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广东省珠海一中等六校2015届高三数学上学期第二次联考试卷 文(含解析)


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广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷 (文 科)
一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的 1. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 若 a2=1,a3=3,则

S4=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 2. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() 3 2 ﹣|x| A. y=x B. y=﹣x +1 C. y=2 D. y=|x|+1

3. (5 分)已知向量 =(1,k) , =(2,2) ,且 + 与 共线,那么 k 的值为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. (5 分)设函数 f(x)= A. 2 B. 4

,则 f[f(4)]=() C. 8 D. 16

5. (5 分)函数 A. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

是() B. 周期为 π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数

6. (5 分)已知 tanα = ,则 cos2α 的值为() A. B. C. D.

7. (5 分)设向量 , 均为单位向量,且| + |=1,则 与 夹角为() A. B. C. D.

8. (5 分)下列各函数中,最小值为 2 的是() A. y=x+ B. y=sinx+ ,

C. y=x+

﹣4(x>2)

D. y=

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9. (5 分)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣ f(x)=4x,则 f(107.5)=() A. 10 B. C. ﹣10 D. ﹣ ,且当 x∈[﹣3,﹣2]时,

10. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an} 前 n 项的和,则 (n∈N )的最小值为()
+

A. 4

B. 3

C. 2

﹣2

D.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11. (5 分)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ,则 a6=.

12. (5 分)实数 x,y 满足

,则不等式组所表示的平面区域的面积为.

13. (5 分)已知 tan(α +β )= ,tanβ = ,则 tan(α +

)的值为.

14. (5 分)下列四种说法: 2 2 ①命题“? x∈R,使得 x +1>3x”的否定是“? x∈R,都有 x +1≤3x”; ②设 p、q 是简单命题,若“p∨q”为假命题,则“?p∧?q”为真命题; ③若 p 是 q 的充分不必要条件,则?p 是?q 的必要不充分条件; ④把函数 y=sin(﹣2x) (x∈R)的图象上所有的点向右平移 个单位即可得到函数

(x∈R)的图象.其中所有正确说法的序号是.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 15. (12 分)已知集合 A={x||x﹣a|≤2},B={x|lg(x +6x+9)>0}. (Ⅰ)求集合 A 和?RB; (Ⅱ)若 A? B,求实数 a 的取值范围.

16. (12 分)在数列{an}中,已知 a1= , (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;

,bn+2=3

an(n∈N ) .

*

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)设数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn.

17. (14 分)已知向量 (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;



,设函数 f(x)=



(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 2 =4,求 b.

ab,c=2

,f(A)

18. (14 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某 投资人打算投资甲、 乙两个项目. 根据预测, 甲、 乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最 大? 19. (14 分)已知函数 f(x)=ex+ (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有 x≤0 都有 f(x)≥ax+1,求实数 a 的取值范围. 20. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax +x(a∈R) . (1)当 0<a< 时,f(sinx) (x∈R)的最大值为 ,求 f(x)的最小值. (2)对于任意的 x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1.试求 a 的取值范围. (3)若当 n∈N 时,记 立.
* 2

,令 a=1,求证:



广东省珠海一中等六校 2015 届高三上学期第二次联考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的 1. (5 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 若 a2=1,a3=3,则 S4=() A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的前 n 项和得到,求前四项的和要用第一项和第四项的和,根据等差数 列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和,得到结果. 解答: 解:由等差数列的性质可得:a1+a4=a2+a3,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵a2=1,a3=3, ∴s4=2(1+3)=8 故选 C. 点评: 若已知等差数列的两项,则等差数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不 出错,问题可解. 2. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() 3 2 ﹣|x| A. y=x B. y=﹣x +1 C. y=2 D. y=|x|+1 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性奇偶性,逐一分析答案四个函数在(0,+∞)上的单调 性和奇偶性,逐一比照后可得答案. 3 解答: 解:y=x 在(0,+∞)上单调递增,但为奇函数; 2 y=﹣x +1 为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减; ﹣|x| y=2 为偶函数,但在(0,+∞)上单调递减; y=|x|+1 为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增; 故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合,熟练掌握各种基本初等函数的 单调性和奇偶性是解答的关键.

