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广东省珠海一中等六校2015届高三数学上学期第一次联考试卷 理(含解析)


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广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第一次联考数学试卷 (理 科)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设集合 M={x|x ﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则

M∩N=() A. (0,4] B. [0,4) C. [﹣1,0) D. (﹣1,0]

2. (5 分)设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =() A. ﹣2 B. ﹣2i C. 2 D. 2i

3. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x﹣y 的最小值为()

A. ﹣2
2

B. 5
2

C. 6

D. 7

4. (5 分)若双曲线 x +ky =1 的离心率是 2,则实数 k 的值是() A. ﹣3 B. C. 3 D.

5. (5 分)平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, 于() A. 6

=(2,4) ,

=(1,3) ,则

?



B. 8

C. ﹣ 8

D. ﹣6

6. (5 分)已知某企业上半年前 5 个月产品广告投入与利润额统计如下: 月份 1 2 3 4 5 广告投入(x 万元) 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润(y 万元) 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 y=7.5x+a,若 6 月份广告投入 10(万元)估计所获利润为() A. 95.25 万元 B. 96.5 万元 C. 97 万元 D. 97.25 万元 7. (5 分)如图:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 A1B1,CD 的中点,点 M 是 EF 的动点,FM=x,过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体积为 V(x) ,则函数 V(x)的大致图象是()

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A.

B.

C.

D. 8. (5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ (x)组成的 集合:对于函数 φ (x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ (x)的值域包含于区间[﹣M,M].例 3 如,当 φ 1(x)=x ,φ 2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“? b∈R,? a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+
2

(x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B;

⑤若函数 f(x)=ln(x +a)∈A,则 a>0. 其中的真命题有() A. ①③④⑤ B. ②③④⑤ C. ①③⑤

D. ①③④

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分)若不等式|x+1|﹣|x﹣4|≥a+ ,对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是.

10. (5 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行, 则实数 a 的值为. 11. (5 分)已知数组(a1,a2,a3,a4,a5)是 1,2,3,4,5 五个数的一个排列,如数组(1, 4,3,5,2)是符合题意的一个排列.规定每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有 且仅有一个使 ai=i(i=1,2,3,4,5) ,则所有不同的数组中的各数字之和为.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (5 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 则 a 的值为. =﹣ 若 b= , a+c=4,

13. (5 分)等比数列{an}的首项 a1=﹣1,前 n 项和为 Sn,若

,则公比 q 等于.

三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为: ρ =2 cosθ , 直线的极坐标方程为: 2ρ cosθ = 它们相交所得弦长等于.

. 则

四、 (几何证明选讲选做题) 15. 已知圆 O 的半径为 3, 从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC, 圆心 O 到 AC 的距离为 2 AB=3,则切线 AD 的长为.



五、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在闭区间[﹣ , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos x+
2

,x∈R.

17. (12 分)广东某六所名校联盟办学,他们不但注重学生的学习成绩的提高,更重视学生的 综合素质的提高;六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4 个小组进行综合素质过 关测试,设 4 个小组中:甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为 0.6,0.5,0.5, 0.4,各组是否过关是相互独立的. (1)求测试中至少 3 个小组过关的概率; (2)X 表示测试中能够过关的组数,求 X 的数学期望. 18. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,∠BAC=120°,且 AB=AC=AP,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 BN= BC. (1)求证:MN⊥AB;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)求平面 MAN 与平面 PAN 的夹角的余弦值.

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项的和是 Sn 满足:? n∈N 都有:Sn= (n+
3

*

+bn)

﹣1,其中数列{bn}是公差为 1 的等差数列; (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求 Tn=c1+c2+?+cn.

20. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线 x﹣y+2 =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,连结 AP, AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,试探究直线 MR、NR 的斜率之积是否为定值,若为定值,请

求出;若不为定值,请说明理由. 21. (14 分)定义在 R 上的函数 g(x)及二次函数 h(x)满足: 且 h(﹣3)=﹣2. (Ⅰ)求 g(x)和 h(x)的解析式; (Ⅱ)对于 x1,x2∈[﹣1,1],均有 h(x1)+ax1+5≥g(x2)﹣x2g(x2)成立,求 a 的取值范 围; (Ⅲ)设 ,讨论方程 f[f(x)]=2 的解的个数情况.

广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 1. (5 分)设集合 M={x|x ﹣3x﹣4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=() A. (0,4] B. [0,4) C. [﹣1,0) D. (﹣1,0] 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解一元二次不等式化简集合 M,然后直接利用交集运算求解. 2 解答: 解:由 x ﹣3x﹣4<0,得﹣1<x<4. 2 ∴M={x|x ﹣3x﹣4<0}={x|﹣1<x<4}, 又 N={x|0≤x≤5}, ∴M∩N={x|﹣1<x<4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4) .
2

故选:B. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.

2. (5 分)设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =() A. ﹣2 B. ﹣2i C. 2 D. 2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把 z 及 代入 +i? ,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解:∵z=1+i, ∴ ∴ +i? = ,

=



故选:C. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

3. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=x﹣y 的最小值为()

A. ﹣2

B. 5

C. 6

D. 7

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

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分析: 先画出约束条件

的可行域, 再将可行域中各个角点的值依次代入目标函

数 z=x﹣y,不难求出目标函数 z=x﹣y 的最小值.

解答: 解:如图作出阴影部分即为满足约束条件

的可行域,



得 A(3,5) ,

当直线 z=x﹣y 平移到点 A 时,直线 z=x﹣y 在 y 轴上的截距最大,即 z 取最小值, 即当 x=3,y=5 时,z=x﹣y 取最小值为﹣2. 故选 A.

点评: 本题主要考查线性规划的基本知识,用图解法解决线性规划问题时,利用线性规划 求函数的最值时,关键是将目标函数赋予几何意义. 4. (5 分)若双曲线 x +ky =1 的离心率是 2,则实数 k 的值是() A. ﹣3 B. C. 3 D.
2 2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据双曲线方程可知 a 和 b,进而求得 c 的表达式,利用离心率为 2 求得 k 的值. 解答: 解:依题意可知 a=1,b= ∴c= ∴ = =2,求得 k=﹣±

故选 B 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生的基础知识的积累.

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5. (5 分)平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, 于() A. 6

=(2,4) ,

=(1,3) ,则

?



B. 8

C. ﹣ 8

D. ﹣6

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的向量的坐标和向量加法的平行四边形法则,写出要用的向量的坐标,根 据两个向量数量积的坐标公式写出向量的数量积. 解答: 解:∵由向量加法的平行四边形法则可以知道, , ∵ ∴ ∵ ∴ ? =(2,4) , =(1,3) ,

=(﹣1,﹣1) =(﹣3,﹣5) =(﹣1)×(﹣3)+(﹣1)×(﹣5)=8

故选 B. 点评: 本题考查向量的数量积和向量的加减,向量是数形结合的典型例子,向量的加减运 算是用向量解决问题的基础,要学好运算,才能用向量解决立体几何问题,三角函数问题,好 多问题都是以向量为载体的. 6. (5 分)已知某企业上半年前 5 个月产品广告投入与利润额统计如下: 月份 1 2 3 4 5 广告投入(x 万元) 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润(y 万元) 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 y=7.5x+a,若 6 月份广告投入 10(万元)估计所获利润为() A. 95.25 万元 B. 96.5 万元 C. 97 万元 D. 97.25 万元 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 首先求出 x,y 的平均数,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,根据样本中心 点满足线性回归方程,代入已知数据求出 a 的值,写出线性回归方程.当自变量取 10 时,把 10 代入线性回归方程,求出所获利润. 解答: 解:由题意, = (9.5+9.3+9.1+8.9+9.7)=9.3, = (92+89+89+87+93)=90, 将(9.3,90)代入 y=7.5x+a,可得 a=20.25, ∴x=10 时,y=75+20.25=95.25. 故选:A.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查回归分析的初步应用,考查求线性回归方程,考查预报 y 的值,是一个综 合题目. 7. (5 分)如图:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 A1B1,CD 的中点,点 M 是 EF 的动点,FM=x,过点 M、直线 AB 的平面将正方体分成上下两部分,记下面那部分的体积为 V(x) ,则函数 V(x)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数思想. 分析: 本题关键是理解,体积 V(x)的变化是随变 x 的变化而怎样变化的,可以找列出 V 关于 x 的关系式,利用相似比就可以找到它们的关系,从而得到答案,当然此题也可以从体积 的变化快慢来理解得到答案. 解答: 解:如图: (1)当 时,过点 M、直线 AB 作平面交 CC1,DD1 于点 P、Q,则

