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高中数学:1.4《生活中的优化问题(2)》教案(新人教A版选修2-2)


1.4 生活中的优化问题(二)
教学目标: 掌握 利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题 (一般指单峰函数) 的最大值和最小 值.---------用材最省的问 题---教学重点:利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤 教学难点:对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程: 例 1 圆柱形金属饮料 罐的

容 积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则 表面积 S=2?Rh+2?R2.

由V ? ?R 2 h,

得h ?

V , ?R 2

R h

V 2V ? 2?R 2 ? ? 2?R 2 . 则 S ( R) ? 2?R 2 ?R R 令S ?( R) ? ?
从而 h ?

V 2V , ? 4?R ? 0, 解得R ? 3 2 2? R
2

V V 2 ? ?R ? V ??3 ? 2? ?

? ? ? ?

?3

4V

?

? 23

V , 即 h=2R. 2?
答:当罐的高与底直径相等时,所用材 料最

因为 S( R)只有一个极值,所以它是最小值. 省.

例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的 函数关系式为 p ? 25 ?

1 q. 求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 8

分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润. 解: 收入R ? q ? p ? q( 25 ?

1 1 q ) ? 25q ? q 2 8 8 (0 ? q ? 200)

1 1 利润L ? R ? C ? ( 25q q 2 ) ? (100 ? 4q ) ? ? q 2 ? 21q ? 100 8 8 1 令L' ? 0,即 ? q ? 21 ? 0, 求得唯一的极值点 q=84. 4
因 为 L 只有一个 极值,所以它是最大值. 答:产量为 84 时,利润 L 最大.
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练习 1.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件,应 如何定价才能使利润最大? 例 3.教材 P34 面的例 2 课后作业

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