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【数学】2010年高考试题——数学(安徽卷)(理)

时间:2011-04-17


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分钟,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、

座位号,并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答 题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、 ... 笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑 色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答 .......... 案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 ... .... ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
那么 如果事件 A 与 B 相互独立,那么

如果 A 与 B 是两个任意事件, ( A ) ≠ 0 , P

P ( AB ) = P ( A ) P ( B | A)

P ( AB ) = P ( A) P ( B )

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 选择题,
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、 i 是虚数单位,

i = 3 + 3i

第 1 页 共 14 页

A、 1.B

1 3 ? i 4 12

B、

1 3 + i 4 12

C、

1 3 + i 2 6

D、

1 3 ? i 2 6

【解析】

i i ( 3 ? 3i ) 3i + 3 1 3 = = = + i ,选 B. 3+ 9 12 4 12 3 + 3i i 为分式形式的复数问题,化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭 3 + 3i
2

【规律总结】

复数 ?3i ,然后利用复数的代数运算,结合 i = ?1 得结论. 2、若集合 A = ? x log 1 x ≥

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 ?R A = 2? ?
B、 ?

A、 ( ?∞, 0] ∪ ? 2.A

? 2 ? , +∞ ? ? 2 ? ? ?

? 2 ? , +∞ ? ? 2 ? ? ?

C、 (?∞, 0] ∪ [

2 , +∞) 2

D、 [

2 , +∞) 2

第 2 页 共 14 页

5、双曲线方程为 x 2 ? 2 y 2 = 1 ,则它的右焦点坐标为 A、 ? 5.C 【解析】双曲线的 a = 1, b =
2 2

? 2 ? ? 2 ,0? ? ? ?

B、 ?

? 5 ? ? 2 ,0? ? ? ?

C、 ?

? 6 ? ? 2 ,0? ? ? ?

D、

(

3, 0

)

? 6 ? 1 3 6 2 ,c = ,c = ,所以右焦点为 ? ? 2 ,0? . ? 2 2 2 ? ?

【 误区 警示】 本题 考查双 曲线 的交点 ,把双 曲线 方程 先转化 为标准 方程 ,然 后利用

c 2 = a 2 + b 2 求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式,很多学生会误认为 b 2 = 1 或 b 2 = 2 ,从而得出错误结论.
6、设 abc > 0 ,二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图象可能是
2

6.D 【解析】当 a > 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c < 0 ,故 b < 0, ? 符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a > 0 或 a < 0 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7、设曲线 C 的参数方程为 ?

b > 0 ,选项(D) 2a

? x = 2 + 3cos θ ( θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y + 2 = 0 , ? y = ?1 + 3sin θ
7 10 的点的个数为 10
C、3 D、4

则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 7.B

B、2

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 9 ,圆心 (2, ?1) 到直线

第 3 页 共 14 页

x ? 3 y + 2 = 0 的距离 d =

| 2 ? 3 × (?1) + 2 | 7 = 10 < 3 ,直线和圆相交,过圆心和 l 平行 10 10
7 10 7 10 > 3? , 在直线 l 的另外一侧没有圆上的点 10 10

的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 符合要求,所以选 B.

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 ,然后再判断知 10

7 10 7 10 > 3? ,进而得出结论. 10 10

8、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为 A、280 372 8.C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全 面 积 加 上 面 长 方 体 的 4 个 侧 面 积 之 和 。 B、292 C、360 D 、

S = 2(10 × 8 + 10 × 2 + 8 × 2) + 2(6 × 8 + 8 × 2) = 360 .
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体,画出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 9、动点 A ( x, y ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周。已 知时间 t = 0 时,点 A 的坐标是 ( , 位:秒)的函数的单调递增区间是 A、 [ 0,1] 9.D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 α ,则 t = 0 时 α = B、 [1, 7 ] C、 [ 7,12] D、 [ 0,1] 和 [ 7,12]