四边形 ABPQ 为矩形, 此时,截面下面那部分是三棱矩 ADQ﹣BCP, ∵FM=CM1=x,如图:B1C= ,△BB1M1∽△PM1C,由相似比得, ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ,∴CP= , = ;

∴三棱矩 ADQ﹣BCP 的体积 V(x)=S△BCP?AB= (2)当

时,过点 M、直线 AB 作平面交 B1C1,A1D1 于点 P、Q,则四边形 ABPQ 为矩

形, 此时,截面下面那部分是四棱矩 ADQA1﹣BCPB1, ∵FM=x,由相似比知 C1P= , = .

∴四棱矩 ADQA1﹣BCPB1 的体积 V(x)=

∴V(X)=



由解析式,知 V(x)的图象为 C. 故选:C. 点评: 本题考查空间相象能力,函数思想,关键是要求理解变量与变量之间的关系.属于 较难题. 8. (5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ (x)组成的 集合:对于函数 φ (x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ (x)的值域包含于区间[﹣M,M].例 3 如,当 φ 1(x)=x ,φ 2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“? b∈R,? a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; ④若函数 f(x)=aln(x+2)+
2

(x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B;

⑤若函数 f(x)=ln(x +a)∈A,则 a>0. 其中的真命题有() A. ①③④⑤ B. ②③④⑤ C. ①③⑤

D. ①③④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 由函数的定义判断①;举具体函数 f(x)=x(﹣1<x<1)说明②错误;由函数的定 义结合①判断③; 由 f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2) ,知当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值.当

a=0 时可得命题正确;由对数函数定义域和值域间的关系判断⑤. 解答: 解:对于①,若 f(x)∈A,则 f(x)的值域为 R,于是,对任意的 b∈R,一定存 在 a∈D,使得 f(a)=b,故①正确;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于②,取函数 f(x)=x(﹣1<x<1) ,其值域为(﹣1,1) ,于是,存在 M=1,使得 f(x) 的值域包含于[﹣M,M]=[﹣1,1],但此时 f(x)没有最大值和最小值,故②错误; 对于③,当 f(x)∈A 时,由①可知,对任意的 b∈R,存在 a∈D,使得 f(a)=b, ∴当 g(x)∈B 时,对于函数 f(x)+g(x) ,如果存在一个正数 M,使得 f(x)+g(x)的值 域包含于[﹣M,M],那么对于该区间外的某一个 b0∈R,一定存在一个 a0∈D,使得 f(a0)=b ﹣g(a0) ,即 f(a0)+g(a0)=b0?[﹣M,M],故③正确; 对于④,f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2) ,

