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第二章圆锥曲线与方程单元测试


第二章 圆锥曲线与方程 单元测试 A 组题(共 100 分) 一.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么 ( ) (A)曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0 (B)凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上 (C)在曲线

C 上的点的坐标不一定都适合 F(x,y)=0 (D)不在曲线 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不合适 F(x,y)=0 2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 ( ) (A)x–y= 0 (B)x + y=0 (C)|x|=|y| (D)y=|x| x2 y2 3.已知椭圆方程为 8 + m2= 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距等于 (A)2 8–m2 4.已知椭圆 则|ON|等于 (A)2 (B) 4 (C) 8 (D) (B)2 2 2–|m| (C)2 m2–8 ( )

(D)2 |m|–2 2

x2 y2 ? ? 1 上的一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 为原点, 25 9
( )

3 2

5. 已知 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF⊥x 轴, OP∥AB(O 为原 a2 b2
y

点), 则该椭圆的离心率是 (A)

(

)

2 2

(B)

2 4 3 2

P F

B
o

A

x

(C)

1 2

(D)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。
2 2 6.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?

7. 椭圆的焦点在 y 轴上, 一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1∶4, 短轴长为 8, 则椭圆 的标准方程是 . . .

x2 y2 8.已知点(0, 1)在椭圆 5 + m = 1 内,则 m 的取值范围是 9.椭圆 x2 y2 + 2m = 1的准线平行于 x 轴, 则 m 的取值范围是 3m + 1

三.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x2 10.直线 x–y–m= 0 与椭圆 9 + y2 = 1有且仅有一个公共点,求 m 的值.

11.已知椭圆的两条对称轴是坐标轴,O 是坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭 2 圆的长轴长为 6, 且 cos∠OFA= 3, 求椭圆的方程.

12.若一个动点 P(x, y)到两个定点 A(–1, 0)、B(1, 0)的距离之和为定值 m(m>0),分别根据 m 的值,求点 P 的轨迹方程. (1)m=4;(2)m=2;(3)m=1.

B 组题(共 100 分) 四.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 13.命题 A:两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点 P(x0,y0),命题 B:曲线 F(x,y)+λ g(x,y)=0(λ 为常数)过点 P(x0,y0),则命题 A 是命题 B 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 14.到两定点 A(0,0) ,B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹方程是 (A)3x–4y=0, 且 x>0 (C)4y–3x=0,且 0≤x≤3 (B)4x–3y=0, 且 0≤y≤4 (D)3y–4x=0,且 y>0 ( (D)16 ) ( )

x2 y2 15.椭圆m + 4 = 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 (A)5 或 3 (B)8
2 2

(C)5

x y 16.已知 F1、F2 为椭圆a2 + b2 = 1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB, 若△AF1B 的 3 周长为 16,椭圆的离心率 e= 2 , 则椭圆的方程为 x2 y2 x2 y2 (A) 4 + 3 = 1 (B)16 + 3 = 1 x2 y2 (C)16 + 12 = 1 ( ) x2 y2 (D)16 + 4 = 1 ( 128 (D)16 或 9 )

x2 y2 1 17.若椭圆16 + m = 1的离心率为3, 则 m 的值等于 124 (A)18 或 9 128 (B)18 或 9 124 (C)16 或 9

五.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 x2 y2 18.方程 + 16 + k = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 24–k

.

x2 y2 5 19.椭圆25+ 9 =1 上有一点 P 到一条准线的距离是2,F1、F2 是椭圆的两个焦点,则△PF1F2

的面积等于
2

.

x y2 20.已知 P 是椭圆25 + 9 = 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8, 则点 P 的横坐标是 。

21.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点为 A,上顶点为 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离为
7 |OB|,则椭圆的离心率等于 7

.

六.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.已知△ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0),边 AC、BC 所在直线的斜率 1 之积为–2,求顶点 C 的轨迹方程.

