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2013-2014(1)高等(经济)数学复习资料 -


高等(经济)数学复习资料

考试内容:第一章、第二章、第三章、第四章。其中第三章第 7
节(曲率)、第四章第 4 节(有理函数的积分)和第 5 节(积分表的 使用)不考。

题型:选择题、填空题、计算题、应用题、证明题。 练习: P11 主要考查函数的定义域
? 3 ? x ? 0, 3.解:函数的定义域为 ? ?lg(

3 ? x ) ? 0, ? ? 49 ? x 2 ? 0, ? ? x ? 3, ? x ? 3, ? ? ? 3 ? x ? 1, ? ? x ? 2, ?| x |? 7, ? | x |? 7 ? ?

即 [?7, 2) ? (2,3) 。
f (?7) ? 1 , f [ f (?7)] ? f (1) ?

1 ?4 3 lg 2

P12 主要考查对函数进行复合结构的分解 11 解: (1 ) y ? (2) y ?
f (u ) ? u 20 , u ? ? ( x) ? 1 ? x , y ? (1 ? x) 20 ? f ?? ( x) ? f (u ) ? u 2 , u ? ? (v) ? arcsin v , v ? ? ( x) ? x 2 ,
2

y ? ? arcsin x 2 ? ? f ? ?? ?? ( x) ? ? ?

(3) y ? f (u) ? lg u , u ? ? (v) ? 1 ?
y ? lg 1 ? 1 ? x2 ? f ? ?? ?? ( x) ?? ?

v , v ? ? ( x) ? 1 ? x 2 ,

?

?

(4) y ?

f (u ) ? 2u , u ? ? (v) ? v 2 , v ? ? ( x) ? sin x ,
2

y ? 2sin

x

? f? ?? ?? ( x) ? ? ?。

P29 主要考查极限的四则运算法则的运用

5 解: (1) lim(sin x ? cos x ? x 2 ) ? lim sin x ? lim cos x ? lim x 2 ? ? ? ?
x? 2 x? 2 x? 2 x? 2

? 1? 0 ?

?2
4

? 1?

?2
4

x2 ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 2 (2) lim ? lim ? lim ? x ?1 2 x 2 ? x ? 1 x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) x ?1 2 x ? 1 3
? m? (6) li x ?1 ? 1 ? 1 3 ? 3 ? ? lim ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? x 1 ? x ? x ?1 ? 1 ? x (1 ? x)(1 ? x ? x ) ?

? lim

1 ? x ? x2 ? 3 x2 ? x ? 2 ? lim x ?1 (1 ? x )(1 ? x ? x 2 ) x ?1 (1 ? x )(1 ? x ? x 2 )

? lim
x ?1

( x ? 1)( x ? 2) x?2 3 ? ? lim ? ? ? ?1 2 2 x ? 1 (1 ? x)(1 ? x ? x ) 1? x ? x 3
? 1 ? 1 3 ? 3 ? ? lim ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? x 1 ? x ? x ?1 ? 1 ? x (1 ? x)(1 ? x ? x ) ?

? m? 另解: li x ?1

? lim
x ?1

x2 ? x ? 2 1 ? x3

(0 比 0 型,用罗比达法则)

? lim

2x ?1 3 ? ? ?1 x ?1 ?3 x 2 ?3

(7) xlim x? ???

x ? 1 ? x ? lim
2

?

x

?

x2 ? 1 ? x

??

x2 ? 1 ? x

?
x

x ???

x2 ? 1 ? x
x ? x2 ? 1 ? x2 ? x ?1 ? x
2

? lim

x ???

? lim

x ???

x ?1 ? x
2

? lim

x ???

1 1 1 ? ? 1 1? 0 ?1 2 1? 2 ?1 x
1

P36 考查重要极限的变通使用( lim ?1 ? ? ??
4 ?x

? e ,其中 lim? ? 0 )

2 解: (1)
lim ? ? lim

x x ? ? 4 4 ? 4? ? ? ? lim ? 1 ? ? ? lim ? 1 ? ? ? ? e 4 x ??? ? x ? x ??? ?? x ? ? ? ? x

(这里??4 ,
x

x ???

4 ?0) x ??? x

(2)
lim ? ? lim
x ??

? 2? lim ? 1 ? ? x ?? ? x?

?x

x ? ? ? 2 2 ? ? ? lim ?? 1 ? ? ? x ?? ? ? x? ? ? ?

2 ? ?( ? x ) x

? e2

(这里

??

