CU A ) ? ( CU B ) 。 (2) 、A ? B,A ? B, CU ( A ? B) , CU ( A ? B) 。

2、已知 U=R,集合 A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? x ? 10} ,求 CU ( A ? B) , (CU A) ? B

3、设集合 A ? {?4, 2, a ? 1, a 2 } , B ? {9, a ? 5,1 ? a} ,已知 A ? B ? {9} ,求 A ? B .

4、设全集 U ? {x | x ? 7, x ? N} ,已知 (CU A) ? B ={1,6}, A ? (CU B) ={2,3}, CU ( A ? B) ={0,5}, 求集合 A、B.

14

第五讲
【知识要点】 1.一次函数:形如 2.函数 f ( x) ? kx ? b 的图象:

一次函数、一次不等式与二次函数
的函数称为一次函数.

b>0

b<0

b=0

k>0

k<0

k=0

3.一元一次不等式:形如 4.不等式 ax ? b 的解法:

的不等式称为一元一次不等式.

a?0

a?0

a?0

【问题思考】 1.一次函数与正比例函数有何联系和区别? 2.一次函数 x 、 y 的范围分别是什么? 【理论迁移】 例 1 、已知 f ( x ) 为一次函数,且当 x ? [1, 2] 时, f ( x ) 的最大值为 3,最小值为-1,求 f ( x ) 的解析式.

例 2、 设 a 为实常数,解不等式 ax ? 2 ? 3(1 ? x) .

15

【知识要点】 1.二次函数:形如 2.二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象: △>0

的函数称为二次函数.

△=0

△<0

a?0

a?0

3.二次函数的基本性质: (1) x 的范围: . (2) y 的范围: a ? 0 时, (3)对称性:图象关于直线 【问题思考】 1.二次函数的解析式有哪几种形式? 对称. ; a ? 0 时, .

2.若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象与 x 轴相交,则两交点间的距离是什么?
2

【理论迁移】

) ( 1? , 例 3、已知二次函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?2 对称, 截 x 轴所得的线段长为 2 2 , 且 f0 求 f ( x)
的解析式.

16

例 4、 (1)当 x ? [?2,1] 时,求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的最小值. (2)当 x ? [?3,3] 时,求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的最小值. (3)当 x ? [3,5] 时,求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的最小值.

【拓展探索】 1、设集合 A ? {x | 2 x ? a ? 0}, B ? {x | 3x ? 2 ? 4 x ? 1} ,若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围.

2、 已知函数 f ( x) ? (1 ? 2m) x ? (m ? 1) 的图象不经过第一象限,求实数 m 的取值范围.

【思考】 3. 设 a 为实常数,当 x ? [a, a ? 2] 时,求函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的最小值.

17

第六讲
【知识要点】 1.一元二次方程形式: 2.根的判定:记△ ? b ? 4ac ,则
2

一元二次不等式、一元二次方程
. 时有两个不等实根; 时有两个相等实根; 时

没有实根. 3.根与系数的关系: 设 x1 , x2 为方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根,则 x1 ? x2 ? 4.求根公式: x1,2 ? 【问题思考】 1.解一元二次方程有哪些基本方法? . ; x1 ? x2 ? .

【理论迁移】 例 1 设 m 为常数,解关于 x 的方程 (m ?1) x2 ? (m ? 2) x ? 2m ? 0 .

例 2 若关于 x 的方程 4 x2 ? 4(m ?1) x ? m2 ? 0 有两个不相等的正数解,求 m 的取值范围.

【知识要点】 1.一元二次不等式的基本形式: 2. 一元二次不等式的解法:设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,则 △>0 △=0

.

△<0

f ( x) 的图象
x1 x2

ax2 ? bx ? c ? 0 ax2 ? bx ? c ? 0

18

3.简单分式不等式的解法:设 a ? b 为常数,则

x?a ?0? x?b x?a ?0? (2) x?b
(1) 【问题思考】

? ?

. .

1.当 a ? 0 时,不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集如何?
2

2.解一元二次不等式的基本步骤如何? 【理论迁移】 例 1 解下列不等式: (1) 2 ? 2 x ? 3x ;
2

( 2)

x?5 ? 2. x?4

例 2 设 a 为实常数,解下列不等式: (1) x2 ? (2a ? 1) x ? a2 ? a ? 0 ; (2) x2 ? a ? (a ? 1) x .