23.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐 标原点 O,椭圆
x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10。 a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q, 使 Q 到椭圆的右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,若存在求出 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

2 2 24. 已知椭圆 x ? y ? 1 ,P 为该椭圆上一点. 25 16 (1)若 P 到左焦点的距离为 3,求到右准线的距离;

(2)如果 F1 为左焦点,F2 为右焦点,并且 PF1 ? PF2 ? 1 ,求 tan ?F 1PF 2 的值.

C 组题(共 50 分) 七.选择或填空题:本大题共 2 题,每题 5 分。

x2 ? y 2 ? x ,则 x2 + y2 有 25.若实数 x,y 满足 4
(A)最小值 ?

( )

1 ,无最大值 3

(B)最小值 ?

1 ,最大值 16 3

(C)最小值 0,无最大值

(D)最小值 0,最大值 16

π 26.已知θ∈(0, 2 ), 方程 x2sinθ + y2cosθ=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则θ的取值范围 是 . 八.解答题:本大题共 2 小题,每题 20 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x2 y 2 6 27.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率 e ? ,过 a b 3

点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为

3 2
问:是否

(1)求椭圆的方程 (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C D 两点 存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由

28.已知直线 l: 6x-5y-28=0 交椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 于 M , N 两点,B(0,b)是椭圆的 a 2 b2

一个顶点,且 b 为整数,而 ? MBN 的重心恰为椭圆的右焦点 F2. (1)求此椭圆的方程; (2)设此椭圆的左焦点为 F1,问在椭圆上是否存在一点 P,使得 ?F2 PF 1 ? 60 ?并证明你的
0

结论.

参考答案 A组 一、1. C 2. C 3. A 4. B 5. A

二、6.1

? x2 y2 ? 7 .答: 16 + 25 = 1 . 由 ? a ? c 4 解得 a = 5 ,又椭圆焦点在 y 轴上,∴椭圆方程为 ? ? b?4
x2 y2 + 16 25 = 1 . 8.答:[1, 5) ? (5,+∞). 9.答:m>1. ∵椭圆的准线平行于 x 轴, ∴椭圆的焦点在 y 轴上, ∴ 2m ? 3m ? 1 ? 0 ,

?a ? c

1

解得 m>1. 三、10. 解:将直线方程代入椭圆方程,消去 x 得到 10y2+2my+m2-9=0, 令△=0,解得 m=± 10. 2 c 11.解:依题意 cos∠OFA= 3=a,又 2a=6 , ∴a=3,c=2,b2=5. x2 y2 当焦点在 x 轴上时,椭圆方程为 9 + 5 = 1 ; x2 y2 当焦点在 y 轴上时,椭圆方程为 5 + 9 = 1 . 12.解:设 P(x,y), 依题意|PA |+|PB |=m,

2 2 2 2 即 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? y ? m .

(1)当 m=4 时,由

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4
化简得点 P 的轨迹方程是:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
(2)当 m=2 时,由

( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2
化简得点 P 的轨迹方程是: y=0, (-1≤x≤1) (3)m=1 时,

( x ? 1 2) ? y 2 ?

(x ? 12 ) ? y 2 ? 1

无解,∴点 P 的轨迹不存在. B 组 13. A 14.B 15.A 16.D 17.B

? 24 ? k ? 0 ? 18.答:(–16, 4) ? (4, 24). 由 ? 16 ? k ? 0 ? k ∈(–16, 4) ? (4, 24). ?24 ? k ? 16 ? k ?

4 5 19. 答: 3 7. ∵e=5, |PF1|=2e=2, |PF2|=8, |F1F2|=8, ∴PF1 边上的高 h= 82 ?1 ? 3 7 , 1 ∴△PF1F2 面积等于2|PF1|·h=3 7. 5 1 5 20.答:x=±3 5. 设 P(x,y),由2·8·|y|=8,得|y|=4,∴x=±3 5.

ab ? bc 1 21.答:e=2. ∵ F1(-c, 0)到直线 AB:bx-ay+ab=0 的距离为 ? a ?b
2 2

c 7 b ,e=a, 7

1 ∴8e2-14e+5=0,解得 e=2. 22.分析 因为直线 AC、BC 的斜率存在,所以可分别用点 C、A 的坐标和点 C、B 的坐标, 1 表示直线 AC、BC 的斜率,再根据条件:斜率之积为–2,即可得到动点 C 的轨迹方程. 解 设 C(x, y), 则

k AC ?

y y , k BC ? (x≠±5) x?5 x ?5 1 y y 1 ,得 ?? 2 x ?5 x ?5 2

由 k AC k BC ? ?