?2 x



?2 ? 0) x ?? x
1 ? ?1 lim(1 ? nx) ? lim ?(1 ? nx) nx ? x ?0 x ?0 ? ? 1 x nx 1 ? x

(3)
x ?0 x ?0

? en

, ( 这 里 ? ? nx ,

lim ? ? lim nx ? 0 )

? 3x ? 2 ? (4) xlim ? ? ??? ? 3x ? 1 ?
3 lim

2 x ?1

3 x ?1 3 x ?1 ? ? 3 3 ? ? ? ? ? lim ? 1 ? ? x ??? ? ? 3x ? 1 ? ? ? ?
6 x?3 lim ? x??? 3 x?1

3

?(2 x ?1)

?e

x??? 3 x ?1

?(2 x ?1)

?e

? e2

P48 主要考查函数间断点的分类和分段函数在分段点的连 续性条件 2 解: (1)定义域为 x ? 0 ,所以 x ? 0 是函数的间断点。
? lim f ( x ) ? ?? ,所以 x ? 0 是无穷间断点。 ?
x ?0

(间断点处只要有一个单侧极限是无穷,即是无穷间断点) (2)定义域为 x ? 0 ,所以 x ? 0 是函数的间断点。
? lim f ( x) ? lim ? ?
x ?0 x ?0
x ? 0? x ?0

sin x ? 1, x

x ?0?

lim f ( x) ? lim ?
x ?0

sin x ? ?1 , ?x

lim f ( x) ? lim f ( x) ,? x ? 0 是函数的跳跃间断点。 ?

(3) f ( x) ? sgn | x |? ? ?
x ? 0? x ?0

1,

x?0 x?0

?0,

,显然分断点为 x ? 0 ,且

lim f ( x) ? lim f ( x) ? 1 ? 0 ? f (0) ,? x ? 0 是函数的可去间断点。 ?

3

x3 ? 1 3x 2 3 f ( x) ? lim 2 ? lim ? (这 解: x ? 1 是分段点。? f (1) ? a , lim x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 2 x 2
f (1) 时, 即a ?

里用了罗比达法则计算极限) , ? 当 lim f ( x) ? x ?1 函数在分段点 x ? 1 连续。

3 时 2

P49 一 、主要考查分段函数在分段点的连续性条件 3 解: x ? 0 是分段点。显然 f (0 ? 0) ? xlim ?0
f (0 ? 0) ? lim f ( x) ? lim? e x ? e 0 ? 1 , ? ?
x ?0 x ?0
?

f ( x) ? lim ( x ? a ) ? a ? f (0) , ?0
x ?0

当 f (0) ? f (0 ? 0) ?

即 f (0 ? 0) ,

a ? 1 时,函数在分段点 x ? 0 连续。

二、考查函数相等的概念及分段点为间断点时的分类 1 解:A
f

和 g 的定义域相同,都是 x ? 0 。对应法则可化成相

同,所以 A 是正确答案。 B 中两个函数定义域不同,故不相等。 C 对应法则不同,故不相等。 D 定义域不同,故不相等。 5 解 :
x?0

是 函 数

g ( x)

的 分 段 点 。

? g (0) ? 0



?1? () 0 lim g ( x) ? lim f ? ? ? lim f (u ) ? 0 ? g (0) ,即 lim g ( x) ? g x ?0 x ?0 x ?0 ? x ? u ??

,? x ? 0 是函数

的可去间断点,即第一类间断点。故答案 A 正确。 P50 主要考查分段函数在分段点的连续性条件 2 解:在分段点 x ? 0 处,
1 x x ?0 x ?0

f ( x) ? lim x?0 , f (0) ? 0, f (0 ? 0) ? lim ? ?
x ?0 x ?0

f (0 ? 0) ? lim f ( x) ? lim e ? 0 ,? lim f (0) ? 0 ? f (0) ,故函数 f ( x) 在分段 ? ?
x ?0

点 x ? 0 连续。 在分段点 x ? 1 处, f (1) ? 1 ,
1 2? ln x 2 2ln x x ?2 (这里用了罗比达法 f (1 ? 0) ? lim f ( x) ? lim ? lim ? lim x ?1? x ?1? x ? 1 x ?1? x ? 1 x ?1? 1

则计算极限) ,? f (1 ? 0) ? 2 ? 续。

f (1) ,?函数 f ( x) 在分段点 x ? 1 不连

P67 主要考查导数的四则运算法则和复合运算法则的运用以 及基本求导公式的使用,这里重点是复合函数的求导法则, 要记住并熟练掌握: y ? f (u), u ? ? ( x) , y? ? ? f ?? ( x) ??? ? f ?(u) ???( x) 。
1 3 1 2 ? 2 解: (1 ) y ? ? ? ? x ? x ? 2x ? ?3 2 1 1 ? ? 3x 2 ? ? 2 x ? 2 ? x 2 ? x ? 2 2 ? 3 ?

