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2005—2012年湖北高考试题分解 专题一 函数 导数 不等式(教师版)


湖北省阳新县英才中学

数学组

闵党生

专题一 函数、导数、不等式(2005-2012 湖北高考理科试题汇编)
2005 年高考试题(理科) 4. 函数 y ? e
|ln x|

? | x ? 1| 的图像大致是 B

6.在 y=2 ,x=log2x,

y=x ,y=cos 2x 这四个数中,当 0<x1<x2<1 时,使 ( 函数的个数是 B A.0 B.1 C.2 ? 9.若 0<x< 2 ,则 2x 与 3sinx 的大小关系:D D.3

x

2

x1 ? x2 2

)>

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

恒成立的

A.2x>3sin x B.2x<3sin x C.2x=3sin x D.与 x 的取值有关 16.某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克, 价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元.在满足需要的条件下,最少要花费 ____________元. 500 17.(本小题满分 12 分) 2 已知向量 a=(x ,x+1),b=(1-x,t).若函数 f(x)=a· 在区间(-1,1)上是增函数, t 取值范围. b 求 17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用函数的 性质分析和解决问题的能力. 2 3 2 解法 1:依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t, 2 则 f′(x)=-3 x +2x+t. 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f′(x)≥0. ∴f′(x) ≥0 ? t≥3x -2x,由于 g(x)的图象是对称轴为 x=
2

≥5 时,f′(x)在(-1,1)上成立 ? t≥g(-1),即 t≥5. 而当 t≥5 时,f′(x)在(-1,1)上满足 f′(x)>0,即 f(x)在(-1,1)上是增函数. 故 t 的取值范围是 t≥5. 2 3 2 解法 2:依定义 f(x)=x (1-x)+t(x+1)=-x +x +tx+t, 2 f′(x)=-3x +2x+t. 若 f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设 f′(x)≥0. ∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当 f′(1)=t-1≥0,且 f′(-1)=t-5≥0 时, f′(x)在(-1,1)上满足 f′(x) >0,即 f(x)在(-1,1)上是增函数. 故 t 的取值范围是 t≥5. 2006 年高考试题(理科) 4.设 f ( x) ? lg

1 ,开口向上的抛物线,故要使 t 3

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4) C. (?2, ?1) ? (1, 2)

( B ) D. (?4, ?2) ? (2, 4) ( A )

A. (?4, 0) ? (0, 4)

2 2 2 10.关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

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①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假命题的个数是 . A.0 B.1 C.2 D.3 17. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点, 其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立 20 a n a n ?1

的最小正整数 m; 点评:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能, 考查分析问题的能力和推理能力。 2 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 3
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?
n

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1 ? )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ , 2 6n ? 1 20 2 20

即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 21. (本小题满分 14 分) 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e
2 3? x

( x ? R) 的一个极值点。

(Ⅰ) 、求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅱ) 、设 a ? 0 , g ( x) ? (a ?

25 x )e 。若存在 ?1 , ?2 ?[0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1 成立, 4

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求 a 的取值范围。 点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题 的能力。 2 3-x 解: (Ⅰ)f `(x)=-[x +(a-2)x+b-a ]e , 2 3-3 由 f `(3)=0,得 -[3 +(a-2)3+b-a ]e =0,即得 b=-3-2a, 2 3-x 则 f `(x)=[x +(a-2)x-3-2a-a ]e 2 3-x 3-x =-[x +(a-2)x-3-3a ]e =-(x-3)(x+a+1)e . 令 f `(x)=0,得 x1=3 或 x2=-a-1,由于 x=3 是极值点, 所以 x+a+1≠0,那么 a≠-4. 当 a<-4 时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 当 a>-4 时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数; 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数; 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单 调递减,那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 3 -1 而 f (0)=-(2a+3)e <0,f (4)=(2a+13)e >0,f (3)=a+6, 3 那么 f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e ,a+6].

25 x )e 在区间[0,4]上是增函数, 4 25 25 2 2 4 且它在区间[0,4]上的值域是[a + , a+ ( )e ], 4 4 1 2 25 1 2 2 由于(a + )-(a+6)=a -a+ =( a ? ) ≥0,所以只须仅须 2 4 4 3 25 2 (a + )-(a+6)<1 且 a>0,解得 0<a< . 2 4 3 故 a 的取值范围是(0, ). 2
又 g ( x) ? (a ?
2

2007 年高考题(理科)
1 3 . 设 P 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? ?x | x ? P,且x ? Q? , 如 果 P ? ? x | l o g x? ? , 2

Q ? ?x | x ? 2 ? 1? ,那么 P ? Q 等于(
A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ≤1?