当 a>0 或 a<0 时,函数 f(x)都没有最大值. 要使得函数 f(x)有最大值,只有 a=0,此时 f(x)= ], ∴存在正数 M= ,使得 f(x)∈[﹣M,M],故④正确; 对于⑤,若 f(x)∈A 值域是 R,则 x +a 的值要取遍所有的正实数,从而 a≤0,故⑤错误. ∴正确的命题是①③④. 故选:D. 点评: 本题是新定义题,考查了命题的真假判断与应用,训练了特值法思想在解题中的应 用,关键是对题意的理解,是中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分) 若不等式|x+1|﹣|x﹣4|≥a+ ,对任意的 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是(﹣ ∞,﹣4]∪[﹣1,0) . 考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 令 y=|x+1|﹣|x﹣4|,则由||x+1|﹣|x﹣4||≤|(x+1)﹣(x﹣4)|=5,求得 y 的最 小值,再由题意得﹣5≥a+ ,解出不等式即可. 解答: 解:令 y=|x+1|﹣|x﹣4|, 则由||x+1|﹣|x﹣4||≤|(x+1)﹣(x﹣4)|=5, 即有﹣5≤y≤5, 当 x=﹣1 时,取得最小值﹣5. 由题意得,﹣5≥a+ ,
2

(x>﹣2) ,易知 f(x)∈[﹣ ,

即有





解得 a∈?或 a≤﹣4 或﹣1≤a<0. 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪[﹣1,0) . 故答案为: (﹣∞,﹣4]∪[﹣1,0) .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查不等式恒成立问题,注意转化为求最值,考查不等式的解法,属于中档题 和易错题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行, 则实数 a 的值为 1. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数, 得到函数在 x=1 处的导数, 由导数值等于﹣ 求得实数 a 的值. 解答: 解:由 f(x)=ln(1+x)﹣ax,得 , 则 .

∵函数 f(x)=ln(1+x)﹣ax 的图象在 x=1 处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行, ∴ ,

即 a=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率, 就是函数在该点处的导数值.是中档题. 11. (5 分)已知数组(a1,a2,a3,a4,a5)是 1,2,3,4,5 五个数的一个排列,如数组(1, 4,3,5,2)是符合题意的一个排列.规定每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有 且仅有一个使 ai=i(i=1,2,3,4,5) ,则所有不同的数组中的各数字之和为 675. 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得满足 ai=i,即该数字的大小与位置相同的情况有 5 种,再举例 a1=1,由分步计数原理计算可得 a1=1 时,满足题意的数组的个数,由满足 ai=i 的情况数目, 计算可得满足题意的数组的个数,又由每个数组里,各数字之和为 1+2+3+4+5=15,将其相乘, 即可得答案. 解答: 解:根据题意,每一个排列只对应一个数组,且在每个数组中有且仅有一个使 ai=i, 则 ai=i,即该数字的大小与位置相同的情况有 5 种,剩余的 4 个数字的大小与位置均不相同, 假设 a1=1,即 1 在第一个位置,则 2、3、4、5 四个数字分别放在第 2、3、4、5 的位置, 数字 2 有 3 种放法,若放在位置 3,则数字 3 有 3 种放法,数字 4、5 只有 1 种放法, 即 a1=1 时,有 3×3=9 个满足题意的数组, 则满足题意的数组共有 5×9=45 个, 每个数组里,各数字之和为 1+2+3+4+5=15, 则所有不同的数组中的各数字之和为 45×15=675; 故答案为 675. 点评: 本题考查排列、组合的应用,难点在于理解“每个数组中有且仅有一个使 ai=i”的 含义,分析得到满足题意的数组的个数.

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12. (5 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 且 则 a 的值为 1 或 3.

=﹣

若 b=

, a+c=4,

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式, 求出角 B, 再由余弦定理, 结合条件, 解方程,即可得到 a. 解答: 解: =﹣ ,

即有﹣2acosB=bcosC+ccosB, 即﹣2sinAcosB=sinBcosC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA, 即有 cosB=﹣ , 由于 B 为三角形的内角,则 B=
2 2 2 2


2

又 b =a +c ﹣2accosB,即有 13=a +c +ac, 又 a+c=4, 解得,a=1,c=3 或 a=3,c=1. 故答案为:1 或 3. 点评: 本题考查正弦定理和余弦定理的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式及应 用,考查运算能力,属于中档题.

