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浙江省衢州市五校2015届高三上学期期中联考数学(理)


浙江省衢州市五校 2015 届高三上学期期中联考数学(理)试题
一、选择题本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知向量 a ? (1, ?2) , b ? (? , y ) ,若 a // b ,则 y ? ( A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2 )

1 2



2 2 2.

已知 a , b 是实数,则“ a ? b ”是 “ a ? b ” 的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 x 3.函数 f ( x) ? 2 +3x 的零点所在的一个区间是( ). A. (-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 4. 数列{a n }为等差数列,若 a 2 +a 5 +a 8 = ? ,则 tan( a3 ? a7 ) 的值为( )

A.

3 3

B. ?

3 3


C. 3

D. ? 3

? 5. sin ?600 的值是 (

?

?

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

6. 已知 sin ? ? cos ? ? 2, ? ? (0, ? ) ,则 tan ? ? ( A.1 B.-1 C.

) D. 2 )

1 2

? 3 x ?1 , x ? 0, 7.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ? x 0 ? ? 3 ,则 x 0 的取值范围是( ?log 2 x, x ? 0.
A. x 0 ? 8 B. x 0 ? 0 或 x 0 ? 8 C. 0 ? x 0 ? 8

D. x 0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8 .

8.要得到函数 y ? cos 2 x 的图象,可由函数 y ? cos(2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
3

) 的图像(



? ?
3

个长度单位 个长度单位

B.向右平移

?
3

个长度单位 个长度单位

6

D.向右平移

?
6

9.若函数 f ? x ? ? 2sin(?x ? ? ) , ( x ? R, ? ? 0, ? ? 则( )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (0) ? 3 ,

A. ? ?

? 1 ,? ? 6 2

B. ? ?

? 1 ,? ? 3 2

C. ? ? 2 , ? ?

?
6

D. ? ? 2 , ? ?

?
3

10.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边,若 sin A 、 sin B 、 sin C 依次成等比数列,

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则角 B 的取值范围是( A . ? 0,

) C. ? , ? ?3 2 ?

? ?? ? ? 6?

B. ? 0,

? ?? ? ? 3?

?? ? ?

D .? , ? ?6 2 ?

?? ? ?

二、填空题本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
2 11、已知集合 A= x ? N x ? 3 ? 0 ,B= x ? Z x ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B =

?

?

?

?

.

12.已知实数 a , b 满足等式 log3 ? log4 ,给出下列五个关系式: ① a ? b ? 1 ;② b ? a ? 1 ;③ a ? b ? 1 ;④ b ? a ? 1 ;⑤ a ? b . 其中可能关系式是 .

a

b

13.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, c,若 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc, 且AC ? AB ? 4 , 则△ABC 的面积等于 14.等比数列 ?an ? 中, S 4 ? 5S 2 ,则 .

a1 ? a5 = a3 ? a5



15..在平面直角坐标系中, i, j 分别是与 x , y 轴正方向同向的单位向量,平面内三点 A、B、 C 满足, AB ? i ? 2 j 的值为
? ? ? ?

, AC ? 2i ? m j .若 A、B、C 三点构成直角三角形,则实数 m .
? ? ? ?

16 . 平 面 向 量 a , b , e 满 足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 , 则 a ? b 的 最 小 值 为 .

?

?

? ?

17.已知 f(x) 是以 2 为周期的偶函数,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,那么在区间 [?1, 3] 内, 关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 1( k ? R 且 k ? ?1 )有 4 个不同的根,则 k 的取值范围 是 .

第 -2- 页 共 7 页

三、解答题本大题共 5 题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 已知 {an } 是递增的等差数列, a1 ? 2, a22 ? a4 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
a

19. 本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边,已知 cos 2 A ? ? (1)求 sin A ; (2)当 c ? 2 , 2sin C ? sin A 时,求 ?ABC 的面积.

1 . 4

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a , x ??1, ?? ? . x

(1)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ??1, ?? ? , f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分 15 分) 已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) ? x x ? m . (1) 解不等式 f ( x) ? x ;
第 -3- 页 共 7 页

(2)对任意 x1, x2 ??1,1 ? a? ,总有 f ( x1) ? f ( x2 ) ? 2 ,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分) 已知 a ? ( 3sin x,cos x ? sin x) , b ? (2cos x,sin x ? cos x) , f ( x) ? a ? b . (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 当 x ? ?

? 5? 5? ? 2 对任意 t ? R , 不等式 mt ? mt ? 3 ? f ( x) 恒成立, 求实数的 m , ? 时, ? 24 12 ?

取值范围.