(7) y? ? ? xe?2 x ?? ? ( x)?e?2 x ? x ? e?2 x ??
? e?2 x ? x(?2)e?2 x ? (1 ? 2 x)e?2 x

其中 ? e?2 x ?? 的计算如下:设 f (u) ? eu ,u ? ? ( x) ? ?2 x ,则由复 合函数求导法则得: ? e?2 x ?? = ? f ?? ( x) ??? ? f ?(u)??( x) ? eu (?2) ? ?2e?2 x (8) y? ? ? arcsin x 2 ? xe x
? 1
2 2
2

?? ? ? arcsin x ?? ? ? xe ??
2 x2

2 2 ? ? ? ? 2 x ? ? ( x)?e x ? x e x ? 1? (x ) ? ?

? ?

?

2x 1? x
2x 1 ? x4
4

? ? e x ? xe x ( x 2 )? ?
? ? ?1 ? 2 x 2 ? e x

?

2

2

?

2x 1? x
4

? ? e x ? xe x ? 2 x

?

2

2

?

?

2

(10) y? ? ? e
?
?e

?

arcsin

x a

x arcsin ? ?? x ?? a ? e arcsin ? ? ? a? ? ?

arcsin

x a

? x ?? ? 2 ? ?x? ?a? 1? ? ? ?a? 1
1 ?x? 1? ? ? ?a?
2

?e

arcsin

x a

?

1 a

?

1 a2 ? x2

e

arcsin

x a

P68 主要考查经济函数的边际概念

5 解: 边际成本就是成本函数 C ( x) 的导函数, 本题即求 C?(500) 。 我们有
C?( x) ? ?100 ? 3x ? 0.001x 2 ?? ? 3 ? 0.002 x ,所以

C?(500) ? 3 ? 0.002 ? 500 ? 3 ? 1 ? 2

P71 主要考查高阶导数的计算 1 解: (1) f ?( x) ? ? x 2 ? 10 ?

?

4

?? ? 4 ? x ? 10? ? x ? 10??
2 3 2
3

? 4 ? x 2 ? 10 ? ? 2 x ? 8 x ? x 2 ? 10 ? ? x ? g ( x)
3

f ??( x) ? 8 x ? x 2 ? 10 ?

?

3

?? ? (8x)? ? ? x ?10? ? 8x ? ?? x ?10? ??
2 3 2 3
2

3 2 ? 8x ? ? x2 ? 10? ? 8x ? 3 ? x2 ? 10? ? x 2 ? 10 ??

? 8 x ? ? x 2 ? 10 ? ? 48 x 2 ? ? x 2 ? 10 ?
3

= ? x ? h( x)

类似地,有 f ???( x) ? x ? k ( x) ,所以 f ???(0) ? 0 因为 f ( x) 是 8 次多项式,所以 f (9) ( x) ? 0 ,所以 f (9) (999) ? 0 (2) f ?( x) ? ? x ?1 ? x2 ?
?
? ?1 ? x
1 2 ?2

?

?

1 2

1 1 ? ?? ? 2 ?2 2 ?2 ? ? ? ( x ) 1 ? x ? x 1 ? x ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

?

3 ? 1? 2 ?2 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 2 x ? 2?

? ?1 ? x 2 ?

?

1 2

? x 2 ?1 ? x 2 ?

?

3 2

?

? 1 1 ? ?1 ? x 2 ? 2 2 1 ? x 1 ? x2

3

f ??( x) ? ?

5 5 3 2 ?2 2 ?2 1 ? x ? 2 x ? ? 3 x 1 ? x ? ? ? ? 2

f ??(0) ? 0, f ??(1) ? ?3 ? 2 ?

?

5 2

, f ??(?1) ? 3? 2?? 2

5

4 解: (1) y? ?

