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三角函数复习课课件(北师大版必修四)


北师大版高中数 学必修4
课题

1

一、知识网络 二、学法指导 三、例题分析

宏观思路 微观直觉

四、基础练习
五、小结及作业
2

上页

重点:让学生掌握三角函数的 图象;在理解各组三角 公式的基础上掌握并熟 练运用

三角公式。

难点:两个变换,“图象变换” 和“三角变换”

3

下页

同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质 图象与性质

形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式

正弦定理、 余弦定理、 面积公式

S2α= C2α= T2α=

Sα/2= Cα/2= Tα/2=

万能公式

降幂公式
4

一、同角三角函数的八大关系
1.倒数关系
sin ? csc ? ? 1 cos? sec ? ? 1 tan? cot? ? 1

2.商的关系

sin ? t an? ? cos? cos? cot? ? sin ?

3.平方关系 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 1 ? t an ? ? sec ? 2 2 1 ? cot ? ? csc ?
5

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二、两组诱导公式:
①2kπ±α,π±α的三角函数 值等于α的同名三角函数值,前面 加上把α看成锐角时原函数的符号. ②π/2±α,3π/2±α的三角 函数值等于α的余角的三角函数值, 前面加上把α看成锐角时原函数的 符号.
6

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三、一般函数图象变换
位 移 变 换 上下 平移
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

y=f(x)+b图象

基 本 变 换 伸 缩 变 换

左右 平移 上下 伸缩 y=f(x) 图 象

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位

y=f(x+φ) 图 象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

y=A f(x)图象

左右 伸缩

点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标不变

y=f(ωx)图象

7 返回 例3 返小结

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

形状完全一样 只是位置不同

正弦曲 线

余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)
8

x

四、记住下列三角公式:
①两角和与差的正弦、 余弦、正切: sin( ?β ) ? sinα cosβ ? cosα sinβ α cos( ?β ) ? cosα cosβ ? sinα sinβ α t an ? t an α β t an( ?β ) ? α 1 ? t an t an α β

天哪 !

②二倍角公式: 2 tan α sin2 ? 2sinα cosα ; tan2 ? α α 2 1 ? tan α 2 2 2 2 cos2 ? cos α ? sin α ? 1 ? 2sin α ? 2cos α ? 1 α
9

③降幂公式 : 1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 cos α ? ; si n α ? 2 2 ④半角公式:
2

α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

⑤万能公式: α 2α 2 t an 1 ? t an 2 ; cosα ? 2 sinα ? 2α 2α 1 ? t an 1 ? t an 2 2

记 住 啊 !
10 返回 例5

⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.

三角解题常规
分析差异
指角的、函数的、运算的差异

宏 观 思 路

寻找联系

利用有关公式,建立差异间关系

促进转化

活用公式,差异转化,矛盾统一

11 返回返小结

微 观 直 觉

1、以变角为主线,注意配凑和转化; 2、见切割,想化弦;个别情况弦化切; 3、见和差,想化积;见乘积,化和差; 4、见分式,想通分,使分母最简; 5、见平方想降幂,见“1±cosα”想升幂; 6、见sin2α,想拆成2sinαcosα; sinα+sinβ=p 7、见sinα±cosα或 想两边平方或和差化积 cosα+cosβ=q 8、见a sinα+b cosα,想化为

a ? b sin( ? φ )形式 α
2 2

9、见cosα·cosβ·cosθ····,先 sin2α 若不行,则化和差 运 用cosα ?
10、见cosα+cos(α+β)

2 sin α

+cos(α+2 β )····, 想乘

? 2sin 2 ? 2sin 2

12 返回返小结

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足 cos |? ? cos , | 2 2 α 则 角属于() C 2 A.第-象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.
13

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例2(94年, 全国) π 如果函数y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线 ? ? x 8 对称,那么a等于( ) A. 2 ; B. ? 2 ; C.1; D. ? 1

y ? 1 ? a 2 sin(2 x ?φ ) 思路:函数y=sin2x+acos2x可化为
要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处 必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、 小值.