)B C. ?x |1≤ x ? 2? D. ?x | 2 ≤ x ? 3? ;b ? . 6;

11.已知函数 y ? 2 x ? a 的反函数是 y ? bx ? 3 ,则 a ?

1 2

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13.设变量 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ≥ 0, 则目标函数 2x ? y 的最小值为 ??2 ≤ x ≤ 3.
y ( 毫

.?

3 2

15.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时 间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为

1

克)

?1? y ?? ? ? 16 ?

t ?a

( a 为常数) ,如图所示.据图中提供的信息,回答

下列问题: (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与

O 0.1

( t 小时)

时间 t (小时)之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么药 物释放开始,至少需要经过 小 时 后 , 学 生 才 能 回 到 教

? 1? ? ? ?10t,0 ≤ t ≤ 10 ? ? ? ? 室. y ? ? , 1 t? 1? ?? 1 ? 10 ? ? ?? 16 ? ,t ? 10 ? ? ? ?? ?
20. (本小题满分 13 分)

0.6

已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 2

y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 20. 本小题主要考查函数、 不等式和导数的应用等知识, 考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

3a 2 ∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ? ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? 即? 由 x0 ? 2a ? 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
即有 b ?

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2
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令 h(t ) ?

5 2 t ? 3t 2 ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
1

当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 ? ? ? 1 ? 3 ? 故 h(t ) 在 ? 0, e ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ?

1

? 于是 h(t ) 在 (0, ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ?
? ?
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

?

1

?

2 3 3 e . 2

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

? 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ∞) 为增函数, ? 于是函数 F ( x) 在 (0, ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 21. (本小题满分 14 分) 已知 m n 为正整数, , (I)用数学归纳法证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x)m ≥1 ? mx ;

1 ? 1 m ? 1 ? ? (II)对于 n ≥ 6 ,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? , 2 2 ? n?3? ? m?3? m ? ?1? ? 2, 求证 ?1 ? ? ? ? ? , m ? 1, ?,n ; ? n?3? ? 2?
(III)求出满足等式 3 ? 4 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 3) 的所有正整数 n .
n n n m

m

m

m

m

21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问 题能力和推理能力. 解法 1: (Ⅰ)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式成立;当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2x ? x ,右边 ? 1 ? 2x ,
2

因为 x

2

≥ 0 ,所以左边≥ 右边,原不等式成立;
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(ⅱ)假设当 m ? k 时,不等式成立,即 (1 ? x)k ≥1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时,

∵ x ? ?1,∴1 ? x ? 0 ,于是在不等式 (1 ? x)k ≥1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k (1 ? x) ≥ (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ≥1 ? (k ? 1) x , ·
所以 (1 ? x)k ?1 ≥1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ)知,对一切正整数 m ,不等式都成立.

1 ? m ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6,m ≤ n 时,由(Ⅰ)得 ?1 ? ? 0, ? ≥1 ? n?3 ? n?3? m ? 1 ? ? ? 于是 ?1 ? ? ≤ ?1 ? ? ? n?3? ? n?3?
n nm
n m ?? 1 ? ? ?1? ,? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? , m ? 1 2, ,n . ? n?3? ? ? 2? ? ? ? m

m

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当 n ≥ 6 时,

1 ? ? 2 ? n ? 1 ?1? 1 ? ? ?1? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1? n ? 1 , 2 ? n?3? ? n?3? ? n?3? 2 ? 2? ?2?
? n ? 2 ? ? n ?1 ? ? 3 ? ∴? ? ?? ? ??? ? ? ? 1. ? n?3? ? n?3? ? n?3?
n n n

n

n

n

2

n

即 3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n .即当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .

, 3, 5 故只需要讨论 n ? 1 2, 4,的情形:
当 n ? 1 时, 3 ? 4 ,等式不成立; 当 n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 ,等式成立;
2 2 2

当 n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 ,等式成立;
3 3 3 3

当 n ? 4 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 为偶数,而 7 为奇数,故 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ,等式不成立;
4 4 4 4

4

4

4

4

4

4

当 n ? 5 时,同 n ? 4 的情形可分析出,等式不成立. 3 综上,所求的 n 只有 n ? 2,. 解法 2: (Ⅰ)证:当 x ? 0 或 m ? 1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
m 当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时, m ≥ 2 , (1 ? x) ? 1 ? mx .


2

(ⅰ)当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2x ? x ,右边 ? 1 ? 2x ,因为 x ? 0 ,所以 x ? 0 ,即左边 ? 右
2

边,不等式①成立;
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(ⅱ)假设当 m ? k (k ≥ 2) 时,不等式①成立,即 (1 ? x)k ? 1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时, 因为 x ? ?1 ,所以 1 ? x ? 0 .又因为 x ? 0,k ≥ 2 ,所以 kx ? 0 .
2

于是在不等式 (1 ? x)k ? 1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k (1 ? x) ? (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ?1) x ? kx2 ? 1 ? (k ?1) x , ·
所以 (1 ? x)k ?1 ? 1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.
m m n ?? 1 ? ? ?1? 1 ? 1 ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6 , m ≤ n 时,∵?1 ? ? ? ,∴ ??1 ? n ? 3 ? ? ? ? 2 ? , ? ? ? ? ? n?3? 2 ?? ? ? n m m m ? m ? 1 ? ? ?1? 1 ? m ? ? 而由(Ⅰ) ?1 ? , ≤ ?? 1 ? ?? ? . ≥ ? 1 0 ,∴?1 ? ? ? ? ? ? ? n?3 ? n?3? ? n?3? ?? n ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? n n

(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ≥ 6 使等式 3 0 ? 4 0 ? ? ? (n0 ? 2)
n n

n0

? (n0 ? 3)n0 成立,

? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 即有 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1. ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 又由(Ⅱ)可得 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?
n0 n0 n0 n0 n0 n0

n0

n0

n0



0 0 ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? 1 1 ?1? ?1? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1 , ? ? 2 2 ? 2? ? 2? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?

n

n ?1

与②式矛盾. 故当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n . 下同解法 1. 2008 年高考试题(理科) 4. 函数 f ( x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 x
B. (?4,0) ? (0.1) C.

A. (??, ?4] ? [2, ??)

[-4,0) ? (0,1]

D. [?4,0) ? (0,1)

解:函数的定义域必须满足条件:

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?x ? 0 ? 2 ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? [?4, 0) ? (0,1) ? 2 ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ?
7. 若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 2
B. (?1, ??)
'

A. [?1, ??)

C. (??, ?1]

D. (??, ?1)

解:由题意可知 f ( x) ? ? x ?

b ? 0 ,在 x ? (?1, ??) 上恒成立, x?2

即 b ? x( x ? 2) 在 x ? (?1, ??) 上恒成立,由于 x ? ?1 ,所以 b ? ?1 ,故C为正确答案. 13.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? a , f (bx) ? 9 x2 ? 6 x ? 2 ,其中 x ? R , a , b 为常数,则方程

f (ax ? b) ? 0 的解集为

.

解:由题意知 f (bx) ? b2 x ? 2bx ? a ? 9x2 ? 6x ? 2 ? a ? 2, b ? ?3. 所以

f (2x ? 3) ? 4 x2 ? 8x ? 5 ? 0, ? ? 0 ,所以解集为 ? 。
20.(本小题满分 12 分) 水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水 库的蓄水量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 x ? 2 ?(?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50,0 ? t ? 10, V (t ) ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50,10 ? t ? 12. ?

(Ⅰ) 该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i ? 1 ? t ? i 表示第 1 月份 i ? 1, 2,?,12 ) ( , 同一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e ? 2.7 计算).
2 解: (Ⅰ)①当 0 ? t ? 10 时, V (t ) ? (?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50 ? 50 ,化简得 t ? 14t ? 40 ? 0 ,
2

1

x

解得 t ? 4 ,或 t ? 10 ,又 0 ? t ? 10 ,故 0 ? t ? 4 . ②当 10 ? t ? 12 时, V (t ) ? 4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50 ? 50 ,化简得 (t ? 10)(3t ? 41) ? 0 ,