1 ? (1 ? x)?1 1? x

y?? ? (?1)(1 ? x) ?2 y??? ? (?1)(?2)(1 ? x)?3

一般地,有

y ( n ) ? (?1)(?2)· · · ? ?(n ? 1) ? (1 ? x)? n ? (?1)( n?1) (1 ? x)? n

(2) u ? x , v ? e x ,由莱伯尼兹公式得:
k k n?k ( xe x )( n ) ? (u ? v)( n ) ? ? Cn u v k ?0 n

, u ( k ) ? 0, k ? 2 , u (1) ? u? ? 1 , ? u (0) ? u ? x ,

k ( k ) ( n ?k ) 0 (0) ( n ) 1 (1) ( n ?1) u v ? Cn u v ? Cn u v ? ( xe x )( n ) ? (u ? v)( n ) ? ? Cn k ?0

n

? x(e x )( n ) ? n(e x )( n?1) ? xe x ? ne x ? ( x ? n)e x
0 1 ? 1 , Cn ?n。 (e x )( k ) ? e x , ?k , Cn

, 这 里 用 到

P75 主要考查隐函数求导法和参数方程求导法的运用 1 解: (1)把 y 视为 y ? y( x) ,然后方程两边关于 x 求导数得

?x

2

? 2 xy ? y 2 ?? ? (2 x)? ,

即 ( x2 )? ? (2 xy)? ? ( y 2 )? ? (2 x)? 即 即
2 x ? 2 y ? 2 xy? ? 2 yy? ? 2 2( x ? y) y? ? 2 ? 2( x ? y)

解出

y? ?

1 ? ( x ? y) x? y

(2)把 y 视为 y ? y( x) ,然后方程两边关于 x 求导数得

? ln( x
即 即 即

2

? y 2 ) ?? ? ( x ? y ? 1)?
2

1 x 2 ? y ^ ?? ? 1 ? y? , 2 ? x ?y

2 x ? 2 yy? ? 1 ? y? x2 ? y 2
? 2y ? 2x ? 1? y ? ? 1 ? 2 ? 2 2 x ? y2 ?x ?y ?

所以

2x x2 ? y2 ? 2x x ? y2 y? ? ? 2y 2 y ? ( x2 ? y 2 ) ? 1 x2 ? y 2 1?
2

(3)把 y 视为 y ? y( x) ,然后方程两边关于 x 求导数得
y? ? ?1 ? xe y ?? ,

即 即 即

y? ? (1)? ? ( xe y )?

y? ? ?e y ? xe y y? (1 ? xe y ) y? ? ?e y

所以

y? ? ?

ey 1 ? xe y
? 2 2

5 解: (1) t ? ? 时, x ? sin ?
4

4

, y ? cos ?
2sin

2

? 0,

y? |

t?

?
4

?

dy (cos 2t )? ?2sin 2t 2 ? ? 2 ? ?2 2 | ?? | ?? | ??? ? dx t ? 4 (sin t )? t ? 4 cos t t ? 4 2 cos 4 2
? 2 ? ,0? ? 处的切线方程为 ? 2 ?

?

所以曲线在点 ? ?

? 2? y ? 0 ? ?2 2 ? x ? ? ? ? ,即 y ? ?2 2 x ? 2 2 ? ?

法线方程为 y ? 0 ? ?
5

1 ? 2? x? ,即 y ? 2 x ? 1 ? ? ? ? 2 ? 4 4 ?2 2 ?

(2) t ? 2 时, x ? 6 , y ? 12 ,
5
? 3t 2 ?? 6t ? (1 ? t 2 ) ? 3t 2 ? 2t ? ? 1? t2 ? dy (1 ? t 2 ) 2 ? y? |t ? 2 ? |t ? 2 ? |t ? 2 ? |t ? 2 3 ? (1 ? t 2 ) ? 3t ? 2t dx ? 3t ?? ? 2 ? (1 ? t 2 ) 2 ? 1? t ?
? 6t ? (1 ? t 2 ) ? 3t 2 ? 2t 6t 12 |t ? 2 ? | ? ? ?2 2 2 t ?2 3 ? (1 ? t ) ? 3t ? 2t 3 ? 3t 6 ? 12

6 12 ? 所以曲线在点 ? ? , ? 处的切线方程为 ?5 5 ? y? 12 6? 24 ? ? ?2 ? x ? ? ,即 y ? ? 2x 5 5? 5 ? 1 ? 6? 9 1 ? x ? ? ,即 y ? ? x ?2 ? 5? 5 2

法线方程为 y ? 12 ? ?
5

P81 主要考查函数的微分法则、基本的微分公式、一阶微分 形式不变性的运用以及对微分与导数关系式( dy ? f ?( x)dx )的 了解
1 2 解: (1) dy ? ? ? ?2 ?x
1 ? 1 1 ?1 1 ?? x ? dx ? ? 2 dx ? 2 ? x 2 dx ? ? 2 dx ? x 2 dx x 2 x ?