【拓展探索】 1、 已知关于 x 的不等式 (a ? 2) x2 ? 4 x ? a ?1 ? 0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

2 2 C ?? ,求实数 a 的 2、设集合 A ? {x | x ? ax ? a ?19 ? 0} ,B={2,3},C={-4,2},若 A ? B ?? ,A ?

值.

19

3.如果关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 至少有一个正数解,求实数 a 的取值范围.
2

4、设 y ? x2 ? ax ? b, A ? ?x | y ? x? ? ?a? , M ?

??a, b??, 求M

【思考】 1、 设 A ? {x x ? 4 x ? 0}, B ? {x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0} ,其中 x ? R ,如果 A ? B ? B ,
2 2 2

求实数 a 的取值范围

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2 2 2、设 U ? R ,集合 A ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x | x ? (m ? 1) x ? m ? 0 ;

?

?

?

?

若 (CU A) ? B ? ? ,求 m 的值

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3、设集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0} , C ? {x | x ? 4ax ? 3a ? 0}(其中 a 为正
2 2 2 2

常数) ,若 A ? B ? C ,求实数 a 的取值范围.

20

第七讲
? 、课题导入

函数的概念

初中函数的概念: 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就 说 y 是 x 的函数,x 叫做自变量。 已学过:正比例函数: 反比例函数: 一次函数: 二次函数: 请同学们思考下面两个问题: 问题一: y ? 1 ( x ? R) 是函数吗? 问题二: y ? x 与 y ?

x2 是同一函数吗? x

?? 、讲授新课
一、函数的概念: 一般地,我们有: 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 ( function) , 记作 , 其中 x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的 。 ,

与 x 的值相应的 ( y 或 f ( x) ) 值叫做函数值, 函数值的集合{ y | y ? f ( x), x ? A }叫 显然 例: 正比例函数: f ( x) ? kx(k ? 0) 的定义域为 反比例函数: 一次函数: 二次函数: 点评: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 回顾上述问题一、问题二: 思考: y ? x 能成为函数吗?
2

,值域为 ,值域为 ,值域为 ,值域为



的定义域为 的定义域为 的定义域为

21

二、区间的概念: 设 a, b 是两个实数,而且 a < b, 我们规定: (1)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 ,表示为 (2)满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 ,表示为 (3)满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 表示为 点评: (1) 区间的几何表示:



(2) 实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点,

三、例题 例 1、求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 7 ; (2) f ( x ) ?

6 ; x ? 3x ? 2
2

(3) f ( x) ?

x2 ? x ? 6 ;

(4) f ( x) =

4? x 。 x ?1

例 2、一矩形的宽为 x m, 此函数的定义域为

长是宽的 2 倍, 其面积 y 为 ,而不是 R

m2

点评: 若 f(x)是整式,则函数的定义域为 R; 若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于零的实数 x 的集合; 若 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数 x 的集合; 若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数 x 的集合(即 使每个部分有意义的实数 x 的集合的交集); 若是 f(x)是由实际问题列出的, 那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数 x 的集 合。
22

例 3、已知函数 f ( x) ?

x?3? 2 3

1 , x?2

(1) 求函数的定义域; (2) 求 f (?3) , f ( ) 的值; (3) 当 a ? 0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。

例 4、下列函数中哪个与函数 y ? x 相等? (1) y ? ( x ) 2 ; (2) y ? 3 x 3 ;

(3) y ?

x2 ;

(4) y ?

x2 x

点评: 四、拓展探索 1、函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A
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) D
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1

B

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0

C

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0 或1

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1或 2

4 2 * 2、已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中

?

?

的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( A
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) C
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2, 3

B

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3, 4

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3, 5

D

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2, 5

3、函数 y ?

x?2 的定义域 x2 ? 4

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23

4、函数 y ?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是_____________________

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5、已知 f ( x) 的定义域为[0,1],求 y ? f (2 x) ? f ( x ? ) 的定义域。

1 3

6、 (1)设 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ,求 f (2 x) 的解析式; (2)设 f ( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 2 ,求 f ( x) 的解析式。

五、思考 1、 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x12 ? x22 , 求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域
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2、设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 )(x1 ? x2 ) ,求 f ( x1 ? x2 ) 的值。

3、已知函数 y ?