3. (5 分)已知向量 =(1,k) , =(2,2) ,且 + 与 共线,那么 k 的值为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的坐标加法运算求得 + 的坐标, 然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解 k 的值. 解答: 解:∵ =(1,k) , =(2,2) , ∴ + =(3,k+2) , 又 + 与 共线, ∴1×(k+2)﹣3k=0, 解得:k=1. 故选:A. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在 2015 届高考题中常常出现,常与向量的模、向量 的坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题.

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4. (5 分)设函数 f(x)= A. 2 B. 4

,则 f[f(4)]=() C. 8 D. 16

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f(4)=1﹣log24=1﹣2=﹣1, 1﹣(﹣1) 2 f[f(4)]=f(﹣1)=2 =2 =4. 故选 B. 点评: 本题考查的是分段函数的函数值求法,本题难度不大,属于基础题.

5. (5 分)函数 A. 周期为 π 的奇函数 C. 周期为 2π 的奇函数

是() B. 周期为 π 的偶函数 D. 周期为 2π 的偶函数

考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简函数 选项. 解答: 解:因为: =2cos2x, ,然后直接求出周期,和奇偶性,确定

所以函数是偶函数,周期为:π 故选 B. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,正弦函数的奇偶性,考查计算能力,是基础 题. 6. (5 分)已知 tanα = ,则 cos2α 的值为() A. B. C. D.

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 利用余弦的二倍角公式可求得 cos2α =cos α ﹣sin α , 进而利用同角三角基本关系, 2 2 2 使其除以 sin α +cos α , 分子分母同时除以 cos a, 转化成正切, 然后把 tanα 的值代入即可.

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解答: 解:cos2α =cos α ﹣sin α =

2

2

=

=

= .

故选:D. 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式.解题的关键 是利用同角三角函数中的平方关系,完成了弦切的互化.

7. (5 分)设向量 , 均为单位向量,且| + |=1,则 与 夹角为() A. B. C. D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;单位向量. 专题: 计算题. 分析: 设 与 的夹角为 θ ,将已知等式平方,结合向量模的含义和单位向量长度为 1,化 简整理可得 ? =﹣ ,再结合向量数量积的定义和夹角的范围,可得夹角 θ 的值. 解答: 解:设 与 的夹角为 θ , ∵| + |=1,∴( + ) = +2 ? + =1?(*) ∵向量 、 均为单位向量,可得| |=| |=1 ∴代入(*)式,得 1+2 ? +1=1=1,所以 ? =﹣ 根据向量数量积的定义,得| |?| |cosθ =﹣ ∴cosθ =﹣ ,结合 θ ∈[0,π ],得 θ = 故选 C 点评: 本题已知两个单位向量和的长度等于 1,求它们的夹角,考查了得数量积的定义、单 位向量概念和向量的夹角公式等知识,属于基础题. 8. (5 分)下列各函数中,最小值为 2 的是() A. y=x+ B. y=sinx+ ,
2 2 2

C. y=x+

﹣4(x>2)

D. y=

考点: 基本不等式. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据函数的单调性可知;y=x+ , (0,1) (﹣1,0)单调递减, (1,+∞) , (﹣∞, ﹣1)单调递增,结合不等式的等号问题判断. 解答: 解:根据函数的单调性可知;y=x+ , (0,1) , (﹣1,0)单调递减, (1,+∞) , (﹣ ∞,﹣1)单调递增, f(1)=2,f(﹣1)=﹣2, ∴A 不正确. 因为 B.D 中的函数式子等号不成了,所以 B,D 不正确. 故选:C 点评: 本题考查了 y=x+ 的单调性,均值不等式的应用;属于中档题.