41 ,又 10 ? t ? 12 ,故 10 ? t ? 12 . 3 综合得 0 ? t ? 4 ,或 10 ? t ? 12 ;故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月.
解得 10 ? t ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知: V (t ) 的最大值只能在(4,10)内达到.
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' 1 t 4

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1 2 3 1 1t 由 V (t ) ? c (? t ? t ? 4) ? ? c 4 (t ? 2)(t ? 8), 4 2 4
令 V ' (t ) ? 0 ,解得 t ? 8 ( t ? ?2 舍去). 当 t 变化时, V ' (t ) 与 V (t ) 的变化情况如下表:

t
V ?(t )

(4,8)

8 0 极大值

(8,10) -

?
?

V (t )

?

由上表, V (t ) 在 t=8 时取得最大值 V (8) ? 8e2 ? 50 ? 108.32 (亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米 2009 年高考试题(理科)

1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 的反函数是 1 ? ax a 1 ? ax 1 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) ( x ? R , 且x ? ) A、 y ? B、 y ? 1 ? ax a 1 ? ax a
2.设 a 为非零实数,函数 y ? C、 y ?

1? x ( x ? R且x ? 1) a(1 ? x)

D、 y ?

1? x ( x ? R, 且x ? ?1) a( x ? 1)

解:由 y ?

1? y 1 ? ax 1 ( x ? R, 且x ? ? ) 得 x ? 则 y ? ?1 ,反函数的定义域为 x ? ?1 .选 D 1 ? ax a a( y ? 1)

8.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙 型货车可供使用。 每辆甲型货车运输费用 400 元, 可装洗衣机 20 台; 每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台。若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元

?x ? 4 ?y ? 8 ? 解:设派甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,则运费 z=400x+300y,约束条件为 ? ?20x ? 10 y ? 100 ? x, y ? N ?
画出可行域如下图所示,平行目标函数所代表的曲线与可行域的最近的交点为(4,2)

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即当 x=4,y=2 时 min z=2200,.选 B.

ax ? 1 1 <0 的解集是 (??, ?1) ? (? , ??) .则 a ? . x ?1 2 1 ax ? 1 1 ? 0 ? ( x ? 1)( ax ? 1) ? 0 ,其解集是 (??, ?1) ? (? , ??) 当且仅当 x ? ? 是方程 解: x ?1 2 2 ax ? 1 ? 0 的解.得 a ? ?2 .
11.已知关于 x 的不等式 14.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

解:由 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 得 f' ( x) ? ? f ' ( ) sin x ? cos x ,令 x ?

?

4

4

.

?

?
4

4

4



? ? 2 2 ? 2 1 f '( ) ? ? f '( ) ? ? f '( ) ? ? ? 2 ?1 4 4 2 2 4 2? 2 2 ?1
从而 f ( x) ? ( 2 ?1) cos x ? sin x ,于是 f ( ) =

?

4

2 2

?

2 ?1 ?1 ? 1

?

21.(本小题满分 14 分)

1 在 R 上 定 义 运 算 ? :p ? q ? ? ( p ? c)( q ? b) ? 4bc (b 、 c 为 常 数 ). 记 3

f1 ( x) ? x 2 ? 2c , f 2 ( x) ? x ? 2b , x ? R .令 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) .
(Ⅰ)如果函数 f (x) 在 x=1 处有极值 ?
4 ,试确定 b、c 的值; 3

(Ⅱ)求曲线 y ? f (x) 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; (Ⅲ)记 g ( x) ? f ( x) (?1 ? x ? 1) 的最大值为 M.若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立,试 求 k 的最大值.
解:根据定义 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ( x ? 2c) ? ( x ? 2b) ? ? ( x ? 3c)( x ? 3b) ? 4bc
2 2

1 3

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化简得到 f ( x) ? ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ,对 f(x)求导得到 f ' ( x) ? ? x 2 ? 2bx ? c 3 1 4 ? ? ? 依题意 f ' (1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ; f (1) ? ? 3 ? b ? c ? bc ? ? 3

解得 b=1,c=-1 当

或 b=-1,c=3.
1 3 x ? x 2 ? x ? 1 , f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 1 ? ? ? 1 2 ? 0 ,x=1 不 (x ) 3 1 3 x ? x 2 ? 3 x ? 3 , f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 , f ' ' ( x) ? ?2 x ? 2 , 3

b=1,c=-1 b=-1,c=3

时 f ( x) ? ?