π π 解 : 由| 2 ? (? ) ? a cos 2 ? (? |? 1 ? a 2 sin ) 8 8 解得a ? ?1,应选D

14

例3( 2000 , 全 国 年 ) 已 知 函 数 ? 3 sinx ? cos x,x ? R y ① 当 函 数 取 得 最大 值 时 , 求 自 变 量 集 合 y x的 ; 的 平 移 和 伸 缩 变 换 而到 ? 得
解题步骤:
复习

② 该 函 数 图 象 可 由? sinx,x ? R的 图 象 经 过 怎 样 y

3.指出变换过程:

π 1.化 函 数 为 ? 2 si n ( ? ),x ? R ? ? ? ?3分 y x 6 π 2.y取 最 大 值 时 得的 集 合 为x|x ? 2kπ ? , k ? Z} ? ? ? 6分 x { 3
π π ①将 y ? sin x图象向左平移 ,得到 y ? sin( x ? )图象 ? ? ? 9分 6 6

②将所得图象上所有点 的横坐标不变,把纵坐 标 伸长到原来的倍, 得到y ? 2 sin( ? π / 6)的图象 ? ? ? 12分 2 x . 15

例4(94年,上海) 3 π 1 已知sinα ? ,α ? ( ,π ), π -β ) ? , tan( 5 2 2 求 tan( -2 )值. α β

分析:①由sin ?的值求出cos?值,得出tan?值

②由tan( ?β )值,求出tan 值, π β 再求 tan 2 值; β
③再利用差角公式求出 α ? 2 )值. tan( β
答案:tan(α-2β)=7/24.
16

例5(1995 年, 全国) 求 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos 50?值.
2 2

基本思路: ①利用降幂公式
2

复习

③利用和差化积公式 α ?β α ?β cos ? cosβ ? ?2 sin α sin 2 2 3 最后结果: 原式 ? 4

②利用积化和差公式 1 sinα cos ? [sin( ?β ) ? sin( ?β )] β α α 2

1 ? cos 2 α 1 ? cos 2 α 2 sin α ? , α? cos 2 2

17

例6(1996 , 全 国 年 ) 已知△ ABC中 , 三 内 角 为 , B, C, 满 足 A 1 1 2 A?C A ? C ? 2B, ? ?? , 求cos 的 值. cos A cosC cosB 2 1 解 : 由题设有 ? 60?, A ? C ? 120?,则cosB ? . B 2 1 1
?有 cos A ? cosC ? ?2 2,

即cosA ? cosC ? ?2 2 cosA cosC A?C A?C 即2 cos cos ? ? 2[cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2 A?C 2 ? cos ? ? 2 cos(A ? C) 2 2 A?C 2 A?C 2 2 A?C ? . ? cos ? ? 2 ( 2 cos ? 1) ? cos 2 2 2 2 2 18

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1、若A=21°,B=24°,则(1+tanA)(1+tanB) 的值是( B ) (A)1 (B)2 (C)1+ 2 (D)2(tanA+tanB) 2、若270°<α <360°,则 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 2 2 2 2 等于( A ) (A)-cos(α /2) (B) cos(α /2) (C) sin(α /2) (D) -sin(α /2)
?

基础练习

4.将函数y ? sin ?x(? ? 0)的图象向左平移 ,平移后的图象 6 如图2所示,则平移后的图象 所对应的函数解析式是 () y 7? ? ? ( A).y ? sin(x ? ); ( B ).y ? sin(x ? ) 12 6 6 x O ? ? (C ).y ? sin(2 x ? ); ( D ).y ? sin(2 x ? ) -1 3 3 19

C

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二、填空题: 1 3 4 1、 10? ? cos10? ?________ sin
cosα ? sinα ? 4? 3 2、设 cosα ? sinα
?

? ? 4.(06湖南)若f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? )是偶函数, 4 4 则a ? -3
20

4? 3 则 cot( 4 ? ? ) =___________ 4 3 ? 3 α π 10 3、已知 tan ? 2,则 cos( ?α ) ? __________ 2 3

1 1、已知α 、β 为锐角,且, cos ? 11 7 cos(α +β )= ? 14 ,求β 。
解 1 2 4 3 由条件可得sin ? ? 1 ? ( ) ? , 7 7 11 2 5 3 又0 ? ? ? ? ? ? , 故 sin(? ? ? ) ? 1 ? (? ) ? . 14 14

三、解答题:

从而得cos ? ? cos[( ? ? ) ? ? ] ? ? cos(? ? ? ) cos? ? sin(? ? ? ) sin ? 11 1 5 3 4 3 1 ? (? ) ? ? ? ? 14 7 14 7 2

β为锐角,故?=?/3

21

2、已知sin ? sin ? sin ? 0, cosα ? cos ? cosφ ? 0 α β φ β 且0 ? α ?β ? φ ? 2π , 求β ?α 值. sin ? sin ? ? sin α β φ 解 :由 条 件 有 cosα ? cos ? ? cosφ β
α β β 两边平方相加得: 2 ? 2(sin sin ? cosα cos ) ? 1 1 ? cos( ?α ) ? ? β 又0 ? α ?β ? 2 , π 2 2π 4π ?β ?α ? 或 β ?α ? 3 3 2π 4π 同 理 φ ?α ? 或 φ ?α ? 3 3 但0 ? α ?β ? φ ? 2 , π 2π ?β ?α ? . 3
22

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高考题精选
1.(上海理).如果
1 cos ? ? 5

,且 ? 是第

π? ? 2 6 cos ? ? ? ? ? 5 四象限的角,那么 ? 2 ? ________.