9. (5 分)设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=﹣ f(x)=4x,则 f(107.5)=() A. 10 B. C. ﹣10

,且当 x∈[﹣3,﹣2]时,

D. ﹣

考点: 函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 先通过有 f(x+3)=﹣ ,且可推断函数 f(x)是以 6 为周期的函数.进而可 以及偶函数 f(x)和 x∈[﹣3,﹣2]

求得 f(107.5)=f(5.5) ,再利用 f(x+3)=﹣ 时,f(x)=4x 即可求得 f(107.5)的值. 解答: 解: 因为 f (x+3) =﹣

, 故有 f (x+6) =﹣

=﹣

=f (x) . 函

数 f(x)是以 6 为周期的函数. f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣ 故选 B 点评: 本题主要考查了函数的周期性. 要特别利用好题中有 f (x+3) =﹣ 解题过程中,条件 f(x+a)=﹣ 通常是告诉我们函数的周期为 2a. 的关系式. 在 =﹣ =﹣ = .

10. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 是数列{an} 前 n 项的和,则 (n∈N )的最小值为()
+

A. 4

B. 3

C. 2

﹣2

D.

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考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意得(1+2d) =1+12d,求出公差 d 的值,得到数列{an}的通项公式,前 n 项和, 从而可得 ,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.

解答: 解:∵a1=1,a1、a3、a13 成等比数列, 2 ∴(1+2d) =1+12d. 得 d=2 或 d=0(舍去) , ∴an =2n﹣1, ∴Sn= =n ,
2



=



令 t=n+1,则

=t+ ﹣2≥6﹣2=4

当且仅当 t=3,即 n=2 时,∴

的最小值为 4.

故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,考查基本不等式,属 于中档题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11. (5 分)数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= ,则 a6= .

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据题中给出的数列{an}的前 n 项和的公式便可求出数列{an}的通项公式,将 n=6 代 入通项公式便可得出答案. 解答: 解:S6﹣S5= 所以 故答案为: ; . = ,

点评: 本题考查了数列的基本知识,考查了学生的计算能力,解题时要认真审题,仔细解 答,避免错误,属于中档题.

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12. (5 分)实数 x,y 满足

,则不等式组所表示的平面区域的面积为 8.

考点: 专题: 分析: 解答:

二元一次不等式(组)与平面区域. 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 作出其平面区域,可知是上底长 2,下底长 6,高为 2 的梯形,从而求面积. 解:作出其平面区域如下图:

可知是上底长 2,下底长 6,高为 2 的梯形, 则阴影部分的面积为 ×(2+6)×2=8; 故答案为:8. 点评: 本题考查了学生的作图能力,属于基础题. 13. (5 分)已知 tan(α +β )= ,tanβ = ,则 tan(α +

)的值为 .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用 tanα =tan[ (α +β ) ﹣β ], 求出 tanα , 再利用和角的正切公式, 求 tan (α + 的值 解答: 解:∵tan(α +β )= ,tanβ = , ∴tanα =tan[(α +β )﹣β ]= ∴tan(α + )= = . = , )

故答案为: . 点评: 本题考查两角和与差的正切函数,考查学生的计算能力,利用 tanα =tan[(α +β ) ﹣β ],求出 tanα 是关键.
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14. (5 分)下列四种说法: 2 2 ①命题“? x∈R,使得 x +1>3x”的否定是“? x∈R,都有 x +1≤3x”; ②设 p、q 是简单命题,若“p∨q”为假命题,则“?p∧?q”为真命题; ③若 p 是 q 的充分不必要条件,则?p 是?q 的必要不充分条件; ④把函数 y=sin(﹣2x) (x∈R)的图象上所有的点向右平移 个单位即可得到函数

(x∈R)的图象.其中所有正确说法的序号是①②③④.