(3)

d y? ( d 2 xc o s 2 x ?)

c o? s x 22d ? x 2 ?x

d c o sx2

? cos 2 x ? 2 xdx ? x 2 ? (? sin 2 x)d 2 x

? 2 x cos 2 xdx ? 2 x2 sin 2 xdx

(6)

dy ? d arcsin 1 ? x 2 ? 1?

1

?
? ?

1 ? x2
1

?

2

d 1 ? x2

? 1?

1 ? x2 1

? ?

2

1 ? 1 2 ? (1 ? x ) 2 d (1 ? x 2 ) 2

? 1?
?? 1

1 ? x2
? x

2

1 ? 1 ? (1 ? x 2 ) 2 (?2) xdx 2

x2

1 ? x2

dx ? ?

x | x | 1 ? x2

dx

总习题 2 一、主要考查导数的定义式的变通形式、切线方 程、分段函数在分段点可导条件以及一阶微分形式的不变性 的运用

f ( x0 ? h) ? f ( x0 )\ 1 解:因为 f ?( x0 ) ? lim ,所以 h ?0

h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) \ f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) lim ? lim h ?0 h ?0 h h
? f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? ? lim ? ? ? h ?0 h ?h ? ?

? lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim h ? 0 h ?h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? lim ? lim h ?0 k ?0 h k

? f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) ? 2 f ?( x0 )

2 解: x ? e 时, y ? 0 ,又 y? ? ln x ? x ? 1 ? 1? ln x ,所以 y?(e) ? 1 ,故在
x

点 (e, 0) 处的切线方程为 y ? 0 ? 1? ( x ? e) ,即 y ? x ? e 3 解:因为函数 f ( x) 在 x ? 1 可导,所以函数 f ( x) 在 x ? 1 连续,故 有1 ?
f (1) ? f (1 ? 0) ? lim f ( x) ? lim( ax ? b) ? a ? b , 即 a ? b ? 1, 另一方面, ? ?
x ?1 x ?1

f ?? (1) ? lim f ?( x) ? lim 2x ? 2 , f ?? (1) ? lim f ?( x) ? lim a ? a 又由 f ( x) 在 x ? 1 可 ? ? ? ?
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

导知 f ?? (1) ?

f ?? (1) ,所以 a ? 2 ,从而 b ? ?1 。

4 解:方程两边求微分得:
d ? 2 y ? x ? ? d sin y ,

即 2dy ? dx ? cos ydy , 即 (2 ? cos y)dy ? dx , 所以
dy ? dx 2 ? cos y

二、主要考查可导与连续的关系 1 解:因为可导必连续,所以答案 B 正确,而其他结论不成 立,故先 B。 2 解:因为 ,所函数在 x ? 0 连续,但 f (0 ? 0)? 0? f (0)? f (0 ? 0)

1 ? cos x 1 2 ?0 x 1 ? cos x x 2 ?1 f ??(0) ? lim ? lim ? lim 2 x ? 0? x ? 0? x ?0? x x?0 x2 2
f ??(0) ? lim ?
x ?0



x2 ? 0 ? lim x ? 0 ,即 f ?? (0) ? f ?? (0) ,所以函数在 x ? 0 不可 x ? 0 x ? 0?

导。故只有 B 正确。 4 解:按导数定义计算
f ?(0) ? lim
x ?0

f ( x) ? f (0) x( x ? 1)( x ? 2)· · · ( x ? 99) ? lim x ?0 x?0 x
? lim( x ? 1)( x ? 2)· · · ( x ? 99)
x ?0

? (0 ? 1)(0 ? 2)· · · (0 ? 99) ? (?1)99 99! ? ?99!

P83 一、主要考查对曲线切线和导数几何意义的掌握 3 解: 直线 x ? y ? 1的斜率为 k ? ?1 , 设曲线 y ? ln x 在点 ( x0 , y0 ) 的切 线与该直线垂直,则有 y?( x0 ) ? ? 1 ? 1 ,即
k
y0 ? ln x0 ? ln1 ? 0 ,故所求切线方程为

1 ? 1 ,所以 x0 ? 1 , x0

y ? 0 ? 1? ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1

4 解:两边关于 x 求导得
(sin xy)? ? (ln( y ? x))? ? x? ,


? ?

cos xy ? ( y ? xy?) ?

y? ? 1 ?1 y?x

即 ? x cos xy ?

1 ? 1 ? y? ? 1 ? y cos xy ? y?x? y?x

1 y ? x ( y ? x)(1 ? y cos xy ) ? 1 所以 y? ? ? 1 ( y ? x) x cos xy ? 1 x cos xy ? y?x 1 ? y cos xy ?

