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【金版教程】2014届高考数学总复习 第2章 第7讲 函数的图象课件 理 新人教A版


第7讲

函数的图象

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表

法、解析法表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的 个数与不等式的解的问题. 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.

1条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,函数的

单调性、奇偶性、周期性、最值、零点等问题常借助于函数的
图象来研究. 2个掌握 1. 掌握几个基本函数的图象,如二次函数、指数函数、对 数函数、幂函数等. 2. 掌握平移、伸缩、对称、翻折、周期变换等方法、技 巧,帮助我们简化作图过程.

3种方法 1. 定性分析法:通过对问题进行定性分析,从而得到图象 上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题. 2. 定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. 3. 函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模 型,利用这一函数模型来分析解决问题.

课前自主导学

1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的定

义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调
性、周期性、对称性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.

函数y=x|x|的图象大致是(

)

设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],

若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,
则不等式f(x)<0的解集是________.

2.图象变换 (1)平移变换 原图象对应的函 图象变换过程(a>0、 b>0) 数 y=f(x) 向左平移a个单位 变换后图象 对应的函数 ________

y=f(x) y=f(x) y=f(x)

向右平移a个单位 ________ ______

________
y=f(x)+b y=f(x)-b

(2)对称变换

函数A y=f(x) y=f(x) y=f(x)

函数B ________ ________ y=-f(-x)

A与B的图象间的对称关系 关于y轴对称 关于x轴对称 ____________

(3)伸缩变换
原图象 对应的 函数 y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x) 图象变换过程(a>1、0<b<1) 图象上每个点的纵坐标都伸长到原来的a倍 图象上每个点的纵坐标都缩短到原来的b倍 图象上每个点的____坐标都伸长到原来的___倍 图象上每个点的____坐标都缩短到原来的___倍 变换后图象对应的 函数 ________ ________ 1 y=f(ax) 1 y=f(bx)

(4)翻折变换 原图象 对应的 函数 图象变换过程 变换后图 象对应的 函数 y=|f(x)|

先把f(x)的图象中位于x轴上方的部 y=f(x) 分______,将图象中位于x轴下方 的部分__________翻折到____ 先把f(x)的图象中位于y轴右侧的部 分______,左侧的部分去掉,将 y=f(x) 图象中位于y轴右侧的部分 ____________翻折到______

y=f(|x|)

已知函数f(x),若f(a+x)=f(b-x),则f(x)对称性如何,函
数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象又具有什么关系?

?-2x,?-1≤x≤0? ? 已知f(x)= ? ? x,?0<x≤1? ?

,则下列函数的图象是

否正确. ①y=f(x-1)的图象( )

②y=f(-x)的图象( )

③y=|f(x)|的图象( )

④y=f(|x|)的图象( )

1.选一选:A

填一填:(-2,0)∪(2,5]
价于2<x≤5;

提示:当x>0时,不等式f(x)<0等

当x<0时,f(x)=-f(-x)<0,∴f(-x)>0, ∴0<-x<2,∴-2<x<0. 综上:不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].

另解,数形结合

∵f(x)为奇函数,∴[-5,0]图象与[0,5]图象关于(0,0)对称, ∴在[-5,5]函数如下图

∴f(x)<0解集为(-2,0)∪(2,5].

2.y=f(x+a) y=f(x-a) 向上平移b个单位 向下平 移b个单位 y=f(-x) y=bf(x) 横 a 横 y=-f(x) 关于原点对称 b 不变 以x轴为对称轴 y=af(x) 上方 不

变 以y轴为对称轴 左侧 a+b 想一想:提示:f(x)图象关于x= 对称,这是一种自 2 b-a 对称;而y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x= 对 2 称,这是一种互相对称,二者是不同的. 判一判:①√ ②√ ③√ ④×

核心要点研究

例1 利用变换规律画出函数图象,且体现变换过程. (1)y=|x-2|· (x+2); x+2 (2)y= ; x+3 (3)y=sin|x|; (4)y=|log2(x+1)|.

[审题视点] 到其图象.

对于(1)(2)可先化简解析式,再利用基本函数

的图象变换得到它们的图象,对于(3)(4)可直接使用图象变换得

[解]

?x2-4,x≥2 ? (1)函数式可化为y=? 2 ?-x +4,x<2 ?

其图象如下图实线所示:

x+2 1 1 (2)y= =1- ,该函数图象可由函数y=- x 向 x+3 x+3 左平移3个单位再向上平移1个单位得到,如图所示.

(3)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y= sin|x|为偶函数,其图象关于y轴对称,其图象如图.

(4)作y=log2x的图象c1,然后将c1向左平移1个单位,得到y =log2(x+1)的图象c2 ,再把c2 位于x轴下方的图象作关于x轴对 称的图象,即为所求图象c3:y=|log2(x+1)|的图象.如图.

作函数图象的一般步骤为: (1)求出函数的定义域; (2)化简函数式;

(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊
点、线(如渐近线、对称轴等); (4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象.

[变式探究] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lgx|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1. 1|x+1| (4)y= . 2

?lgx ? 解:(1)y=? ?-lgx ?

?x≥1? .图象如图(1). ?0<x<1?

(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图(2).
?x2-2x-1 ? (3)y=? 2 ?x +2x-1 ?

?x≥0? .图象如图(3). ?x<0?

1x (4)函数图象可由y=(2) 变化而得,其过程如下:

cos6x 例2 [2012· 山东卷]函数y= x 的图象大致为( 2 -2-x

)

[审题视点]

我们注意到f(x)=cos6x有无数个零点及g(x)=

2x-2-x的变化趋势可迅速确定选项.

