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第31届中国数学奥林匹克试题


第 31 届中国数学奥林匹克
江西 鹰潭 第一天
(2015 年 12 月 16 日 8:00~12:30) 1. 设正整数 a1 , a2 ,?, a31 , b1 , b2 ,?, b31 满足: (1) a1 ? a2 ? ? ? a31 ? 2015, b1 ? b2 ? ? ? b31 ? 2015 ; (2) a1 ? a2 ? ? ? a31 ?

b1 ? b2 ? ? ? b31 。 求S ?

? a ?b
i ?1 i

31

i

的最大值。

2. 如图,凸四边形 ABCD 中,K,L,M,N 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点,满足:

AK DA BL AB CM BC DN CD ? , ? , ? , ? . KB BC LC CD MD DA NA AB
延长 AB,DC 交于 E 点,延长 AD,BC 交于点 F。设△AEF 的 内切圆在边 AE,AF 上的切点分别为 S,T;△CEF 的内切圆在 边 CE,CF 上的切点分别为 U,V。 证明:若 K.L,M,N 四点共圆,则 S,T,U,V 四点共圆。

3. 设 p 是奇素数, a1 , a2 ,?, a p 是整数。证明以下两个命题等价: (1) 存在一个次数不超过 有 f ?i ? ? ai ? mod p ? 。 (2) 对每个不超过
p p ?1 2 的正整数 d ,都有 ? ? ai ? d ? ai ? ? 0 ? mod p ? ,这里下标按模 p 理 2 i ?1

p ?1 的整系数多项式 f ? x ? ,使得对每个不超过 p 的正整数 i ,都 2

解,即 a p ? n ? an 。

第 31 届中国数学奥林匹克
江西 鹰潭 第二天
(2015 年 12 月 17 日 8:00~12:30) 4. 设整数 n ? 3 ,不超过 n 的素数共有 k 个。设 A 是集合 ?2,3,?, n? 的子集,A 的元素个 数小于 k ,且 A 中任意一个数不是另一个数的倍数。 证明:存在集合 ?2,3,?, n? 的 k 元子集 B,使得 B 中任意一个数也不是另一个数的倍 数,且 B 包含 A。

5. 在平面中,对任意给定的凸四边形 ABCD,证明:存在正方形 A B C D (其顶点可以按 顺时针或逆时针标记) ,使得 A/ ? A, B/ ? B, C / ? C, D/ ? D ,且直线 AA/ , BB/ , CC / , DD/ 经过同一个点。

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6. 一项赛事共有 100 位选手参加。对任意两位选手 x, y ,他们之间恰比赛一次且分出胜负, 以 x ? y 表示 x 战胜 y 。如果对任意两位选手 x, y ,均能找到某个选手序列 u1 , u2 ,?, uk ,

k ? 2 ,使得 x ? u1 ? u2 ? ? ? uk ? y ,那么称该赛事结果是“友好”的。
(1) 证明:对任意一个友好的赛事结果,存在正整数 m 满足如下条件: 对任意两位选手 x, y ,均能找到某个长度为 m 的选手序列 z1 , z2 ,?, zm (可以有重复) , 使得 x ? z1 ? z2 ? ? ? zm ? y 。 (2)对任意一个友好的赛事结果 T, 将符合(1)中条件的最小正整数 m 记为 m ?T ? 。 求 m ?T ? 的 最小值。


第31届中国数学奥林匹克试题

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