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高三数学(文)训练题11(空间几何1)


高三数学(文)训练题 11(空间几何 1)
1.一个简单几 何 体的主视图,

左视图如图所示,则其俯视图不可能为 ①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ )

2.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为(

A.16 ?

B.4 ?<

br />
C.8 ?

D.2 ?

3 .已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( ) 3 . 3 3 3 A.1cm B 2cm C.3cm D.6cm 4 .设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a , 且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面 , 则 a 的取值范围是 ( ) B. (0, 3) C. (1, 2) D. (1, 3) ( )

A. (0, 2)

5 .将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图为

6 .平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π



7.某三棱锥的三视图如图

所示,该三棱锥的表面积是( A. 28 ? 6 5 C. 56 ? 12 5



B. 30 ? 6 5 D. 60 ? 12 5

9.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积________ m3 .

10.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2?,该圆柱的表面积为_________. 11.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则
A ? DED1 的体积为_____.







12.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,

四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 13.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.

14.若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC , 则________.(写出所有正确结论编号) ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 而小于 180 ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 15.正三棱锥 A ? BCD 内接于球 O ,且底面边长为 3 ,侧棱长为 2,则球 O 的表面积为 .
?

?

16.在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,且侧棱 SA ? 2 3 ,则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为____________. 17 .湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为 12 cm,深 2 cm 的空穴,则该球的 半径是______cm,表面积是______cm?. 18. 粉碎机的下料斗是无底、无盖的正四棱台形,它的上、下底面边长分别为 40cm、50cm,高是 5 2 cm, 计算 制造这样一个下料斗所需铁板的面积.(结果保留到 1 cm 2 )

? 19. 在正四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 2 ,直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求

正四棱锥 P ? ABCD 的体积 V .

P

D

C

A

B

20.已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8,高为 4 的等腰三角 形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S .

6

8 图5

参考答案 一、选择题
1. 【答案】C

【解析】当俯视图为圆时,由三视图可知为圆柱,此时主视图和左视图应该相同,所以俯视图不可能是圆,选 C. 2 答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥,且三棱锥的高为 1,底面为一个直角三角形,由于底面斜边上的中线 长为 1,则底面的外接圆半径为 1,顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上,由于顶点到底面的距离,与 底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 R 为 1,则三棱锥的外接球表面积 S ? 4? R ? 4? ,选 B.
2

3.

【答案】C 【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题,体现了对学生空间想象能力的综合考查.【解析】由题意判 断出,底面是一个直角三角形,两个直角边分别为 1 和 2,整个棱锥的高由侧视图可得为 3,所以三棱锥的体积 为 ?

1 1 ? 1? 2 ? 3 ? 1 . 3 2

4.

【答案】A 【解析】 BE ? 1 ? (

2 2 2 ) ? , BF ? BE, AB ? 2BF ? 2 . 2 2

【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题. 5. [答案]C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以 A 错; 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一 个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、 定理及公式. 6. 画出三视图,故选 B 7. 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及 体 积 计算,是简单题. 【解析】 由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底 面 为 一边长为 6,这边上高为 3,棱锥的高为 3,故其体积 为

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 3 =9,故选 B. 3 2
7. 【答案】B 【解析】 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱 题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂 系 和 三 角 形 面 积 公 式 , 可 得: S底 ? 10, S后 ? 10, S右 ? 10, S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积 S ? 30 ? 6 5 ,故选 B. 【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面 积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力. 8.考点分析:考察球的体积公式以及估算. 解析:由 V ? 得? ? 锥,本 直 关

a 6b 6?9 4? d 3 6V ? 3.375 ,B 中代入 ,设选项中常数为 ,则 ? ? ;A 中代入得 ? ? ( ) ?d ? 3 b a 16 3 2 ?

6 ?1 6 ?157 6 ?11 ? 3 ,C 中代入得 ? ? ? 3.14 ,D 中代和主得 ? ? ? 3.142857 ,由于 D 中值最接近 ? 2 300 21

的真实值,故选择 D.