是极值点. 当 时 f ( x) ? ?

f ' ' ' ( x) ? ?2 x=1 是极大值点.因此 b=-1,c=3.

?II ? 当 f ' ( x) ? c 时, x 2 ? 2bx ? 0 ? x ? 0或x ? 2b .
当 x=0 时得切线方程为 y=c(x+b),与曲线联立得 ? 得公共点(0,bc)与(3b,4bc) 同理当 x=2b 时切线与曲线的公共点为(-b, ?

1 3 x ? bx 2 ? 0 3

4b 3 4b 3 )与(2b, 3bc ? ) 3 3

因此曲线 y=f(x)上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点为 (0, 、 bc) (3b,4bc) 、 (-b, ?

4b 3 4b 3 ) 、 (2b, 3bc ? ) 3 3

?III? 依题设,
g ( x) ? f ' ( x) ? ? x 2 ? 2bx ? c ? ( x ? b) 2 ? b 2 ? c
当 b≥1 时,g(x)的图像大致如右图,因此 M=max{g(-1),g(1)}=max(|c-2b-1|,|c+2b-1|) ≥

c ? 2b ? 1 ? c ? 2b ? 1 2



c ? 2b ? 1 ? (c ? 2b ? 1) 2

≥|2b|≥2. 同理,当-1≤b≤1 时 2 M=max{g(-1),g(b),g(1)}=max(|c-2b-1|,|b +c|,|c+2b-1|) ≥

c ? 2b ? 1 ? c ? 2b ? 1 ? 2 | b 2 ? c | 4

c ? 2b ? 1 ? c ? 2b ? 1) 2 b 2 ? c) b 2 ? 1 1 ( ?( ≥ = ≥ . 2 2 4

当 b≤-1 时
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M=max{g(-1),g(1)}=max(|c-2b-1|,|c+2b-1|)≥|2b|≥2. 则要使 M≥k 对任意的 b,c 都恒成立则 k≤

1 , 2

当 b=0,c=

1 1 1 时 g ( x) ? f ' ( x) ? ? x 2 ? 在区间 ?? 1,上的最大值 M= . 1? 2 2 2 1 . 2
2010 年高考试题(理科)

所以 k 的最大值为

9.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

9. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的 半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离 等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3) 时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确. 10.记实数 x1 , x2 ,?? xn 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,......xn ? ,最小数为 min ?x1 , x2 ,......xn ? 。已 知 ABC 的三边长位 a,b,c a ? b ? c ) 定义它的亲倾斜度为 l ? max ? , , ? .min ? , , ? , ( , 则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 10.【答案】A

?a b c ? ?b c a ?

?a b c ? ?b c a ?

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
?a b c ? ? , , ? 则 l=1;若△ ?b c a ?

?a b c ? 【解析】若△ABC 为等边三角形时,即 a=b=c,则 max ? , , ? ?1 ?min ?b c a ? ABC 为 等 腰 三 角 形 , 如 a=2,b=2,c=3 时 , 则

?a b c ? 3 ?a b c ? 2 max ? , , ? ? , min ? , , ? ? ,此时 l=1 仍成立但△ABC ?b c a ? 3 ?b c a ? 2

y
C B y=x

不为等边三角形,所以 A 正确.

? y ? x, ? 12.已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, , ? x ? 2, ?
则 z 的最大值为___________.
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o

1
A x=2

2

x
x+y=1

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12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示) ,则对于目标函数 y=2x-z,当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Zmax ? 5 . 15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a,b 的调和平均数。如图,C 为 a?b

线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直 径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD,AD, BD。过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E。则图中线段 OD 的长度 是 a,b 的算术平均数,线段 的长度是 a,b 的几何平均 数,线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 15.【答案】CD DE

D

A

E O

C

B

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 ? AC ? CB ,故 CD ? ab ,即 CD 长度为

a,b 的几何平均数,将 OC= a ?

a ?b a ?b a?b 代入 OD ? CE ? OC ? CD 可得 ? , CD ? ab , OD ? 2 2 2 ( a ? b) 2 a ?b 2ab ,所以 ED=OD-OE= ,故 DE 的长度为 a,b 的调 CE ? ab 故 OE ? OC 2 ? CE 2 ? 2(a ? b) a?b a?b

和平均数. 17. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消 耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)=

k (0 ? x ? 10), 若 3x ? 5

不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用 之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。 17.本题主要考察函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm ,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 再由 C (0) ? 8 ,得 k ? 40 , 因此 C ( x) ?

k . 3x ? 5

40 . 3x ? 5

而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x ,最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(Ⅱ) f '( x) ? 6 ?