1 y?(0) ? y? |( x ?0, y ?1) ? ? 1 ,所以在点 (0,1) 处切线方程为 1

y ? 1 ? 1? ( x ? 0) ,即 y ? 1 ? x

P94 主要考查洛尔定理、连续函数的零点存在定理及导数符 号与函数单调性的联系 6 证:显然 f ( x) 在闭区间 [0, x0 ] 上连续,在开区间 (0, x0 ) 可导, 又 f (0) ? 0 ,f ( x0 ) ? 0 , 所以在闭区间 [0, x0 ] 上 f ( x) 满足洛尔定理的 所有条件,所以由洛尔定理知,至少存在一个 ? ? (0, x0 ) ,使得
f ?(? ) ? 0 ,即 ?
· · ? an ?1 ? 0 的根,故结论 是方程 an nx n?1 ? a1 (n ? 1) x n?2 ? ·

成立。 9 证:令 f ( x) ? x3 ? x ? 1 ,则显然 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续, 又 f (0) ? ?1 , f (1) ? 1 ,即有 f (0) f (1) ? 0 ,所以由连续函数的零点 存在定理知,至少存在一点 ? ? (0,1) ,使得 f (? ) ? 0 ,这表明方 程 x3 ? x ?1 ? 0 至少有一正实根,又 f ?( x) ? 3x2 ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) 单调增加,故 f ( x) 在实轴上至多只有一个根。综上可知,结 论成立。 P101 主要考查罗比达法则及其变通形式的运用 1 解: (13) lim xe x ?0
1 2 x2

(这是 0 ? ? 型) (化成 ? 型,用罗比达法则)
?
?2 ?2

1

ex ? lim x ?0 1 x2

2

ex e x (?2) x ?3 ex 2 ? lim ?2 ? lim ? lim ? lim e x ? ?? ?3 x ?0 x x ?0 x ? 0 x ? 0 (?2) x 1

?2

1

? m? (14) lxi? 1

2 1 ? ? ? ? x ?1 x ?1 ?
2

(这是 ??? 型)

? lim

2 ? ( x ? 1) 1? x ? lim 2 2 x ?1 x ? 1 x?1 x ? 1 ?1 1 ? lim ?? x ?1 2 x 2
x 1 ? ? ? ? x ? 1 ln x ?

(这是 0 型,用罗比达法则)
0

? (15) lxi? m? 1

(这是 ??? 型) (这是 0 型,用罗比达法则)
0

? lim
x ?1

x ln x ? ( x ? 1) ( x ? 1) ln x x ln x ? ( x ? 1) ( x ? 1) ln x

? lim
x ?1

1 ln x ? x ? 1 ln x x ? lim ? lim x ?1 1 x?1 1 ln x ? ( x ? 1) ln x ? 1 ? x x 1 1 ? lim x ? x ?1 1 1 2 ? x x2
? 3? m ?1 ? ? (16) lxi?? ? x?
x

(还是 0 型, 用罗比达法则)
0

x

(这是 1? 型)
? lim e
x ?? ? 3? x ln ?1? ? ? x?

? lim e
x ??

? 3? ln ?1? ? ? x?

?e

x??

? 3? lim x ln ?1? ? ? x?

(指数上是 ? ? 0 型) (指数化成 0 型)
0

?e

? 3? ln ? 1? ? x lim ? ?1 ? x?? x

?e

3( ?1) x ?2 3 1? lim x x?? ( ?1) x ?2

1

3 ? lim
x ??

1? 1

3 x ?3
3 ?x

(用罗比达法则)

x x ? ? 3 3 ? 3? ? ? lim ? 1 ? ? ? lim ?? 1 ? ? ? ? e3 (利用重要极限计算更简便) 另解: x ?? ? x ? x ?? ?? x ? ? ? ? x

P107 主要考查利用一阶导数符号判定函数的单调性和二阶 导数符号判定函数的凹凸性及拐点等概念 3 解:(1)定义域为 (??, ??)

f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 , x ? (??, ??) x ? (2k ? 1)?

,且

f ?( x ) ? 0 的点是孤立的点

, k ? Z ,所以 f ( x) 在 (??, ??) 单调增加。

(3)定义域为 (??, ??)

f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 18 ? 6( x ? 1)( x ? 3)

15

df x dx

??
4

10

5

? 4

? 2

? 1

2

3

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1,

x2 ? 3

易知在 (??, ?1) 和 (3, ??) 上, f ?( x) ? 0 ,所以 (??, ?1] 和 [3, ??) 是 函数的单调增加区间,而在 (?1,3) 上, f ?( x) ? 0 ,所以 (?1,3) 是函 数的单调递减区间。 6 解: (1)定义域为 (??, ??) 。
f ?( x) ? 3 ? 4 x , f ??( x) ? ?4 ? 0 , x ? (??, ??)