13. (5 分)等比数列{an}的首项 a1=﹣1,前 n 项和为 Sn,若

,则公比 q 等于



考点: 等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 利用数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式 得出 =1+q =
5

,解出 q 即可.

解答: 解: ∵{an}是等比数列, 由数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式得 S10= (a1+a2+?a5) +(a6+a7+?+a10)=S5+q (a1+a2+?a5)=(1+q )S5∴
5 5

=1+q =

5

,q =

5

,q=



故答案为:



点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和的计算、通项公式.利用数列前 n 项 定义,避免了 在转化 时对公比 q 是否为 1 的讨论.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为: ρ =2 cosθ , 直线的极坐标方程为: 2ρ cosθ = 它们相交所得弦长等于 3.

. 则

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,求得圆心和半径,再求得弦心距,利用弦长公式 求得弦长. 2 解答: 解:曲线 C 的极坐标方程为:ρ =2 cosθ ,即 ρ =2 cosθ ,化为直角坐标方程 为 表示以 C( +y =3, ,0)为圆心,半径等于 的圆. , =3,
2

直线的极坐标方程为:2ρ cosθ = 故弦心距为 d= ,故弦长为 2

,即 x= =2

故答案为:3. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式和弦长 公式的应用,属于基础题. 四、 (几何证明选讲选做题) 15. 已知圆 O 的半径为 3, 从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC, 圆心 O 到 AC 的距离为 2 AB=3,则切线 AD 的长为 .



考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由已知中圆 O 的半径为 3,圆心 O 到 AC 的距离为 2 ,由半径长、弦心距、半弦长 构成直角三角形,满足勾股定理,我们易求出 BC 的长,进而求出 AC 长,由切割线定理,得到 切线 AD 的长. 解答: 解:∵圆 O 的半径为 3, 圆心 O 到 AC 的距离为 2 ∴BC=2 又∵AB=3,∴AC=5 又∵AD 为圆 O 的切线 ABC 为圆 O 的割线 由切割线定理得: =2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com AD =AB?AC=3×5=15 ∴AD= 点评: 本题考查的知识点是弦长公式,切割线定理,其中根据半径长、弦心距、半弦长构 成直角三角形,满足勾股定理,求出 BC 的长,是解答本题的关键. 五、解答题(本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在闭区间[﹣ , ]上的最大值和最小值. )﹣ cos x+
2 2

,x∈R.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数 的周期公式 求出此函数的最小正周期; 的范围,再利用正弦函数

(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中 x 的范围,求出 的性质求出再已知区间上的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx?( sinx = = = = 所以,f(x)的最小正周期 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)= 由 x∈[﹣ ∴当 当 = , =﹣ ]得,2x∈[﹣ 时,即 , ],则 =π . , ∈[ , cosx)

], ,

=﹣1 时,函数 f(x)取到最小值是: = 时,f(x)取到最大值是: , .

时,即

所以,所求的最大值为 ,最小值为

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式,正弦函数的性质,以及复合三角函数 的周期公式 应用,考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.