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

2400 2400 ?6. ,令 f '( x) ? 0 ,即 2 (3x ? 5) (3x ? 5)2
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解得 x ? 5 , x ? ?

25 (舍去). 3

当 0 ? x ? 5 时, f '( x) ? 0 , 当 5 ? x ? 10 时, f '( x) ? 0 , 故 x ? 5 是 f ( x ) 的最小值点, 对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ?

800 ? 70 。 15 ? 5

当隔热层修建 5cm 厚时, 总费用达到最小值为 70 万元。 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 . x

(Ⅰ)用 a 表示出 b, c ; (Ⅱ)若 f ( x) ? ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围;

1? (Ⅲ) 证明:

1 1 1 n ? ? ??? ? ? ln n +1)+ ( (n ? 1) 2 3 n (n +1) 2

21.本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识,同事考察综合运用数学知识进行推 理论证的能力和分类讨论的思想。 (满分 14 分) 解: (Ⅰ) f '( x ) ? a ?

? f (l ) ? a ? b ? c ? 0 b ,则有 ? ,解得 2 x ? f '(l ) ? a ? b ? 1
a ?1 ? 1 ? 2a , x

?b ? a ? 1 ? ?c ? l ? 2 a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ax ? 令 g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x , x ??1, ??? x
2

则 g (l ) ? 0 , g '( x) ? a ? (i)当 o ? a ? 若 1? x ?

a ? 1 1 ax ? x ? (a ? 1) ? ? ? x2 x x2

a( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a

1 1? a ?1 , 2 a

1? a ,则 g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (l ) ? o a

f ( x) ? ln x ,故 f ( x) ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒不成立。
(ii) a ?

1 1? a ?l 时, 2 a

若 f ( x) ? ln x ,故当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? , ?? ?
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?1 ?2

? ?

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2011 年高考试题(理科) 2. 已知 U ? y y ? log 2 x, x ? 1 , P ? ? y y ?

?

?
? ?

? ?

1 ? , x ? 2 ? ,则 ?U P ? x ?
D. ? , ?? ? ?2 ?

A. ? ??, 0? ? ? , ?? ? 【详细解析】

?1 ?2

? ?

B. ? 0, ?

1? 2?

C . ? 0, ?? ?

?1

?

1 1? ? ? ? U ? ? y y ? log 2 x, x ? 1? ? ? y y ? 0? , P ? ? y y ? , x ? 2? ? ? y 0 ? y ? ? , x 2? ? ? ?
故 CU P ? ? y y ?

? ?

1? ?1 ? ? ,即为 ? , ?? ? 2? ?2 ?

【考点定位】考查数形结合的思想和函数的图像,属于简单题。 6.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足

f ? x ? ? g ? x ? ? a x ? a? x ? 2 ? a ? 0, 且a ? 1? ,若 g ? 2? ? a ,则 f ? 2 ? ?
A. a
2

B. 2

C.

15 4

D.

17 4

【详细解析】

f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? a? x ? a x ? 2 ? ? f ? x ? ? g ? x ? , 代 入 f ? x ? ? g ? x ? ? a x ? a? x ? 2 , 得 :
f ? x ? ? a x ? a? x , g ? x ? ? 2 ,又 g ? 2? ? a ,故 a ? 2 ,于是 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,故 f ? 2? ?
【考点定位】考查奇偶函数,属于中档题。 8.已知向量 a ? ? x ? z,3? , b ? ? 2, y ? z ?,且a ? b ,若 x,y 满足不 等式 x ? y ? 1 ,则 z 的取值范围为: A . ? ?3,3? B. ? ?3, 2? C. ? ?2, 2? D.

15 4

?

?

?

?

y A(0, l 1) 1 D(-1, O B(1, 0) C(0,- l 0)
2

x

??2,3?