所以

(??, ??) 是函数的凸区间。

(3)定义域为 (??, ??) 。
f ?( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 3 , f ??( x) ? 6 x ? 12 ,



f ??( x)? 6? x

x1 ? 2 1 ? 2 ,解得 0

在区间

(??, 2) 上, f ??( x) ? 6( x ? 2) ? 0 ,所以 (??, 2) 是函数的

凸区间,在区间 (2, ??) , f ??( x) ? 6( x ? 2) ? 0 ,所以 (2, ??) 是函数的 凹区间,而 (2, f (2)) ? (2, ?10) 是曲线的拐点。

P112 主要考查函数的极值计算 1 解:(1)定义域为 (??, ??) 。
f ?( x) ? 2 x ? 2 ,令 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 0 ,解得唯一驻点 x ? 1

又 f ??( x) ? 2 ? 0 ,特别地 f ??(1) ? 2 ? 0 ,所以由极值的第二充分 条件可知,驻点
x ? 1 是 f ( x) 的极小值点,且 f极小 ? f (1) ? 4 。

(3)定义域为 (??, ??) 。
f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x ? 18 ,令

f ?( x) ? 6( x ? 2 x ? 3) ? 6( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,解得

两个驻点

x1 ? ?1 , x2 ? 3 ,

f ??( x) ? 12 x ? 12 ? 12( x ? 1) ,

因为

f ??(? 1 ? ) ? 2?4

, 0 所以

x1 ? ?1



f ( x)

的极大值点,

f极大 ? f (?1) ? 10 , 又因为 f ??(3) ? 24 ? 0 , 所以 x ? 3 是 f ( x) 的极小值点,

且 f极小 ?

f (3) ? ?54

P136 主要考查原函数与不定积分的概念,以及凑微分法、 第二换元法,分部积分法等 1 解:因为 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,所以 ? f ( x)dx ? F ( x) ? c , 所以 ? 2 xf ( x 2 )dx ? ? f ( x 2 )d ( x 2 ) ? ? f (u )du ?F (u ) ? c ? F ( x 2 ) ? c , 其中
u ? x2

2 解:设所求曲线为 y ? f ( x) ,则依题意可得:
1 ? ? ? f ( x) ? , x ? ? f ( e ) ? 2 ? (1) (2)

由(1)可得

1 f ( x) ? ? f ?( x)dx ? ? dx ? ln | x | ?C ,再利用(2)可得 x

2 ? f (e) ? ln e ? C ? 1 ? C ,所以 C ? 1 ,故所求曲线为

f ( x) ? ln | x | ?1

3 解: (1) ? x

xdx ? ? x 2 dx ?

3

2 5 x2 ? C 5

用幂函数积分公式 用直接积分法

2? 1 x x x (3) ? ? ? 2e ? ?dx ? 2? e dx ? 2? dx ? 2e ? 2 ln | x | ?C x? x ?

(4)

1 ? e2 x 1 ? (e x ) 2 (1 ? e x )(1 ? e x ) ? 1 ? e x dx ? ? 1 ? e x dx ? ? 1 ? e x dx
? ? (1 ? e x )dx ? ? dx ? ? e x dx ? x ? e x ? C

先化简被积分函数

(5) ? cos2 xdx ? ? 1 ? cos xdx
2 2 ?
x x

对余弦函数降幂后再积分

1 1 1 1 dx ? ? cos xdx ? x ? sin x ? C ? 2 2 2 2
x

(3e) x ?C (7) ? 3 e dx ? ? (3e) dx ? ln(3e)

先改写被积函数,再用基本

积分公式 P145 主要考查凑微分法、第二换元法的运用 1 解:(1)令 u ? 3x ? 2 ,则 du ? 3dx , dx ? 1 du ,所以
3

原式 ? ? u 2 1du ? 1 ? u 2 du ? 1 2 u 2 ? C ? 2 (3x ? 2) 2 ? C
3 3 33 9

1

1

3

3

熟练后可直接写成: 原式 ? ? (3x ? 2) 2 1d (3x ? 2) ? 1 ? (3x ? 2) 2 d (3x ? 2) ? 2 (3x ? 2) 2 ? C
3 3 9
1 1 3

(2)
?