ax ? 1
3

ax2 ? 4ax ? 3

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围

24

第八讲

函数的表示法

一、函数的表示法 我们在初中已经接触过函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法。 解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; 图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系; 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 例 1、某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ? {1,2,3,4,5}) 个笔记本需要 y 元,试用函数的三种表示法表示函 数 y ? f ( x) 。

二、分段函数 例 2、画出函数 y ?| x | 的图象

例 3、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算) 。 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图 象。

25

例 4、 求下列函数的值域: (1) f ( x) ? 2 x ? 3( x ? ?1) ; (2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1;

三、映射 一般地,我们有: 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射( mapping ) 例如:A={ x | x 是某场电影票上的号码},B={ x | x 是某电影院的座位号},对应关系 f :电影票的号码对 应于电影院的座位号,那么对应 f : A ? B 是一个映射。 点评: (1) (2) (3) (4) (5) 例 5、以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射? (1)集合 A={P | P 是数轴上的点},集合 B = R,对应关系 f :数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合 A={P | P 是平面直角坐标系中的点},集合 B ={( x, y ) | x ? R, y ? R ) ,对应关系 f :平面直 角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={ x | x 是三角形},集合 B ={ x | x 是圆},对应关系 f :每一个三角形都对应它的内切圆; (4)集合 A={ x | x 是新华中学的班级},集合 B ={ x | x 是新华中学的学生},对应关系 f :每一个班级 都对应班里的学生。

26

四、拓展探素

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 1、已知 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A
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1或

3 2

C

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1,

3 或? 3 2

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3

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 2、设函数 f ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0). ? ?x

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3、若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) ,且函数的最大值为 9 ,则这个 二次函数的表达式是
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4、已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 4 x ,求 f ( x) 的表达式。

5、求函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域

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6、求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

(3) y ? 1 ? 2 x ? x

27

五、思考 1、为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,这个平移是( A C
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沿 x 轴向右平移 1 个单位 沿 x 轴向左平移 1 个单位

B

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沿 x 轴向右平移

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D

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1 个单位 2 1 沿 x 轴向左平移 个单位 2

2、设 A={( x, y ) | x ? y ? 3 ,且 | x |? 2, x ? z, y ? N ? },B={0,1,2}, f : ( x, y) ? x ? y ,判断 f 是 否为 A 到 B 的映射。

4 2 3、设 A = {1,2,3, m },B={4,7, n , n ? 3n },对应关系 f : x ? y ? px ? q 是从集合 A 到集合

B 的一个映射,已知 m, n ? N ? ,1 的象是 4,7 的原象是 2,试求 p、q、m、n

4、求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域

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5、利用判别式方法求函数 y ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域 x2 ? x ?1

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6、已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10x ? 24 ,则求 5a ? b 的值

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7、对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围
2

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第九讲
引例:

单调性与最大(小)值

按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出一次函数 f ( x) ? x 和二次函数 f ( x) ? x 2 的图象。

点评:

一、增函数(减函数)的定义: 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 ? : 如果对于定义域 ? 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是 ( increasin g

function )

如果对于定义域 ? 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x) 在区间 D 上是 ( decreasin g

function )

如果函数 y ? f ( x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做函数 y ? f ( x) 在的单调区间 点评: 例 1、下图为函数 y ? f ( x) 在[-5,6]上的图象,根据图象说出函数 y ? f ( x) 的单调区间,以及在每一单 调区间上, 函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数。 y

-3 -5

x o 1 3 6

例 2、判断一次函数 y ? kx ? b, 反比例函数 y ?

k 2 ,二次函数 y ? ax ? bx ? c 的单调性 x

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例 3、证明:函数 f ( x) ? 3x ? 2 在 R 上是增函数。

例 4 、证明 f ( x ) ?

x ?1 在区间 (0, ??) 上是增函数. x

二、最大值、最小值 一般地,设函数 f ( x) 的定义域为 ? ,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? ? ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? ? ,使得 f ( x0 ) =M 。 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值( max imum value ) 。 思考: 你能仿照函数最大值的定义,给出函数 y ? f ( x) 的最小值 (minimum value )的定义吗?

例 5、已知函数 y ?

2 ( x ? [2,6] ) ,求函数的最大值和最小值。 x ?1

三、拓展探索 1、下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A y? x
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) C y?
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B y ? 3? x
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1 x

D y ? ?x ? 4
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2

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2、函数 y ? 2x ? x ? 1 的值域是________________

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3、试根据单调性定义证明函数 f ( x) ? x2 ? 2x 在区间 [1, ??) 上是增函数.