1)

【详细解析】由 a ? b 得: 2 x ? 2 z ? 3 y ? 3z ? 0 ,即 z ? 2 x ? 3 y ,易知 x ? y ? 1 所表示的区 域如图所示:故易得 z ? 2 x ? 3 y 在 ? 0, ?1? 和? 0,1? 上分别取最小值-3 和最大值 3。 【考点定位】考查向量的运算与不等式的解法,属于中档题。 10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素,其含量不断减少,这种现象称为 衰变。假设在放射性同位素铯 137 衰变过程中,其含量 M(太贝克/年)与时间 t(单位:年)满足

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函数关系: M ? t ? ? M 0 2

t ? 30

,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量,已知 t=30 时,铯 137 含量的变 D.150 太贝克

化率为-10ln2(太贝克/年),则 M(60)= A .5 太贝克 B .75ln2 太贝克 C.150ln2 太贝克 【详细解析】 M ? ? t ? ? ?

t ? 1 M 0 2 30 ln 2 ,因为 t=30 时,铯 137 含量的变化率为-10ln2,所以 30

M ? ? 30 ? ? ?10ln 2 ? ?

30 ? 1 M 0 2 30 ln 2 ? M 0 ? 600 ,故 M ? 60? ? 600 ? 2?2 ? 150 。 30

【考点定位】考察函数的运算,考查学生分析问题解决问题的综合能力,属于难题。 17.(本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0,,当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时。研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 ,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ? x ? ? x? ? x ? 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) v

2 0 0 【详细解析】 Ⅰ) ( 由题意: 0 ? x ? 20 时, ? x ? =60, 2 ? x ? 当 当0 v

时, v ? x ? ? ax ? b 。 设

1 ? ? a ? ? 3, ?200a ? b ? 0, ? 再由已知得: ? 解得: ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 , ? 3 ?

0 ? x ? 20 ? 60, ? 故函数 v ? x ? 的表达式为 v ? x ? ? ? 1 ? 3 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ? 0 ? x ? 20 ? 60 x, ? (Ⅱ)由题意及(Ⅰ)可得: f ? x ? ? ? 1 ? 3 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ? x ? ? x ? 200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

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当且仅当 x ? 200 ? x,即x ? 100 时,等号成立。

10000 。 3 10000 ? 3333 , 综上, ,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ? 20, 200? 上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时。 【考点定位】考查函数与导数的运用,属于简单题。 21.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? 1, x ? ? 0, ??? 求函数 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)设 ak , bk ? k ? 1, 2,?, n ? 均为正数,证明: (1)若 a1b1 ? a2b2 ? ?? anbn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,则 a1 1 a2 2 ?an n ? 1
b b b

(2)若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1,则

1 ? b1b1 b2b2 ? bn bn ? b12 ? b2 2 ? ? ? bn 2 。 n

【详细解析】 (Ⅰ) f ? x ? 的定义域为 ? 0,??? ,令

f ?? x? ?

1 ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 x

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数; 故函数 f ? x ? 在 x=1 处取得最大值 f ?1? ? 0 (Ⅱ) (1)由(Ⅰ)知,当 x? ? 0, ??? ,有 f ? x ? ? f ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ,

? ak , bk ? 0 ,从而有 ln ak ? ak ? 1 ,得 bk ln ak ? ak bk ? bk ? k ? 1, 2,?, n? 。
求和得:

? ln ak bk ? ? ak bk ? ? bk
k ?1 k ?1 k ?1 n n k ?1 k ?1

n

n

n

? ? ak bk ? ? bk ,? ? ln ak bk ? 0 ,即 ln ? a1b1 a2b2 ? an bn ? ? 0
n k ?1

?a1b1 a2b2 ?anbn ? 1
(2)①先证: b1 1 b2 2 ? bn
b b bn

?

1 。 n

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令 ak ?

n n n 1 1 ? k ? 1, 2,?, n? ,则 ? ak bk ? ? ? 1 ? ? bk ,于是 nbk k ?1 k ?1 n k ?1
b1 b2 bn

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 由(1)得 ? ? ? 1 ,即 ? ? ? ?? ? nb1 ? ? nb2 ? ? nbn ?
1 1 ? nb1 ?b2 ???bn ? n , b1b1 b2b2 ?bn bn ? 。 bn n b b ?bn
b1 b2 1 2

②再证 b1 1 b2 2 ?bn n ? b12 ? b22 ? ?? bn2
b b b

记S ?