第 -4- 页 共 7 页

2014 学年度第一学期五校联考高三理科数学期中参考答案
1-10ADBDCBACDB 11. ??2, ?1,0,1,2,3? , 12.②④⑤, 13. 2 3 , 14. 0 或 ? 16.

3 3 ,15. ?1 或 , 2 4

5 ? 1 ? , 17. ? ? ,0 ? 4 ? 3 ?
(2+d) =2+3d+8,d +d-6=(d+3)(d-2)=0, 得 d=2. 得 an=2n. (2)bn=an+2an=2n+2 .
2n 2 2

18. 解:(1)设等差数列的公差为 d,d>0.由题意得, ?????????????4 分 ?????????????7 分

故 an=a1+(n-1)·d=2+(n-1)·2=2n,

2 +?+2 ) =

4

Sn=b1+b2+?+bn=(2+22)+(4+24)+?+(2n+22n)=(2+4+6+?+2n)+(22+ n (2+2n)·n 4·(1-4 ) 2n
2
n+1



1-4 ?????????????14 分

4 =n(n+1)+

-4 . 3

1 19.解:( 1) cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ? ? ? 2分 4 10 ? sin A ? ? , 又 ? 在?ABC中sin A ? 0 4 10 ? sin A ? ? 6分 4 (2) ? 2 sin C ? sin A ? 2c ? a ? 4, sin C ? 10 8 3 6 ? 9分 8

? a ? c ? cosC ? 0 ? cosC ? 1 ? sin 2 C ? 根据余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC有 b 2 ? 3 6b ? 12 ? 0 ? b ? 6或2 6 ?12分 ? ?ABC的面积S ?

1 15 bc sin A ? 15或 ?14分 2 2
???2 分 ???5 分

20.解:(Ⅰ)当 a=

1 1 时,f(x)=x+ +2, 2 2x

∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,

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∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)=

7 .???7 分 2

(Ⅱ)方法一:在区间[1,+∞)上,f(x)=

x 2 ? 2x ? a >0 恒成立 x

? x2+2x+a>0 恒成立.
2

???9 分

设 y=x +2x+a,x∈[1,+∞) , 2 2 y=x +2x+a=(x+1) +a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a, 于是当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)恒成立, 故 a>-3.???????14 分 方法二:f(x)=x+

a +2,x∈[1,+∞) , x

当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正,当 a<0 时,函数 f(x)递增, 故当 x=1 时,f(x)=3+a,于是当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3. ???14 分

x 2 ? 2x ? a 方法三: 在区间 [ 1, +∞ ) 上 f (x) = x 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 ? a x
>-x -2x 恒成立 2 又∵x∈[1,+∞]a>-x -2x 恒成立 ∴a 应大于 u=-x -2x,x∈[1,+∞ ) 的最大值
2 2

∴a>-(x+1) +1,x=1 时 u 取得最大值,∴a>-3 ???????????14 分

2

21.解: ? f ( x) ? x x ? m 是定义域为R的奇函数? m ? 0, ? f ( x) ? x x ? 3分 (1)由x x ? x得
x?0 x2 ? x

?x x ? 1或 ? 1 ? x ? 0 ?? 7分 ? 不等式的解集为
(2)f ( x) ?

?



?

x?0 -x2 ? x

?

x 2 , x?0 ? x 2 , x ?0

由f ( x)的图像知f ( x)在(- ?, ? ?)上单调递增 ? f ( x)在[1,1 ? a]上单调递增? 9分 ? f (1 ? a) ? f (1) ? 2 即( 1 ? a) 1? a ?1 ? 2 ?1 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 3 ? 1?15分

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? ? 22.解:f ( x) ? a ? b ? 2 3 sin x cos x ? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? (1)令 — —

?
6

)? 3分

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k?,k ? Z得

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k?,k ? Z

? ? ? ? ?函数f(x)的单调递增区间为 ? — 6 ? k? , 3 ? k? ?, (k ? Z )? 7分 ? ? 5? 5? ? ? 2? (2)当x ? [ , ]时, ? 2 x ? ? , 24 12 4 6 3
) ? 2?10分 6 ? 对任意t ? R, 不等式m t2 ? m t ? 3 ? f ( x)恒成立 ? m t2 ? m t ? 3 ? f max ( x)恒成立,? m t2 ? m t ? 3 ? 2,即m t2 ? m t ? 1 ? 0恒成立 若m ? 0, 符合条件 若m ? 0, 则m ? 0且m 2 ? 4m ? 0,即0 ? m ? 4 ? 实数m的取值范围为 0 ? m ? 4?15分 ? 2 ? 2 sin(2 x ?

?

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