所以动点 C 的轨迹方程为 x2 y2 25 + 25 = 1 (x≠±5) 2 23.解: (1)圆 C: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ; (2)由条件可知 a=5,椭圆
x2 y 2 ,若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上, ? ? 1 ,∴F(4,0) 25 9

又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称;
?y ?3 ? 1 ? 直线 CF 的方程为 y-1= ? ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 ,设 Q(x,y) ,则 ? x , 3 ? x ? 3y ? 4 ? 0 ? ?2 2 4 ? x? ? ? 5 解得 ? ? y ? 12 ? 5 ?

4 12 所以存在,Q 的坐标为 ( , ) 。 5 5

24.解:(1)由方程知,a=5,b=4,则 c=3,e = 3 .
5

? P 到左焦点的距离为 3,则 P 到左准线的距离为 d1 ? PF1 ? 5 ,
e

2 50 35 又两准线间距离为 2a ? 50 ,∴P 到右准线的距离为 . ?5 ? 3 3 c 3

(2)由椭圆定义得 PF … ①; 1 ? PF 2 ? 2a ? 10 又 PF1 ? PF2 ? 1 …②, 由①,②联立可解得 PF1 ? 11 , PF2 ? 9 ;在 ?F1 PF2
2 2

中, F1 F2 ? 2c ? 6 , ∴ cos?F PF ? 1 2
PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2
2 2 2

?

29 , 99

∵ ?F1 PF2 为锐角, sin ?F1PF2 ? 16 35 , 99 ∴ tan ?F1PF2 ? 16 35 . 29 C组 25.选 D. π π 26. 答 : θ ∈ ( 4 , 2 ). 椭 圆 方 程 化 为

x2 y2 ? ?1 ,∵椭圆焦点在 y 轴上,∴ 1 1 sin ? con?

1 1 ? ?0 con? sin ?
π π π ∴ cos ? ? sin ? , 又θ∈(0, 2 ),∴θ∈( 4 , 2 ). 27.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



设 C ( x1 , y1 )

12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
2



而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则 即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ∴

y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1

(k 2 ?1) x1x2 ? (2k ?1)( x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
7 6
经验证, k ?



将②式代入③整理解得 k ?

7 ,使①成立 6

综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E 6

2 2 2 28.解 (1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 b 2 x1 ?a 2 y12 ? a 2b 2 , b 2 x2 ?a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

两式相减得

b2 ( x1 ? x2 ) y ?y 6 ? ? 1 2 ? ? ……①, 2 a ( y1 ? y2 ) x1 ? x2 5



x1 ? x2 ? 0 y ? y2 ? b ? c, 1 ? 0 ,得 x1+x2=3c, y1+y2=-b,代入① 3 3

得 2b2-5bc+2c2=0 ? 2b=c 或 b=2c……②; ∵M、N 在直线 L 上,得 6(x1+x2)-5(y1+y2)=56 ? 18c+5b=56 …… ③; 由②③解得(b 为整数): b = 4 , c = 2 , a2 = 20 ,
2 2 因此椭圆方程为: x ? y ? 1 . 20 16

(2)证明: cos ?F1PF2 ? ∴ ?F1PF2 ? 600 ,

r12 ? r22 ? 16 64 ? 2r1r2 128 3 1 ? ? ?1 ? ? , 2 2r1r2 (r1 ? r2 ) 5 2 2r1r2

0 ∴使 ?F 的点 P 不存在. 1PF 2 ? 60

说明:第 23 题为 2007 年广东高考理科数学试题.存在性问题的探索一直是数学高考命题关 注的问题之一.


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