4、已知函数 f ( x) ?

3 4 x ? 1 ? x ,试比较 f ( ) 与 f ( ) 的大小. 2 3

四、思考 1、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2, x ???5,5?
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① 当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; ② 求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数
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2、定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足条件: (1) f (2) ? 1 ; (2) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ; (3)当 x ? y 时,有 f ( x) ? f ( y ) 。

求满足 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围

3、已知函数 f ( x) ? (1)当 a ?

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) 。 x

1 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ? [1,??) , f ( x) >0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

31

第十讲
一、偶函数

奇偶性

画出函数 f ( x) ? x 2 和函数 f ( x) ?| x | 的图象,思考并讨论以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

定义: 一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x), 那么函数 f ( x) 就叫做偶函

on ) 数( evenfuncti 。
点评: 例如:函数 f ( x) ? x 2 ? 1 , f ( x) ?

2 都是偶函数 x ? 11
2

二、奇函数 画出函数 f ( x) ? x 和函数 f ( x) ?

1 的图象,你能发现这两个函数有什么共同特征吗? x

定义: 一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x), 那么函数 f ( x) 就叫做奇

n ) 函数( oddfunctio 。
点评:

32

例 1、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x 4 ; (3) f ( x) ? x ? (2) f ( x) ? x 5 ; (4) f ( x ) ?

1 ; x

1 。 x2


例 2、如果奇函数 f ( x) 在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么在区间[-7,-3]上是( A、增函数且最小值为-5; C、减函数且最小值为-5; B、增函数且最大值为-5; D、减函数且最大值为-5;

例 3、已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若 f (?7) ? ?7 ,求 f (7) 。

例 4、若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间( ? ?,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是

三、拓展探索 1 、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x ) ?

| x | ?1 ; x

(2) f ( x) ? x2 ? | x | ?1

2、已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A
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3、若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A C
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3 f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2

B

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D

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3 f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2

4、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,当 x ? [3, 6] 时, f ( x ) 的最大值为 8,最小值为-1,求 2 f (?6) ? f (?3) 的值.

33

5、奇函数 f ( x) 在定义域(-1,1)内是减函数,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围。

6 、 设 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) 的 定 义 域 是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x ) 是 偶 函 数 , g ( x ) 是 奇 函 数 , 且

f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x ) 和 g ( x) 的解析式 x ?1

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四、思考 1、设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0,??) 时, f ( x) = x(1 ? 3 x ) ,那么当 x ? (??,0] 时,

f ( x) =
2、设函数 f ( x) 在(0,2)上是增函数,函数 f ( x ? 2) 是偶函数,则 f (1) 、 f ( ) 、 f ( ) 的大小关系 是 3、已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,且当 x ? 0 时,

5 2

7 2

f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)函数 y ? f ( x) 是奇函数

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4、设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R
2

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性;

(2)求 f ( x) 的最小值

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第十一讲 指数与指数幂的运算
Ⅰ、复习回顾 在初中,我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质: 整数指数幂概念: (1) a ? a ?? a?? ? a? a (n ? N *) ? ?
n n个a

(2) a0 ? 1(a ? 0) (3) a
?n

?

1 (a ? 0, n ? N *) an

整数指数幂运算性质 (1) am ? an ? am?n (m, n ? Z ), (2) (am )n ? amn (m, n ? Z ) (3) (ab)n ? an ? bn (n ? Z ) 点评: (1) a ? a 可以看作 a ? a
m n m n ?n (2) ( ) 可以看作 a ? b
n

?n

a b

Ⅱ、讲授新课 一、 n 次方根的定义 若x
n

= a(n ? 1且 n ? N ? ) ,则 x 叫做 a 的 n 次方根。

点评: (1)当 n 为奇数时(跟立方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根是正数,负数的 n 次方根是负数, 任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的 n 次方根可表示为 x ?
n

a

(2)当 n 为偶数时(跟平方根一样) ,有下列性质:正数的 n 次方根有两个且互为相反数,负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为: ? n a (a ? 0) 其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根, ? n a 表示 a 的负的 n 次方根。 (3)0 的 n 次方根是 0 记作 n 0 ? 0,即n a 当 a=0 时也有意义。 思考:如何 a 用来表示 x 呢?带着这个问题我们来学习下面内容。 二、 n 次方根的性质
n ? ? a , n ? 2k ? 1 x?? (k ? N *) n ? ? a , n ? 2 k ?

