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专题五:圆锥曲线学生版


专题五:解析几何(学生版)
一、考点分析 本章知识的高考命题热点有以下两个方面: 1.直线与圆是历年高考的重点考查内容,在客观题中出现,一般只有一个选择或填空,考查求 圆的方程以及直线与圆的位置关系,难度较低;在解答题中出现,经常与圆锥曲线相结合。 2.圆锥曲线是高考的一个热点内容,多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。在客观题中主要考查 离心率、渐近线、定义和方程等,所

以要熟练它们基本量之间的关系,掌握它们之间转化的技巧与 方法。解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系(包括弦长、中点弦、曲线方程求法 等)综合考查,多在与其它知识的交汇点处(如平面向量等)命题,组成探索性及综合性大题,考 查学生分析问题、解决问题的能力,难度较大。高考中解析几何试题一般共有 4 题(1 个选择题, 1 个填
空题, 1 个解答题,共计 22 分

二、经典题型 类型一:离心率问题

关于椭圆离心率
设椭圆
2 2 x y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,如果椭圆上存在点 P,使 ? ,求 F P F 9 0 ? 1 2? 2 2 a b

离心率 e 的取值范围。

一、直接求出 a,c 或求出 a 与 b 的比值,以求解 e 。 在椭圆中, e ?

c c ,e ? ? a a

c2 ? a2

a2 ? b2 b2 ? 1 ? a2 a2

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 2.若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0), F2 (3,0) ,则椭圆的离心率为 3.已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 4. 若椭圆 。 5..已知



x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 短轴端点为 P 满足 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率为 a2 b2

e?

x2 y2 1 2 ? ? 1(m ? 0.n ? 0) 则当 mn 取得最小值时,椭圆 2 ? 2 ? 1 的的离心率 m n m n

6.已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭 圆中心)时,椭圆的离心率为 e ? 。

x2 y2 + =1(a>b>0)上一点,F1、F2 是椭圆的左右焦点, 已知?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? 2? , ?F1PF2 ? 3? , 椭圆的 a2 b2 离心率为 e ? ? ? 8.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,若 ?PF1 F2 ? 15 , ?PF2 F1 ? 75 , 则椭圆的离心率为
7.P 是椭圆 9.椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两顶点为 A(a,0)B(0,b),若右焦点 F 到直线 AB 的距离等于 ∣AF∣,则椭圆 2 2 a b


的离心率是

10.椭圆 率是

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心 a2 b2

x2 y2 a 11.已知直线 L 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的顶点 A(a,0) 、B(0,b),如果坐标原点到直线 L 的距离为 ,则 2 a b
椭圆的离心率是 。

16.在平面直角坐标系中,椭圆

? a2 ? x2 y 2 1( 0) 的焦距为 2 ,以 O 为圆心, 为半径作圆,过点 ? ? a ? b ? a ? ,0? a 2 b2 ? c ?

作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 。 二、构造 a,c 的齐次式,解出 e 1.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是 2.以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点,椭圆的左焦点为 F1,直线 MF1 与圆相切,则椭圆的离心率是 3. 以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆, 使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、 N 两点, 如果∣MF∣=∣MO∣, 则椭圆的离心率是 4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭 圆的离心率是 5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则 这个椭圆的离心率是 6.设 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,P 是其右准线上纵坐标为 3c ( c 为半焦距) a 2 b2 的点,且 F1 F2 ? F2 P ,则椭圆的离心率是

三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。

1 .已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 2 .已知 F1、F2 是 椭圆的 两个焦点 , P 是椭 圆上一点 ,且 ?F1 PF2 ? 90 , 椭圆离 心率 e 的取值 范围为
?

???? ? ?????

3 .已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,椭圆离心率 e 的取值范围为
?