1 2 ? d ( 4? x )? ? 2 xd x ? xdx ? ? d (4 ? x 2 ) , 2
2 2 ? x 4 ? x dx ?? x(4 ? x ) 2 dx ? ? 1 1 1 2 2 (4 ? x ) d (4 ? x 2 ) 2?

3 3 12 1 2 2 2 2 ?? (4 ? x ) ? C ? ? (4 ? x ) ? C 23 3

(5)? d (1 ? e x ) ? e x dx ,? 我们有

ex d (1 ? e x ) x dx ? ? 1 ? e x ? 1 ? e x ? ln(1 ? e ) ? C

(8)?

x2 x2 ? 3 ? 3 3 ? ? dx ? dx ? ? ?1 ? 2 ? dx 2 2 ? x ?3 x ?3 ? x ?3?

被积函数分子添项减项

? ? dx ? 3?

? 3?

1
2

? x2

dx ?x ? 3

1 x arctan ?C 3 3

? x ? 3 arctan

x ?C 3

(10)? d cos x ? ? sin xdx ,?sin xdx ? ?d cos x ,
?? sin x d cos x 1 cos x dx ? ? ? 2 ? ? arctan ?C 2 2 4 ? cos x 2 ? cos x 2 2

P150 主要考查分部积分法及各种积分法的综合运用 1 解:(1)选择 x 为 u , sin xdx 为 dv 则有

? x sin xdx ? ? xd (? cos x) ?x(? cos x) ? ? (? cos x)dx
? ? x cos x ? ? cos xdx ? ? x cos x ? sin x ? C

(2) 选择 ln x 为 u , xdx 为 dv 则有
x ? x ln xdx ?? ln xd ? ?2 ?1
2

1 2 ? 1 2 ? ? x ln x ? ? x d ln x 2 ? 2

?

1 2 1 1 1 x ln x ? ? xdx ? x 2 ln x ? x 2 ? C 2 2 2 4

(4) 选择 x 2 为 u , e? x dx 为 dv 则有

?x e

2 ?x

dx ? ? x 2 d ? ?e ? x ? ? ? x 2 e ? x ? ? e ? x dx 2 ? ? x 2 e ? x ? 2 ? xe ? x dx ? ? x 2 e ? x ? 2? xd (?e ? x ) ? ? x 2e ? x ? 2[? xe ? x ? ? e ? x dx ]

? ? x 2e? x ? 2[? xe? x ? e? x ] ? C

用了两次分部积分

(6)作代换

x ? t ,则 x ? t 2 , dx ? 2tdt ,所以

原式 ? ? cos t ? 2tdt ? 2? t cos t dt ? 2? td sin t
? 2t sin t ? 2 ? sin tdt ? 2t sin t ? 2 cos t ? C

? 2 x sin x ? 2cos x ? C

(8) ? e? x cos xdx ?? cos xd (?e? x ) ? ?e? x cos x ? ? e? x (? sin x)dx
? ?e ? x cos x ? ? sin xd (?e ? x ) ? ? e ? x cos x ? e ? x sin x ? ? e ? x cos xdx

由此可得: ? e? x cos xdx ? e ? sin x ? cos x ? ? C
2

?x

(10) ? x2 cos2 x dx ?? x2 1 ? cos x dx ? 1 ? ( x2 ? x2 cos x)dx
2

2 2 1 1 ? x3 ? ? x 2 d sin x ? x3 ? x 2 sin x ? 2? x sin xdx 6 6 1 1 ? x3 ? x 2 sin x ? 2? xd (? cos x) ? x3 ? x 2 sin x ? 2 x cos x ? 2? cos xdx 6 6 1 ? x3 ? x 2 sin x ? 2 x cos x ? 2sin x ? C 6
1 1 ? x2 dx

(12) ? ? arcsin x ?2 dx ? x ? arcsin x ?2 ? 2? x arcsin x
1 ? 2 2 ? ? x ? arcsin x ? ? 2 ? arcsin xd ? ?(1 ? x ) ? ? ? 2

1 1 ? ? 1 2 ? x ? arcsin x ? ? 2 ? ?(1 ? x 2 ) 2 arcsin x ? ? (1 ? x 2 ) 2 dx ? 1 ? x2 ? ? 1 ? ? 2 ? x ? arcsin x ? ? 2 ? ?(1 ? x 2 ) 2 arcsin x ? ? dx ? ? ?

? x ? arcsin x ? ? 2(1 ? x 2 ) 2 arcsin x ? 2 x ? C
2

1


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