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空间直角坐标系与距离


两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

/> 空间两点间的距离公式 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离:
z

| OP |?

x ? y ?z
2 2

2

P(x,y,z)
O
y

P`(x,y,0)
x

(1) 在空间直角坐标系中,任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:
| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2

z

P1(x1,y1,z1)
O

P2(x2,y2,z2) H

M

y

N

x

练习

课本P138 练习1

1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点,并 求出它们之间的距离: (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)
解 : 由 两 点 间 距 离 公有 式: (1) | AB |? ( 2 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? (5 ? 4) ? 6
2 2 2

( 2) | AB |? (6 ? 3) ? (0 ? 5) ? (1 ? 7) ? 70
2 2 2

课本P138 练习2
2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.

解:设 M点 的 坐 标 为 (0,0, a ) 由 题 意 可 知 |: MA |?| MB | 即 :(0 ? 1) ? (0 ? 0) ? (a ? 2)
2 2 2

? (0 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (a ? 1) 2 解得: a ? ?3 ? M点 的 坐 标 为 (0,0,?3)

例 2 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

例3

设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为

到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标 .

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2 ? ? PP2 ? x ? ? 1 ? 1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

练习

课本P138 练习4

3、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长.
z D` A` C` B` M

O
A x

C

N
B

y


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