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四川省成都石室中学2011届高三“一诊”模拟考试数学试题(理)


石室中学 高 2011 级“一诊”模拟考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事 项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚,并贴好条形码,请认真核准条形码上的准考证号、姓

名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题求的。 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S = 4πR 2 如果事件 A、B 相互独立,那么 其中 R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 P,那么 球的体积公式 4 n 次独立重复试验中恰好发生 k V球 = πR 3 3

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P )n ? k (k = 0,1, 2,..., n)
一、选择题

其中 R 表示球的半径

1.已知集合 A = {x || x < 1}, B = {x | log 2 x < 0}, 则 A∩B 为 A.(—1,1) B.(—0,a) C.(0,1) D. φ





2.复数

(1 + i ) 2 等于 1? i
B. 1 + i C. 1 ? i D . ?1 ? i





A . ?1 + i

3.若函数 y = sin 2 x 的图象经过适当变换可以得到 y = cos 2 x 的图象,则这种变换可以是


A.沿 x 轴向左平移



π
2

个单位

B.沿 x 轴向右平移

π
2

个单位

C.沿 x 轴向右平移

π
4

个单位

D.沿 x 轴向左平移

π
4

个单位

? x2 + 2x ? 3 ,x >1 ? 在点 x=1 处连续,则 a 的值是 4.已知函数 f ( x ) = ? x ?1 ?ax + 1, x ≤ 1 ?
A.2 B.3 C.-2 D.-4





5.在等差数列 {an } 中,设 Sn 为其前 n 项和,已知

a2 1 S = , 则 4 等于 a3 3 S5
D.





A.

8 15

B.

40 121
2

C.

16 25

5 7


6.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ), P (ξ ≤ 4) =0.84,则 P (ξ ≤ 0) 等 于(

A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 7.某师范大学的 2 名男生和 4 名女生被分配到两所中学作实习教师,每所中学分配 1 名男 生和 2 名女生,则不同的分配方法有 ( ) A.6 种 B.8 种 C.12 种 D.24 种 8.设 m、n 是不同的直线, α , β , γ 是不同的平面,有以下四个命题 ①

α / /β ? ? ? β / /γ α / /γ ?
m ⊥α? ??α ⊥ β m / /β ?



α ⊥ β? ??m⊥ β m / /α ?
m / /n ? ? ? m / /a n ? α?
( ) D.②④





其中正确的命题是 A.①④ B.②③

C.①③

9.若 f ( x ) = x m + ax 的导函数为 f ′( x ) = 2 x + 1 ,则数列 (

1 )(n ∈ N *) 的前 n 项和为 f (n)
( )

n+2 n B. C. n +1 n ?1 θ 3 θ 4 10.若 cos = ,sin = , 则角 θ 的终 边落在直线( 2 5 2 5 n A. n +1
A. 24 x ? 7 y = 0 C. 7 x + 24 y = 0

n +1 D. n
)上 ( )

B. 24 x + 7 y = 0 D. 7 x ? 24 y = 0

11.如图,已知球 O 为棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 ( ) A.

π

6

B.

π
3

C.

6 π 6 3 π 3

D.

12.设集合 I={1,2,3,4,5,6},集合 A ? I , B ? I, 若 A 中含 有 3 个元素,B 中至少有 2 个元素,且 B 中所有数均不小于 A 中最大的数,则满足条件的集合 A、B 有 ( ) A.33 组 B.29 组 C .16 组 D.7 组

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在题中横线上。 13.函数 y = x 2 ? 1( x ≤ 0) 的反函数是 。

14 . 设 常 数 a > 0, ( ax 2 +

1 x

) 4 的 二 项 展 开 式 中 x3 的 系 数 为

b

3 , 则 2

1 + a + a 2 + a3 + ? + an + ? =
a

15.设 a > 0, b > 0 ,若 3 是 3 与3 的等比中项,则

1 1 + 的最小值为 a b



16.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,AH 为 BC 边上的高,给出以下四个 结论: ① AH ? BC = 0 ;② AH ? ( AB + BC ) = AH ? AB ;③若 AB ? AC > 0 ,则 ?ABC 为 锐角三角形;④ AC ?

AH | AH |

= c sin B 。其中所有正确结论的序号是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = cos 2 x ? sin 2 x + 2 3 sin x cos x + 1. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期,并求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若 f (α ) =2,且 α ∈ [

π π

, ] ,求 α 的值。 4 2

18.(本小题满分 12 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口, 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的, 遇到红 灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停 留的时间都是 2 min . 3

(Ⅰ)求这 名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)这名学生在上学路上因遇到红灯停 留的总时间 ξ 的分布列及期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PB ⊥ BC , PD ⊥ CD, 且 PA=2,E 为 PD 中点。 (Ⅰ)求证:PA ⊥ 平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E— AC—D 的大小; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在点 F,使得点 E 到平面 PAF 的距离为 定点 F 的位置;若不存在,请说明理由。

2 5 ?若存在,确 5

20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = ax + bx + 1( a, b ∈ R ), F ( x) = ?
2

? f ( x), x > 0 ?? f ( x), x < 0.

(Ⅰ)若 f ( ?1) = 0 且对任意实数 x 均有 f ( x) ≥ 0 成立,求 F ( x) 表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,当 x ∈ [ ?2, 2] 时, g ( x) = f ( x) ? kx 是单调函数,求实数 k 的 取值范围; (Ⅲ)设 m > 0, n < 0 ,且 m + n > 0, a > 0, f ( x ) 为偶函数,求证 F ( m) + F ( n) > 0.

21.(本小题满分 12 分) 在下表中,每行上的数从左到右都成等比数 列,并且所有公比都等于 q ,每列上的数 从 上 到 下 都 成 等 差 数 列 , 正 数 aij 表 示 位 于 第 i 行 第 j 列 的 数 , 其 中

1 5 a24 = , a42 = 1, a54 = . 8 16 (Ⅰ)求 q 的值;
(Ⅱ)求 aij 的计算公式; ( Ⅲ ) 设 数 列 {bn } 满 足 bn = ann ,{bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 试 比 较 Sn 与

Tn =

6n + 11 (n ∈ N * ) 的 大小,并说明理由。 5(n + 1)
a11 a21 a31 a41


a12 a22 a32 a42


a13 a23 a33 a43


a14 a24 a34 a44


… … … … …

a1 j a2 j a3 j a4 j

ZXXK] [来源:学科网

… … … … …

ai1


ai 2


ai 3


ai 4



[来源:学。

aij




科。网 Z。X。X。K]





22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) =| x ? a | ? ln x ( a > 0). (Ⅰ)若 a = 1 ,求 f ( x ) 的单调区间及 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若 a > 0 ,求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n + 1 + 2 +? + 2 < (n ∈ N * , n ≥ 2). 2 4(n + 1) 2 3 n

[来源:Z*xx*k.Com]


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