4.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,若椭圆上存在一点 Q,使∠F1QF2=120? 椭圆离心率 e 的取 a2 b2
7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? 18

值范围为 5 .在 △ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

x2 y 2 6.设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂 a b 线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是

关于双曲线离心率
一、利用双曲线性质 例 1 设点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左支上,双曲线两焦点为 F1、F2 ,已知 | PF1 | 是点 P 到 a 2 b2

左准线 l 的距离 d 和 | PF2 | 的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。

二、利用平面几何性质 例2 设点 P 在双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上,双曲线两焦点 F1、F2 , | PF1 |? 4 | PF2 | ,求 a 2 b2

双曲线离心率的取值范围。

三、利用数形结合 例 3 (同例 2) 四、利用均值不等式 例 4 已知点 P 在双曲线

| PF1 | 2 x 2 y2 的右支上,双曲线两焦点为 , 最小值是 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) F 、 F 1 2 | PF2 | a 2 b2

8a ,求双曲线离心率的取值范围。

五、利用已知参数的范围 例5 (2000 年全国高考题)已知梯形 ABCD 中, | AB |? 2 | CD | ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? ,

双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率的取值范围。 3 4

六、利用直线与双曲线的位置关系 例 6 已知双曲线 值范围。

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 交于 P、Q 两个不同的点,求双曲线离心率的取 a2

类型二:圆锥曲线的轨迹与标准方程的求法;
1、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明” 五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 7 已知点 A(?2,0) 、B (3,0). 动点 P( x, y ) 满足 PA ? PB ? x , 则点 P 的轨迹为 (
2



A. 圆

B. 椭

圆 C.双曲线 D.抛物线 2、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征, 再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 例 8 已知 ?ABC 中,?A 、?B 、?C 的对边分别为 a 、b 、c , 若 a, c, b 依次构成等差数列, 且a ? c ? b,

AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程.

C

y

A

O

B

x

3、代入法 当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示,再代入到其他动点要满足的 条件或轨迹方程中,整理即得到动点 P 的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法. 例 9 如图,从双曲线 C : x ? y ? 1 上一点 Q 引直线
2 2

y P Q N O x

l : x ? y ? 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

4、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质, 发现动点的运动规律和要满足的条件, 从而得到动 点的轨迹方程. 例 10 已知点 A(?3,2) 、 B(1,?4) ,过 A 、 B 作两条互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,求 l1 和 l 2 的交点 M 的轨迹方 程.

5、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标 x, y 间建立起联系,然后再从所求式子 中消去参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 例 10 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹
2

方程.

6、交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数 来得到轨迹方程,称之交轨法. 例 11 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线

x2 y2 ? ? 1于 a2 b2
A1

y P O A2

M x N

M 、 N 两点, A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与
A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

类型三:直线与圆锥曲线位置关系问题
利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明. 例 12.抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为

? 的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 4
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A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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x2 ? y 2 ? 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点。 例 13. (福建卷)已知椭圆 2
(Ⅰ)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标 的取值范围.

类型四:圆锥曲线中的最值、定点、定值问题
例 14:过抛物线 m : y ? ax 2 ( a >0)的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别为 p, q ,则 p ?1 ? q ?1 的值必等于( A. 2a B. ) . C. 4a D.

1 2a

4 a

例 15: (2011· 北京东城区期末)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(0, 2),且长轴长与短轴

长的比是 2? 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1, 过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA, PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值; (3)在(2)的条件下,求△PAB 面积的最大值.

例 16:在双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一支上有不同的三点 A( x1 , y1 ), B( 26 ,6 ), C ( x2 , y2) 与焦点 F (0,5) 的距离成 12 13

等差数列。 (1)求 y1 ? y2 的值。 (2)证明线段 AC 的垂直平分线经过一定点,并求该定点的坐标。

例 17:过抛物线 x ? y 上的定点 C (1,1) 作两条互相垂直的弦 CA 、 CB ,求证直线 AB 过定点。
2

五、近三年新课标高考试题
2010 年新课标理数卷 (2010 年 12)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( ) (A)

x2 y 2 ? ?1 3 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5

(C)

x2 y 2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y 2 ? ?1 5 4
.

(2012 年 15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (2012 年 20)(本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E:

B(2,1).则圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相较于 A,B 两点,且 a 2 b2

AF2 , AB , BF2 成等差数列.
(Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 PA ? PB ,求 E 的方程. 2011 年新课标理数卷

(2011 年 7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点,
AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为(

) (D)3
2 。 2

(A) 2

(B) 3

(C)2

(2011 年 14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 离心率为 过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为
(20) (本小题满分 12 分)



MA ? AB // MB ? BA , 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,-1), B 点在直线 y = -3 上, M 点满足 MB // OA ,
M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

2012 年新课标理数卷
(2012 年 4)设 F1 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ? F2 PF1 是底 2 a b 2


角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

( 2012 年 8 )等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两点,
2

AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(



( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

(2012 年 20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。
(2013 年高考新课标 1(理) )已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2
( )

A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9


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