其中 n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。

35

三、根式的运算性质 ① ,结果仍为被开方数。 (n a) ? a ,即一个数先开方,再乘方(同次)
n
n ② a ?? n

?a, n为奇数; ?| a |, n为偶数
4 (3) 4 (3 ? ? )

例 1、求下列各式的值:
3 (1) 3 (?8) 2 (2) ( ?10 ) 2 (4) ( a ? b) ( a ? b )

(5) 5 ? 32

4 (6) (?3)

(7) ( 2 ? 3 )

2

(8) 5 ? 2 6

四、分数指数幂
5

a

10

? a ? a (a ? 0)
2

10 5

3

a

12

? a ? a (a ? 0)
4

12 3

问: (1) 3 a 2 ? (2) b = (3) 4 c 5 =

(a ? 0) (b ? 0) (c ? 0 )

kn k n 如果幂的运算性质 (2) ( a ) = a 对分数指数幂也适用, 这时设 a ? 0, k ?

m (n ? 1且n ? N ? ) 则 n

( a ) ? (a ) ? a
k n n

m n

m ?n n

? am
m n
m

这样,由 n 次根式的定义,就可以把 a 看成 a 的 n 次方根。 1、正数的正分数指数幂:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n均为正整数)
2、正数的负分数指数幂:
? m n

a

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n均为正整数)

点评:且 0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义。 3、有理指数幂的运算性质: r s r+s (1)a a =a (a>0,r,s∈Q) r s rs (2)(a ) =a (a>0,r,s∈Q)
36

r r r (3)(ab) =a b (a>0,b>0, r,∈Q) 例 2、求值:

8 ,

2 3

100 ,

?

1 2

1 ( ) ?3 , 4

16 ? ( ) 4 81

3

例 3、用分数指数幂的形式表示下列各式:

a2 ? a ;

a3 ? 3 a 2 ;

a a (式中 a ? 0 )

??? 、拓展探索
1、计算下列各式(式中字母都是正数) (1) 、 (2 a ? b ) ( ? 6a ? b ) ? (?3a ? b )
2 3 1 2 1 2 1 3

1 6

5 6

(2) 、 (m ?n

1 4

?

3 8 8

)

?V 、思考
2、计算下列各式 (1) (x ?y
1 2 ? 1 3 6

)

8a ?3 ? 3 (2) ( ) 27b 6

1

? 1 (3)2 x ( x 3 ? 2 x 3 ) 2 ?

1 3

1

2

(4)[ ? 5 +3 ? (

4 0 ?2 ) ] 15

37

第十二讲
一、知识要点 1.指数函数:形如 2.指数函数的图象:

指数函数及其性质
的函数叫做指数函数.

0 ? a ?1

a ?1

函数 y ? a x 的图象

3. 指数函数的性质: (1)定义域: . (2)值域: . (3)单调性:当 0 ? a ? 1 时在 R 上是 ,当 a ? 1 时在 R 上是 4.指数函数的函数值分布: (1)若 0 ? a ? 1 ,则当 x ? 0 时 ;当 x ? 0 时 ;当 x ? 0 时 (2)若 a ? 1 ,则当 x ? 0 时 ;当 x ? 0 时 ;当 x ? 0 时

. . .

38

指数: 定义 函数 y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做指数函数.

指数函数图 象

分类

a?1
向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方

0?a?1

指数函数图 象特征

函数图象都过定点(0,1) 自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越陡 自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象下降趋势是越来越缓 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 ? 0, ???

a0 ? 1
指数函数性 质 增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速 度极快; 画指数函数 简图的方法

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极快, 到了某一值后减小 速度较慢;

两点一线法(两点指(0,1) , (1, a ) ;一线指渐近线 x 轴)。

【问题思考】 1.函数 y ? 2 ? 1 , y ? 3 ? 2 , y ? 3 , y ? 3 , y ? x 是指数函数吗?
x x 2x 4 ?x

2.指数函数具有奇偶性吗? 3.函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象如何?
| x|

4.指数函数 y ? 2 与 y ? 3 的图象有什么区别?
x x

39

二、典型例题 例 1、已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1)的图象经过点(3, ? ) ,求 f (0), f (1), f (?3) 的值。

例 2、比较下列各题中两个值的大小: (1)1.7
2.5

, 1.7

3



(2)0.8

?0.1

, 0.8

?0.2



(3)1.7

0.3

, 0 .9

3 .1



三、拓展探索 1、说明函数 y ? 2 x?1 与 y ? 2 x 的图象的关系,并画出它们的示意图

2、求下列函数的定义域、值域
1

(1) y ? 2 x ? 1

(2) y ? 3

5 x?1

(3) y ? 0.4 x ?1

3、求函数 f ( x) ? 1 ? 3x 的定义域和值域.