9. 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体 ,上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体 .长方体的体积为

3 ? 4 ? 2 ? 24 ,五棱柱的体积是
1 6

(1 ? 2) ? 1 ? 4 ? 6 ,所以几何体的总体积为 30 . 2
2

10. [解析] 2?r=2?,r=1,S 表=2?rh+2?r =4?+2?=6?. 11. 答案: 解析: V A? DED1 ? VE ? ADD1 ?

1 1 1 ? 1? ? 1? 1 ? . 3 2 6

12. 【答案】 3 3 【解析】点 P、A、B、C、D为球O内接长方体的顶点,

球心O为该长方体对角线的中点, 1 ??OAB的面积是该长方体对角面面积的 , 4
1 ? AB ? 2 3, PA ? 2 6, ? PB ? 6, ??OABD面积= ? 2 3 ? 6=3 3 4
【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该 题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化 为长方体来考虑就容易多了. 13. 12? 【解析】 由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为 2,高为 1)与中间一个圆柱(底
2 2 面圆半径为 1,高为 4)组合而成,故该几何体的体积是 V ? ? ? 2 ?1? 2 ? ? ?1 ? 4 ? 12? .

【点评】 本题考查圆柱的三视图的识别,圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么 几何形体构成的,以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景,考查常见组合体的表面积. 14. 【解析】正确的是②④⑤ ②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180
?

④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 15 【答案】

16? 3

【解析】

如图, 设三棱锥 A ? BCD 的外接球球心为 O, 半径为 r, BC=CD=BD= 3 , AB=AC=AD=2,
2 3

AM ? 平面BCD ,M 为正 △ BCD 的中心,则 DM=1,AM= 3 ,OA=OD=r,所以 ( 3 ? r )2 ? 1 ? r 2 ,解得 r ?



所以 S ? 4πr 2 ? 16 【答案】 36?

16 π. 3

【解析】因为侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,所以把正三棱锥补成一个正方体,则正方体的体对角线 等于外接球的直径,正方体的体对角线长 2 3 ? 3=6 ,设外接球的半径为 R ,则 2 R ? 6,R ? 3 ,所以外接球 的表面积为 4? R 2 ? 4? ? 9 ? 36? .

17 【答案】 10, 400π【解析】 设球的半径为 r, 画出球与水面的位置关系图, 如图:

由勾股定理可知,

,解得 r =10.所以表面积为 4? r 2 ? 4? ?100 ? 400?

18. 解:根据题意,只需求出这个下料斗的侧面积即可. 如图, B1C1 ? 40, BC ? 50, EF ? 5 2 .

? EC1 ? 20 2, FC ? 25 2 ,?C1C ? 10 .
即侧面梯形的上底为 40,下底为 50,腰为 10,故侧面梯形的高为 5 3 .

1 S ? 4 ? (40 ? 50) ? 5 3 ? 900 3 ? 1559(cm2 ) . 2
所以,制造这样一个下料斗所需铁板的面积约为 1559cm2 . 19 解:作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O .连接 AO , O 是 正方形 ABCD 的中心, ?PAO 是直线 PA 与平面 ABCD 所成的角.

P

D

C

?PAO = 60? , PA ? 2 .? PO ? 3 . AO ? 1, AB ? 2 ,
1 1 2 3 ? V ? PO ?S ABCD ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3

O
A B

20 解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形中心的 四棱锥 V-ABCD ; (1)

1 V ? ? ? 8 ? 6 ? ? 4 ? 64 3

(2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为

?8? h1 ? 4 ? ? ? ? 4 2 , 另两个侧面 VAB. VCD 也是全等的等腰三角形, ?2?
2

2

AB 边上的高为

?6? h2 ? 42 ? ? ? ? 5 因此 ?2?

2

1 1 S ? 2( ? 6 ? 4 2 ? ? 8 ? 5) ? 40 ? 24 2 2 2


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