考点: 命题的真假判断与应用;特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用命题的否定判断①的正误;复合命题的真假判断②的正误;充要条件判断③的 正误;三角函数图象的平移判断④的正误; 2 2 解答: 解:对于①,命题“? x∈R,使得 x +1>3x”的否定是“? x∈R,都有 x +1≤3x”; 满足命题的否定形式,所以①正确. 对于②,设 p、q 是简单命题,若“p∨q”为假命题,说明两个命题都是假命题,命题的否定 是真命题,则“?p∧?q”为真命题;所以②正确. 对于③,若 p 是 q 的充分不必要条件,则?p 是?q 的必要不充分条件;满足充要条件的关系, 所以③正确; 对于④,把函数 y=sin(﹣2x) (x∈R)的图象上所有的点向右平移 个单位即可得到函数

(x∈R)的图象.符号平移原则,所以④正确; 故答案为:①②③④. 点评: 本题考查命题的子啊的判断,特称命题与全称命题的否定关系,充要条件以及复合 命题的真假,三角函数图象的平移,基本知识的考查. 三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 15. (12 分)已知集合 A={x||x﹣a|≤2},B={x|lg(x +6x+9)>0}. (Ⅰ)求集合 A 和?RB; (Ⅱ)若 A? B,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;对数函数的定义域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)利用绝对值不等式可求得集合 A={x|﹣2+a≤x≤2+a};解对数不等式 lg 2 (x +6x+9)>0 可得 B,从而可得?RB; (Ⅱ)由 A? B 得:2+a<﹣4 或者﹣2<﹣2+a,从而可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)|x﹣a|≤2? ﹣2≤x﹣a≤2? a﹣2≤x≤2+a, 集合 A={x|﹣2+a≤x≤2+a};?(3 分) , ∴ ,集合 B={x|x<﹣4 或 x>﹣2},?(6 分)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴CRB=[﹣4,﹣2];?(8 分) (Ⅱ)由 A? B 得:2+a<﹣4 或者﹣2<﹣2+a?.10 分 解得:a<﹣6 或 a>0,?..(11 分) 综上所述,a 的取值范围为{a|a<﹣6 或 a>0}.?(12 分) 点评: 标题考查绝对值不等式的解法及对数函数的定义域的确定,考查集合的包含关系及 应用,属于中档题.

16. (12 分)在数列{an}中,已知 a1= ,

,bn+2=3

an(n∈N ) .

*

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由条件建立方程组即可求出数列{an}、{bn}的通项公式; (2)根据错位相减法即可求{cn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)∵a1= , ,

∴数列{an}是公比为 的等比数列,∴ 又 ,故 bn=3n﹣2(n∈N ) .
*



(2)由(1)知, ∴ ∴ ,



, 于是

. 两式相减,得 = . ∴

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算,以及利用错位相减法进行求 和的内容,考查学生的计算能力.

17. (14 分)已知向量 (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间;



,设函数 f(x)=



(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 2 =4,求 b.

ab,c=2

,f(A)

考点: 正弦定理的应用;平面向量的综合题. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)运用平面向量的数量积的坐标公式,及两角和的正弦公式,以及正弦函数的 增区间,即可得到所求; (Ⅱ)由向量的数量积的定义,求得 C,再由 f(A)=4,求得 A,再由正弦定理,即可得到 b. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ = 令 2kπ 故 则 f(x)的单调递增区间为 (Ⅱ)∵ ∵0<C<π ,∴ 由 f(A)=4 得 ∴ , , ,∴A= , , , ,∴ , ≤2x , ≤2k , , . , ,

又 A 为△ABC 的内角, 由于 ,由正弦定理,得







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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标公式和三角函数的恒等变换公式的运用,同时考 查正弦函数的单调性, 以及正弦定理的运用, 考查两角和差公式, 以及运算能力, 属于中档题. 18. (14 分)制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某 投资人打算投资甲、 乙两个项目. 根据预测, 甲、 乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损分别为 30%和 10%.投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资 金亏损不超过 1.8 万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最 大? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;数形结合. 分析: 设投资人对甲、 乙两个项目各投资 x 和 y 万元, 列出 x 和 y 的不等关系 目标函数 z=x+0.5y.利用线性规划或不等式的性质求最值即可. 解答: 解:设投资人对甲、乙两个项目各投资 x 和 y 万元,则 设 z=x+0.5y=0.25(x+y)+0.25(3x+y)≤0.25×10+0.25×18=7, 当 即 时,z 取最大值 7 万元 , 及