4、求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域
x x

1 4

1 2

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1 ? 3? x 5、方程 ? 3 的解是_____________ 1 ? 3x
6、函数 y ?

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ex ? 1 的值域是__________ ex ? 1

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7、求函数 y ? ( )

1 3

x2 ?4 x

, x ? [0,5) 的值域

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四、思考 1、求证:函数 f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 1) 在 x ? (0,?? )上为增函数。

2、已知函数 f ( x) ?

1 .(1)求证 f ( x) ? f (? x) 为定值; 1 ? 2x

(2)求 f (?10) ? f ( ?9) ? ?? f ( ?1) ? f (0) ? f (1) ? ?? f (9) ? f (10) 的值.

3、已知 y ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时,求 x 的取值范围

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第十三讲 对数与对数运算
一、复习回顾 (1) 9 是 3 的平方 (2)3 是 9 的平方根 问:2 能否用 3,9 表示呢? 这将牵涉到我们这一节将学习的对数问题。 二、讲授新课 引入:假设 1995 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8 0 0 ,那么经过多少年国民生产总值是 1995 年时的 2 倍? 1、对数的定义:
x 一般地,如果 a ? N ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数( log arithm ) ,记作

其中: a 叫做对数的 例如: 4 ? 16 ,则
2

,N 叫做



10 ? 100 ,则
2

10

?2

? 0.01,则

答案: x ? log a N ,底数,真数, 2 ? log 4 16 , 2 ? log10 100 。 点评: (1)我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数(common logarithm) ,并把常用对数 log10 N 简记为 lgN
王新敞
奎屯 新疆

在科学技术中常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对数,并把自然对

数 log e N 简记作 lnN (2)零和负数没有对数. (3)对数与指数之间的关系: 当a ? 0, a ? 1 时,a x ? N ? x ? loga N 例 1、将下列指数式写成对数式 (1) 3 ? 27
a

(2) ( )

1 3

m

? 5.73

例 2、将下列对数式写成指数式 (1)log1 16 ? ?4
2

(2)log2 128 ? 7 (4)ln 10 ? 2.303

(3)lg 0.01 ? ?2

42

例 3、求下列各式的值 (1) lg 0.01 (2) lg10000 (3) lg 0.0001

2、对数的基本性质 若 a ? 0且a ? 1, N ? 0 ,则有: (1)1 的对数是零,即, log a 1 ? 0 ( a ? 0 且 a ? 1 ) (2)底数的对数等于 1,即, log a a ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 ) (3) a
log a N

? N (a>0,a≠1,N>0) .

3、对数的运算性质 若 a ? 0 , a ? 1 , M ? 0 ,N ? 0 ,则 (1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和, 即

log ? a ? M N? ? l o agM
log a M ? l oag M? N

la og N
la o Ng

(2)数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数. 即

(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.即 即
n log N a N ? n? l o ag

例 4、求下列各式的值 (1) log0.4 1 (2) log2 (4 7 ? 25 ) (3) lg 5 100

三、拓展探索 1、用 loga x , loga y , loga z 表示下列各式: (1) log a

xy z

(2) loga

x2 y
3

z

2、计算 (1) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 3

( 2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg1.2

43

第十四讲
一、复习回顾 1、对数的基本性质:

对数性质的应用

2、对数的运算性质:

二、对数性质的应用 例 1、已知 lg 2 ? 0.3010,

lg 3 ? 0.4 7 7, 1 求 lg1.44 的值。

例 2、已知 log3 12 ? a , 试用 a 表示 log3 24

三、拓展探索 1、已知 loga x ? loga c ? b , 求 x

2、化简: lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50

3、已知 a, b, c ? 0 ,且 3 ? 4 ? 6 , 求证:
a b c

2 1 2 ? ? a b c

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