[解析]

函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除

π π k A;令y=0得cos6x=0,所以6x= 2 +kπ,x= 12 + 6 π,函数 π 零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为( 12 , π - 0);又函数y=2 -2 为增函数,当0<x< 12 时,y=2x-2
x
-x

x

cos6x >0,cos6x>0,所以函数y= x >0,排除B,答案选D. 2 -2-x
[答案] D

x 奇思妙想:本例函数变为“y= -2sinx”,其图象大 2 致是哪一个?

解析:C

当x=0时,y=0,由此排除选项A;当x=2π

时,y=π<4,由此排除B;当x→+∞时,y>0,由此排除选项
D,故应选C.

函数图象是研究函数性质的直观工具,研究一个函数图象 可从如下几个方面来考查:(1)函数图象的范围,即定义域和值

域;(2)函数图象的最高点、最低点和极点;(3)函数图象的变化
趋势,即单调性、对称性和周期性;(4)函数过定点或渐近线等 关键特征.

[变式探究]

[2013·揭阳模拟]已知函数f(x)=log2|x|,g(x)= )

-x2+2,则f(x)·g(x)的图象为(

答案:C

1 解析:由f(x)· g(x)为偶函数,排除A,D,当x= 2 时, 7 f(x)· g(x)=-4,排除B.

例3

[2013·长沙检测]已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)

=0.
(1)求实数m的值; (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集;

(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.

[审题视点]

求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式,再

根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象,进而应用图 象求解(3)(4)(5)三个小题.

[解析] (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4;

?x?x-4?,x≥4, ? (2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=? ?-x?x-4?,x<4. ?

∴函数f(x)的图象如图: 由图象知f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知:f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知: 不等式f(x)>0的解集为:{x|0<x<4或x>4}.

(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,

则0<m<4,
∴集合M={m|0<m<4}.

奇思妙想:本例题已知条件不变,求f(x)在[1,5]上的值域.

解:∵f(5)=5>4,∴由图象知,函数在[1,5]上的值域为
[0,5].

利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的

个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问
题,但其关键是作出准确的函数图象,数形结合求解,否则若 图象出现失误,将得到错误的结果.

[变式探究] 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈ 1 x R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=( 2 ) - 1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1) 恰有3个不同的实数根,求实数a的取值范围.

解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴f(x)的图象关于 y 轴 对称. 对任意 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),∴f(x)的周期为 4. 1x 当 x∈[-2,0]时,f(x)=( ) -1,所以就可以画出一个周 2 期的图象.

f(x)-loga(x+2)=0(a>1),即f(x)=loga(x+2), 作图分析,函数f(x)与函数y=loga(x+2)的图象在(-2,6] 上有三个交点.

?log ?2+2?<3, ? a ? ∴ ?loga?6+2?>3, ?

?4<a3, ? ∴? ?8>a3, ?

∴ 4<a<2,

3

∴实数a的取值范围为( 4,2).

3

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 |x2-1| [2012· 天津高考]已知函数y= 的图象与函数y=kx x-1 的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.

|x2-1| [规范解答] 函数y= 的定义 x-1 域为{x|x≠1},所以当x>1时,y=x+ 1,当-1<x<1时,y=-x-1,当x≤- 1时,y=x+1,图象如图所示, 由图象可知当0<k<2且k≠1时两函 数恰有两个交点,所以实数k的取值范 围为(0,1)∪(1,2).

[答案] (0,1)∪(1,2)

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 本题中的函数含有绝对值号,必须先根据绝对值的定义去

掉绝对值符号,转化为一般的分段函数,通过数形结合直观判
断出两个函数交点的个数即可. No.2 角度关键词:方法突破

(1)函数图象形象地显示了函数的性质 (如单调性、奇偶 性、最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因

此常用函数的图象研究函数的性质.

(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来 解. (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问

题来求解.
(4)本题比较突出的问题,是作图不规范.由于作图不规 范,会导致思路出现错误.

经典演练提能

1.[2011· 陕西高考]函数y=

的图象是(

)

答案:B

解析:由(-x) 0<x<1时,

=-

知函数是奇函数.同时由当 <x,知只有B选项符合.

>x,当x>1时,

2.[2013·吉林模考]函数f(x)=1+log2x与g(x)=21-x在同一 直角坐标系下的图象大致是( )

答案:C 解析:f(x)=1+log2x的图象由函数f(x)=log2x的图象向上平 移一个单位而得到,所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增函

数,显然,A项中单调递增的函数图象经过点(1,0),而不是
(1,1),故排除A;
函数g(x)=2
1-x

1 x =2×( ) ,其图象经过(0,2)点,且为单 2

调减函数,B项中单调递减的函数图象与y轴的交点坐标为 (0,1),故排除B;

D项中两个函数都是单调递增的,故也排除.

综上所述,排除A、B、D.选C.

3.[2012·湖北卷]已知定义在区间[0,2]

上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-
f(2-x)的图象为( )

答案:B 解析:设g(x)=-f(2-x),由已知函数图象可知f(1)=1,令

2-x=1,解得x=1,故g(1)=-f(2-1)=-f(1)=-1<0,故排
除A、C.由已知函数图象可得f(0)=0,令2-x=0,解得x=2, 故g(2)=-f(2-2)=-f(0)=0,故排除D.综上选B.

4.[2013· 陕西联考]已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+ 4x-3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为( A.[1,3] C.[2- 2,2+ 2] B.(1,3) D.(2- 2,2+ 2) )

答案:D
解析:函数f(x)=ex-1的值域为(-1,+∞),g(x)=- x2+4x-3的值域为(-∞,1],若存在f(a)=g(b)则需g(b)>- 1,即-b2+4b-3>-1,∴b2-4b+2<0,∴2- 2. 2 <b<2+


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