? bk 2 ,令 ak ?
k ?1

n

bk S

? k ? 1, 2,?, n? ,则 ? ak bk ? ? bk 2 ? 1 ? ? bk , S
k ?1 k ?1 k ?1

n

1

n

n

于是由(1)得 ?

n 1 2 ?b ? ? b1 ? ? b2 ? ?? n ? ? 1 ,即 ? ? ? ?S? ?S ? ?S?

b

b

b

b1b1 b2b2 ?bnbn ? S b1 ?b2 ???bn ? S ,?b1b1 b2b2 ?bnbn ? b12 ? b22 ? ?? bn2
综合①②, (2)得证。 【考点定位】考查函数和导数的综合运用及运算,属于难题。 2012 年高考试题(理科) 3.已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为 2π 4 3 π A. B. C. D. 5 3 2 2 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 难易度:★ 解析:根据图像可得: y ? f ( x) ? ? x2 ? 1,再由定积分的几何意 义,可求得面积为 S ? 6.设 a,b,c,x,y,z A.

y
1

?1
?1 O
1

x

?

1

?1

1 4 (? x 2 ? 1)dx ? (? x 3 ? x)1 1 ? . ? 3 3

第 ?1 3 题图

?1

是正数, a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 ,x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 ,ax ? by ? cz ? 20 ,则 且

a?b?c ? x? y?z

1 1 3 1 B. C. D. 4 2 4 3 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 难易度:★★
解析:由于 (a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2
2

等号成立当且仅当

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z
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所以由题知 t ? 1 / 2 , 又

a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z

9.函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. 难易度:★
2 2 解析: f ( x) ? 0 ,则 x ? 0 或 cos x ? 0 , x ? k? ?

?
2

, k ? Z ,又 x ? ?0,4? , k ? 0,1,2,3,4

所以共有 6 个解.选 C. 22. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 ,则
a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. .....

注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . 考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳 推理能力有较高要求。 难易程度:★★★ 解析: (Ⅰ) f ?( x) ? r ? rxr ?1 ? r (1 ? xr ?1 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ? ?) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 xr ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a 2 中有一个为 0,则 a a2 ? a1b1 ? a2b2 成立; 若 a1 , a 2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是 a a a 在①中令 x ? 1 , r ? b1 ,可得 ( 1 )b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) , a2 a2 a2
b1 1 b2



即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) ,亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . 综上,对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数且 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . (Ⅲ) (Ⅱ)中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 , ?, an 为非负实数, b1 , b2 , ?, bn 为正有理数. ②

b b b 若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 a11 a22 ?ann ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn . ③ 用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立. (2)假设当 n ? k 时,③成立,即若 a1 , a2 ,?, ak 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk 为正有理数,
b b b 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? 1 ,则 a11 a22 ?akk ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk .

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 ,?, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk , bk ?1 为正有理数, 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bk ?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
b1 b2 bk

b b 1 b b 1 1 1 b 1 b b b b a11 a22 ?akk akk??1 ? (a11 a22 ?akk )akk??1 = (a11?bk ?1 a2?bk ?1 ?ak ?bk ?1 )1?bk ?1 akk??1 .

(2013 届高考二轮复习资料)第 19 页 共 20 页

湖北省阳新县英才中学

数学组

闵党生

bk b1 b2 ? ??? ? 1 ,由归纳假设可得 因 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

a

b1 1?bk ?1 1

a

b2 1?bk ?1 2

?a

bk 1?bk ?1 k

? a1 ?

a b ? a2 b2 ? ? ? ak bk bk b1 b2 ? 11 ? a2 ? ? ? ? ak ? , 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1
1?bk ?1 b 1 ak k??1 .

? a b ? a2b2 ? ? ? ak bk ? 从而 a a ?a a ? ? 1 1 ? 1 ? bk ?1 ? ? 又因 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得
b1 1 b2 2 bk k bk ?1 k ?1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?
b1 1 b2 2 bk k bk ?1 k ?1

1?bk ?1 b 1 ak k??1 ?

a1b1 ? a2 b2 ? ? ? ak bk ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 1 ? bk ?1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,

从而 a a ?a a ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 . 故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1) (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明: (Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情况.

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