17. (12 分)广东某六所名校联盟办学,他们不但注重学生的学习成绩的提高,更重视学生的 综合素质的提高;六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4 个小组进行综合素质过 关测试,设 4 个小组中:甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为 0.6,0.5,0.5, 0.4,各组是否过关是相互独立的. (1)求测试中至少 3 个小组过关的概率; (2)X 表示测试中能够过关的组数,求 X 的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据相互对立事件的概率的乘法公式求出测试中至少 3 个小组过关的概率 P; (2)求出 X 的可能取值,从而求出 X 的分布列与数学期望. 解答: 解: (1)测试中至少 3 个小组过关的概率为 2 2 2 2 P=0.6×0.5 ×(1﹣0.4)+2×0.6×0.5 ×0.4+(1﹣0.6)×0.5 ×0.4+0.6×0.5 ×0.4 =0.09+0.12+0.04+0.06 =0.31; (2)∵X 的可能取值为 0,1,2,3,4; 2 ∴P(X=0)=(1﹣0.6)×0.5 ×(1﹣0.4)=0.06, 2 2 2 P(X=1)=0.6×0.5 ×(1﹣0.4)+2×(1﹣0.6)×0.5 ×(1﹣0.4)+(1﹣0.6)×0.5 ×0.4 =0.25, 2 P(X=4)=0.6×0.5 ×0.4=0.06; 由(1)知,P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=0.31, ∴P(X=3)=0.31﹣0.06=0.25, ∴P(X=2)=1﹣P(X=0)﹣P(X=1)﹣P(X=3)﹣P(X=4) =1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38, ∴EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06 =2. 点评: 本题考查了相互对立事件的概率乘法公式的应用问题,也考查了离散型随机变量的 分布列与数学期望的应用问题,是中档题目. 18. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,∠BAC=120°,且 AB=AC=AP,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 BN= BC. (1)求证:MN⊥AB; (2)求平面 MAN 与平面 PAN 的夹角的余弦值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知条件推导出△NBA∽△ABC,取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ,推导出 AB⊥平 面 MNQ,由此能证明 AB⊥MN; (2)过 B 作 BD∥AC,交 AN 延长线于 D,连 PD,分别取 PD、AD 中点 E、F,连 ME,EF,MF, 可得∠EFM 是所求两面角的平面角,即可求平面 MAN 与平面 PAN 的夹角的余弦值. 解答: (1)证明:设 AB=AC=AP=1,又∠BAC=120°, 2 ∴在△ABC 中,BC =1+1﹣2×1×1×cos120°=3, ∴BC= , ∴BN= ∴ , ,

又∠ABC=∠NBA,∴△NBA∽△ABC, 且△NBA 也为等腰三角形. 取 AB 中点 Q,连接 MQ、NQ,∴NQ⊥AB,MQ∥PAQ, ∵PA⊥面 ABC,∴PA⊥AB,∴MQ⊥AB, ∴AB⊥平面 MNQ, 又 MN? 平面 MNQ,∴AB⊥MN; (2)解:过 B 作 BD∥AC,交 AN 延长线于 D,连 PD,分别取 PD、AD 中点 E、F,连 ME,EF, MF, 由 CA⊥面 PAD,BD∥AC∥ME,PA⊥AN,EF∥PA,则 ME⊥面 PAD,EF⊥AN, 且 MF⊥AN,∴∠EFM 是所求两面角的平面角. BD= AC= ,ME= BD= ,EF= PA= ,MF= ∴cos∠EFM= . ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的求法,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题. 19. (14 分)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项的和是 Sn 满足:? n∈N 都有:Sn= (n+
3 *

+bn)

﹣1,其中数列{bn}是公差为 1 的等差数列; (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求 Tn=c1+c2+?+cn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据已知条件及 a1=S1 即可求出 b1= 知的 Sn 即得 ,所以 n>1 时, ,所以 ,代入已 ,并且验证

n=1 时是否符合通项 an,即可得出数列{an}的通项公式:



(Ⅱ)根据已知的 cn 可先求出 c1=﹣12,然后求出 n>1 时的 ,并且验证 n=1 是否符合即可得出 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)由已知条件知: ∴解得 ; ,

,所以求出

∵数列{bn}是公差为 1 的等差数列, ∴ ∴ ∴当 n>1 时, n=1 带入上式得 a1=4 不满足已知 a1=3; ∴ ; ; =4(3n ﹣3n+1) ;
2



(Ⅱ)n=1 时,



n>1 时,

=



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴Tn=c1+c2+?+cn= n=1 带入上式 T1=﹣12,即 n=1 符合 Tn; ∴ . ;

点评: 考查数列的前 n 项和与通项 an 的关系,等差数列的通项公式,通过让前后项相互抵 消的方法求数列前 n 项和.

20. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线 x﹣y+2 =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,连结 AP, AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,试探究直线 MR、NR 的斜率之积是否为定值,若为定值,请

求出;若不为定值,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知条件推导出 , ,由此能求出椭圆 C 的方程.
2 2

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,设直线 PQ:x=my+3,与椭圆方程联立,得(3m +4)y +18my ﹣21=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线 MR、NR 的斜率为定值 解答: 解: (1)由题意: (2 分) .

(4 分)

故椭圆 C 的方程为

(5 分)

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,若直线 PQ 与纵轴垂直, 则 M,N 中有一点与 A 重合,与题意不符, 故可设直线 PQ:x=my+3. (6 分) 2 2 将其与椭圆方程联立,消去 x 得: (3m +4)y +18my﹣21=0(7 分) (8 分)

由 A,P,M 三点共线可知,



, (9 分)

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同理可得

(10 分)

(11 分)



(12 分)

所以

故直线 MR、NR 的斜率之积为定值

. (14 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明,解题时要 认真审题,注意韦达定理的合理运用. 21. (14 分)定义在 R 上的函数 g(x)及二次函数 h(x)满足: 且 h(﹣3)=﹣2. (Ⅰ)求 g(x)和 h(x)的解析式; (Ⅱ)对于 x1,x2∈[﹣1,1],均有 h(x1)+ax1+5≥g(x2)﹣x2g(x2)成立,求 a 的取值范 围; (Ⅲ)设 ,讨论方程 f[f(x)]=2 的解的个数情况.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 数形结合法;导数的综合应用. 分析: (1)求抽象函数 g(x)的解析式,运用了方程的思想;而 h(x)是具体函数,可 以直接设出来,用待定系数法求之. (2)?(x)≥F(x)恒成立,即:?(x)min≥F(x)max,利用导数分别求出 ?(x)和 F(x) 的最小值和最大值. (3)利用数形结合,对参数进行讨论求出方程的根的个数. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ,即 由①②联立解得:g(x)=e ﹣3. ∵h(x)是二次函数,且 h(﹣2)=h(0)=1,可设 h(x)=ax(x+2)+1, 由 h(﹣3)=﹣2,解得 a=﹣1. 2 ∴h(x)=﹣x(x+2)+1=﹣x ﹣2x+1, x 2 ∴g(x)=e ﹣3,h(x)=﹣x ﹣2x+1.
x

,①,在①中以﹣x 代替 x 得: ,②

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)设 ?(x)=h(x)+ax+5=﹣x +(a﹣2)x+6,F(x)=e ﹣3﹣x(e ﹣3)=(1﹣x)e +3x ﹣3, 依题意知:当﹣1≤x≤1 时,?(x)min≥F(x)max, x x x ∵F′(x)=﹣e +(1﹣x) (e ﹣3)+3=﹣xe +3,在[﹣1,1]上单调递减,∴F′(x)min=F′ (1)=3﹣e>0, ∴F(x)在[﹣1,1]上单调递增, ∴F(x)max=F(1)=0, ∴ ,解得:﹣3≤a≤7,
2 x x x

∴实数 a 的取值范围为[﹣3,7]. f(x) (Ⅲ)当 f(x)>0 时,有 e ﹣3=2,则 f(x)=ln5, 2 当 f(x)≤0 时,有=﹣f(x) ﹣2f(x)+1=2,则 f(x)=﹣1, 即若 f[f(x)]=2,则有 f(x)=﹣1 或 f(x)=ln5, 而 f(x)的图象如图所示: y=f(x)与 y=﹣1 有 2 个交点,与 y=ln5 有 1 个交点, 则 f[f(x)]=2 共有 3 个解.

点评: 本题考查了:求函数解析式的方法,运用方程思想求抽象函数解析式,用待定系数 法求具体函数解析式;利用最值解决恒成立问题;利用数结合法解决方程根的个数问题.这些 问题都是我们经常遇到的,所以在平时应多多注意.这是一道综合性很强的导数试题.难度较 大.

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