?? ? 2.(江西)函数 y ? 4sin ? 2 x ? ? ? 1 ?? ?
的最小正周期为(

? A. ?

B.

?

B



C. 2? D.

4?
23

高考题精选
?? ? f ( x) ? tan ? x ? ?的单调增区间为 3.(全国理)函数 ?? ?

(

D)

? ?? ? A.? k ? ? ,k ? ? ?,k ? Z B. , ?Z k ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? C.? k ? ? ? ,k ? ? ? ?,k ? Z D.k ? ? ? ,k ? ? ? ?,k ? Z ? ? ? ? 1 1 4.(辽宁)已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x, 2 2

(k ?, ????) ?k

则 f ? x ? 的值域是(

D)
C.
? 2? , ? ?1 ? ? 2 ? ?

A.?11? B.? ? , ?
? ?

? 2 , 1? 2 ?

D.

? 2? ?1 , ? ? 2 ? ?
24

高考题精选

8.已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( a , 为常 b x ? R )在 x ? π 处取得最小值,则函数 a 数, ≠0 , 4 ? 3π ? 是( ) y ? f ? ? x?
? 4 ?

C

0? A.偶函数且它的图象关于点 ? π, 对称

? 3π ? ,? 对称 0 B.偶函数且它的图象关于点 ? ? 2 ? C.奇函数且它的图象关于点 ? 3π ,? 对称 0? ? ? 2 ? D.奇函数且它的图象关于点 ? π, 对称 0?
25

06\07年高考题精选
1.(上海理17)求函数 的值域和最小正周期。
π? π? ? ? y ? 2 cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? 3 sin 2 x 4? 4? ? ?

π? ? π? ? 解: y ? 2cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? 3 sin 2 x 4? ? 4? ?

? cos 2x ? 3sin 2x
2 的值域是 ??2,? ,最小正周期是 . ? 函数
26

π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

π

高考题精选
2.(江西)(本小题满分12分) 在 △ ABC 锐角中,角 A B C 所对的边分别 , , 为a b c,已知, A ? 2 2 ,, sin
B?C 2 A (1)求 tan 2 ? sin 2 的值;
2

3

(2)若 a ? 2,△ABC ? 2 ,求 的值(不做). S A ? B ? C ? π, A ? 2 3 2 ,所 sin 解:因为锐角 ABC中, △ 1 ? B?C ? sin 2 ? 以 cos A ? 3 ? B?C A A 2 ? ? tan 2 ? sin 2 ? ? sin 2 则 2 2 2 ? B?C ? cos 2 ? ? . 2 ? ?

b

1 ? cos ? B ? C ? 1 1 ? cos A 1 7 ? ? ?1 ? cos A? ? ? ? 1 ? cos ? B ? C ? 2 1 ? cos A 3 3

27

高考题精选
3.(辽宁)(本小题满分12分) 2 2 已知函数 R, 求 (Ⅰ)函数 f ( x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合;(Ⅱ)函数 f ( x)的单调增区间.

f (x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x,x ?
? sin 2 x ? cos?2 x ? 2
? 2 sin( 2 x ?

解: ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos2 x f

)?2 4 ? ? ? ? (?) f ( x) max ? 2 ? 2,x的集合为?x x ? k? ? , k ? Z ? 8 ? ? 3? ?? ? (?)单调增取间为 k? ? , k? ? ?, k ? Z . ?
? 8 8?
28

高考题精选

, 4.如图,函数 y ? 2sin(πx ? ? ) x ? R π 0 ≤? ≤ 1) (其中 ) 的图象与 y 轴交于点 (0, 2 (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M,N 是图象 ???? ???? ? (全国理) 与 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角.

P

x

y P
N

M

O

x
29

本课小结:由学生先根据 自己所掌握的口述,然后 再由教师总结:

1、三角函数的图象变换
2、三角变换的使用技巧 作业: 略
30

路 漫 漫 其 修 远 兮 祝同学们 学习进步

再 见 !

吾 将 上 下 而 求 索
31


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