1 3 ) ,则当 0 ≤ t ≤ 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单 2 2

π
3

,每秒钟旋转

π
6



第 4 页 共 14 页

在 t ∈ [ 0,1] 上 α ∈ [ 递增的。

π π

3π 7π , ] ,在 [ 7,12] 上 α ∈ [ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调 3 2 2 3

【方法技巧】由动点 A ( x, y ) 在圆 x + y = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与
2 2

三角函数的定义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出, 当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得 单调递增区间. 10、设 {an } 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则下 列等式中恒成立的是 A、 X + Z = 2Y C、 Y 2 = XZ 10.D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n = 1 得 X = 1, Y = 3, Z = 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. B、 Y (Y ? X ) = Z ( Z ? X ) D、 Y (Y ? X ) = X ( Z ? X )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,

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13.4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2
所以 8 = ab + 4 ? ab = 4 , 所以 a + b ≥ 2 ab = 4 , a = b = 2 时是等号成立。 在 所以 a + b 的最小值为 4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab = 4 ,要想求 a + b 的最小值,显然要利用基本不等式. 14、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x = ________。 14.12 【解析】程序运行如下: x = 1, x = 2, x = 4, x = 5, x = 6, x = 8, x = 9, x = 10, x = 12 ,输出 12。 【规律总结】这类问题,通常由开始一步一步运行,根据判断条件,要么几步后就会输出结

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果,要么就会出现规律,如周期性,等差或等比数列型. 15、甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球。 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1 , A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下 列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号) 。 ① P ( B) =

2 ; 5

② P ( B | A1 ) =

5 ; 11

③事件 B 与事件 A1 相互独立;

④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ( B ) 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发生有关 15.②④ 【解析】易见 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件,而

P ( B ) = P ( B | A1 ) + P ( B | A2 ) + P ( B | A3 ) =

5 5 2 4 3 4 9 × + × + × = 。 10 11 10 11 10 11 22

【方法总结】本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的 关 键 . 本 题 在 A1 , A2 , A3 是 两 两 互 斥 的 事 件 , 把 事 件 B 的 概 率 进 行 转 化

P( B) = P ( B | A1 ) + P ( B | A2 ) + P ( B | A3 ) ,可知事件 B 的概率是确定的.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 写在答题卡上的指定区域内。 16、 (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A = sin( + B ) sin( ? B ) + sin 2 B 。 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB i AC = 12, a = 2 7 ,求 b, c (其中 b < c ) 。

π

π

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17、 (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f ( x ) = e ? 2 x + 2a, x ∈ R 。
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a > ln 2 ? 1 且 x > 0 时, e > x ? 2ax + 1 。
x 2

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18、 (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB , EF ⊥ FB ,

AB = 2 EF , ∠BFC = 90° , BF = FC , H 为 BC 的中点。
E F

D

C

H A B

(Ⅰ)求证: FH ∥平面 EDB ; (Ⅱ)求证: AC ⊥ 平面 EDB ; (Ⅲ)求二面角 B ? DE ? C 的大小。

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19、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E 经过点 A ( 2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e =
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

1 。 2

(Ⅱ)求 ∠F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点? 若存在,请找出;若不存在,说明理由。

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20、 (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2 ,? , an ,? 中的每一项都不为 0。 证明: {an } 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ∈ N ,都有

1 1 1 n + +? + = 。 a1a 2 a2 a3 an an +1 a1an +1

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21、 (本小题满分 13 分) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试, 一种通常采用的测试方法如下: 拿出 n 瓶外观相 同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间,等其记忆淡忘 之后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试。根据一轮测 试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。 现设 n = 4 ,分别以 a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排 序时的序号,并令

X = 1 ? a1 + 2 ? a2 + 3 ? a3 + 4 ? a4 ,
则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出 X 的可能值集合;

第 13 页 共 14 页

(Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列; (Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ≤ 2 , (i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ; (ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。

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