答:投资人对甲、乙两个项目分别投资 4 万元和 6 万元时,才能使可能的盈利最大. 点评: 本题考查线性规划的应用问题,利用不等式的性质求最值问题,考查对信息的提炼 和处理能力. 19. (14 分)已知函数 f(x)=ex+ (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有 x≤0 都有 f(x)≥ax+1,求实数 a 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性,进而可求出函数的最小值; ﹣x (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣ax﹣1=e +(e﹣a)x﹣1,即 g(x)≥g(0)=0 成立,分类讨论 并利用导数判断函数的单调性,即可得出结论. ﹣x 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 f'(x)=﹣e +e,?(1 分) 令 f'(x)>0 得 x>﹣1;令 f'(x)<0 得 x<﹣1. 因此,函数 f (x)在(﹣∞,﹣1]上单调减函数,在[﹣1,+∞)上是单调增函数,?(5 分) 当 x=﹣1 时,f(x)的有极小值也是最小值,f(x)min=0?(6 分) ﹣x (Ⅱ)令 g(x)=f(x)﹣ax﹣1=e +(e﹣a)x﹣1, ﹣x 则 g'(x)=﹣e +(e﹣a) ,g(0)=0.?(8 分) ﹣x (1)当 e﹣a≤0,即 a≥e 时,g'(x)=﹣e +(e﹣a)<0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数, 因此当 x≤0 时,都有 g(x)≥g(0)=0,即 f(x)﹣ax﹣1≥0,f(x)≥ax+1;?(10 分) (2)当 a<e 时,令 g'(x)<0 得 x<﹣ln(e﹣a) ;令 g'(x)>0 得 x>﹣ln(e﹣a) , 因此函数 g(x)在(﹣∞,﹣ln(e﹣a)]上是减函数,在[﹣ln(e﹣a) ,+∞)上是增函数.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由于对所有 x≤0 都有 f(x)≥ax+1,即 g(x)≥g(0)=0 成立, 因此﹣ln(e﹣a)≥0,e﹣a≤1,a≥e﹣1,又 a<e, 所以 e﹣1≤a≤e.?(13 分) 综上所述,a 的取值范围是[e﹣1,+∞) .?(14 分) 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,考查学生恒成立问 题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力,属于难题. 20. (14 分)已知二次函数 f(x)=ax +x(a∈R) . (1)当 0<a< 时,f(sinx) (x∈R)的最大值为 ,求 f(x)的最小值. (2)对于任意的 x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1.试求 a 的取值范围. (3)若当 n∈N 时,记 立. 考点: 数列与不等式的综合;二次函数的性质;数列的求和;正弦函数的定义域和值域. 专题: 综合题. 分析: (1)由 知 ,故当 sinx=1 时 f(x)取得最大值为 ,由此得到 ,从而能够得到 f(x)的最小值. (2)对于任意的 x∈R,总有|f(sinxcosx)|≤1.令 则命题转化为 的 a 的取值范围. (3)由题意, ,由此入手,能够证明 ,不等式|f(t)|≤1 恒成立.由此入手,能够求出实数 a ,
* 2

,令 a=1,求证:



成立.

解答: 解: (1)由 知 ,



故当 sinx=1 时, f(x)取得最大值为 , 即 ∴ ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ 所以 f(x)的最小值为﹣1; (5 分) (2)∵对于任意的 x∈R, 总有|f(sinxcosx)|≤1, 令 则命题转化为 , , ,

不等式|f(t)|≤1 恒成立 当 t=0 时,f(t)=0 使|f(t)|≤1 成立; (7 分)

当 t≠0 时,有



对于任意的 ∵ 则 故要使①式成立, 则有 a≤2, 又 , ,

恒成立; ,

故要使②式成立, 则有 a≥﹣2,由题 a≠0. 综上,a∈[﹣2,0)∪(0,2]为所求. (10 分) 证明: (3)由题意,

令 则 ,

∴g(n)在 n∈N 时单调递增, ∴ 又 (13 分) ,

*

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ 综上,原结论成立. (16 分) 点评: 本题考查数列与不等式的综合,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转 化思想.综合性强,是 2015 届高考的重点,易错点是知识体系不牢固.

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