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解排列组合问题的常用策略


解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素. ※解决排列组合综合性问题,往往类与步交 叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
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br /> 一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 1 C3 先排末位共有___ 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 C4 然后排首位共有___ 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 3 1 最后排其它位置共有___C1 3 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 A4 C3 4 处理其它位置。若有多个约束条件,往往是 1 1 A3 由分步计数原理得 C3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题 1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两 种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆 里,问有多少不同的种法? A2 A5 ? 1440 4 5

二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素,同时丙丁也看成一个 复合元素,再与其它元素进行排列, 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
甲乙 丙丁

捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.

三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 5 A5 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排 有 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 4 种 A6 不同的方法 由分步计数原理,节目的 5 4 不同顺序共有 A5 A6 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进 相 独 独 独 相 行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题 某班新年联欢会原定的5个节目已排成 节目单,开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个新节目插入原节目单中, 且两个新节目不相邻,那么不同插法 的种数为( ) 30

某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为( ) 20

四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 7 A7 是: 3 A3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外 4 A7 种方法,其余的三个 的四人就坐共有 4 1 种坐法,则共有 A7 种 位置甲乙丙共有 方法 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 4*5*6*7 方法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理 练习题 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?

C

5 10

五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有7种分法. 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法, 依此类推,由分步计 数原理共有7 种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排 各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 n 种 m
6

练习题

某8层大楼一楼电梯上来8名乘客,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 8 ( 7 )

六.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 2 A4 个特殊元素有____种,再排后4个位置上的 1 特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置 A4 2 1 5 5 A4 A4 A5 上任意排列有____种,则共有_________种. A5

一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑,再分段研究. 前排 后排

七.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 C5 有__种方法.再把5个元素(包含一个复合 4 元素)装入4个不同的盒内有_____种方法. A4 2 4 C5 A4 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?

练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 192 参加,则不同的选法有________ 种

八.小集团问题先整体局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,5这两个奇数之 间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队 2 A2 共有____种排法,再排小集团内部共有 A22 A22 _______种排法,由分步计数原理共有 2 2 2 _______种排法. A2 A2 A2

小集团排列问题中,先整体后局 小集团 部,再结合其它策略进行处理。 3 1245

1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4 幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两 2 5 4 A2 A5 A4 端,那么共有陈列方式的种数为_______
2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女 2 5 5 A2 A5 A5 生也相邻的排法有_______种

九.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额,在分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为10个名额没有差别,把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个 班级,每一种插板方法对应一种分法 6 C9 共有___________种分法。 将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数), 每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数 二 四 六 七 三 五 m ?1 一 为 C n ?1 班 班 班 班 班 班 班

练习题 1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 4 个,有多少装法?

C

9

十.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数,使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 3 C5 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 反面,再从整体中淘汰. 1 2 3 1 2 C5C5 C5C5+ C5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 再淘汰和小于10的偶数共___________ 9 3 1 2 C5C5+ C5 - 9 符合条件的取法共有___________
013 015 017 035 213 215 413 024 026

练习题

1.我们班里有58位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

C ?C
5 58

55 58

2.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则 不同的选法共有_______ 34

十一.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法? 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3种取法 ,而 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 3 2 2 2 种情况,所以分组后要一定要除以 A n (n为均 有 C 6C 4C 2 A 3 种分法。 n 分的组数)避免重复计数。

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队, 有多少分法? C C C
5 4 4 13

A

8 2 2

4

2.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每 班安排2名,则不同的安排方案种数为______

CC A
4

2

2

2 6

A

2 2 2

? 90

十二. 合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法? 解: 10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞 以只会唱歌的5人是否 3人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱 CC 的5人中没有人选上唱歌人员共有____ 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人 1 1 2 C 5C 3C 4 员________种,只会唱的5人中只有2人 选上唱歌人员有____种,由分类计数 CC 1 1 2 原理共有______________________种。 C C + C 5C 3C 4 + C C
2 2 3 3

2

2

5

5

2

2

2

2

3

3

5

5

本题还有如下分类标准: *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素 的性质进行分类,按事件发生的连续过程分 步,做到标准明确。分步层次清楚,不重不 漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

练习题

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.

27

十三.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 3 C5 有________ 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队 模型,装盒模型等,可使问题直观解决

练习题
某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右 两边都有空位,那么不同的坐法有多少种? 120

十四.实际操作穷举策略 例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法 2 C5 解:从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应, 操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种 装法 3 4 5
3号盒 4号盒 5号盒

十四.实际操作穷举策略 例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法 2 C5 解:从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应, 操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种 装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也 2 只有1种装法,由分步计数原理有2 C 5 种

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状 图会收到意想不到的结果 练习题 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种? (9)

十五. 分解与合成策略 例16. 30030能被多少个不同的偶数整除 分析:先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题 意可知偶因数必先取2,再从其余5个 因数中任取若干个组成乘积,所有 的偶因数为:2×2×2×2×2=32

例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线

解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 4 面体共有__________58 每个四面体有___ 3 C 8 ? 12 ? 对异面直线,正方体中的8个顶点可连成 ____________对异面直线 3×58=174 分解与合成策略是排列组合问题的一种最 基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几 个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的 结构,用分类计数原理和分步计数原理将问 题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复 杂的问题都要用到这种解题策略

十六.化归策略 例18. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种? 解: 将这个问题退化成9人排成3×3方队,现 从中选3人,要求3人不在同一行也不在 同一列,有多少选法.这样每行必有1人 从其中的一行中选取1人后,把这人所在 的行列都划掉,

如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法 1 1 1 C 3C 2C 1 有___________种。再从5×5方队选出3×3 方队便可解决问题

CC 从5×5方队中选取3行3列有_____选法 所以从5×5方队选不在同一行也不在同 3 3 1 1 1 C 5C 5C 3C 2C 1 ? 600 一列的3人有__________________选法。
5 5

3

3

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题 退化成一个简要的问题,通过解决这个简要 的问题的解决找到解题方法,从而进下一步 解决原来的问题

练习题 某城市的街区由12个全等的矩形区组成 其中实线表示马路,从A走到B的最短路 径有多少种? 3 ? 35

C

7

B

A

小结

本节课,我们对有关排列组合的几种常见的 解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学 习中的难点,通过我们平时做的练习题,不 难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易 挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难 以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同 的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的 问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为 后续学习打下坚实的基础。


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