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第6讲 直线与圆


第六讲
教学目标

直线和圆

能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个 圆的 方程判断两圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

教学重点 教学难点

直线与圆、圆与圆的位置关系. 数形结合思想方法的应用. 本讲突

出的数学思想方法是数形结合法,坐标法和待定系数法.研究的 主要问题是:1. 能根据给定直线、圆的方程、判断直线与圆、圆与圆的位 置关系;2. 能通过“数”和“形”的结合,充分利用圆的几何性质,优化解题思 路,简化运算过程,提高解题的合理性;3. 能用直线和圆的方程解决一些 简单的问题.本讲学习中需要注意的问题: 1.充分利用圆的相关几何性质,可以优化我们的解题思路,避免冗长的 繁琐运算. 2.本部分内容综合性明显增强,运算量也明显增加,要努力不断提高推 理和运算能力.另外,要注意本部分内容与其他内容的整合,提高分析和综 合的能力,特别是分析和解决实际问题的能力.

教学方法建议

3.学习本部分内容,要多画图,注重数形结合思想和方法的有效落实, 认真体会坐标法并能解决一些简单的实际问题. 本讲的解题策略: 当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径; 求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形;与圆 相交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形; 有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用;在确定点与圆、直 线与圆、圆与圆的位置关系时,经常要用到距离.因此,两点间的距离公式、 点到直线的距离公式等应熟练掌握,灵活运用;使用圆的参数方程在解决有 关最值问题时可以使运算变得简单,要加强对圆的参数方程的理解和应用; 解圆与直线的综合问题时,注意数形结合及利用圆的几何性质. 课堂精讲例题 课堂训练题 (2)道 (2)道 (1)道 课后作业 (10)道 (10)道 (6)道

选材程度及数量

A类 B类 C类

(4)道 (5)道 (3)道

一、知识梳理
1.研究圆与直线的位置关系最常用的方法: ①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系. 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种,若

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0
2.两圆位置关系的判定方法

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设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 ? d . ① d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ② d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ③ r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ④ d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ⑤ 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

3 直线和圆相切:
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① 圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,点 M ( x0 , y0 ) 在⊙ O 上,则过 M 的切线方程为

x0 x ? y0 y ? r 2 .
② 过圆外一点求圆的切线方程,一般用待定系数法解决.

二、例题精讲
【例题 1】 【题目】 :已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上, 则圆 C 的方程为( )

(A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

【难度分级】 : A类 【试题来源】 :北京市 【选题意图】 (对应知识点) :直线与圆相切 【解题思路】 :选择题可用排除法 【解法与答案】 :圆心在 x ? y ? 0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆 心到两直线的距离等于半径 2 即可.选 B 【解析】 :选择题是一类特殊的考查方式,有其自身的解题规律.做选择题,首先要研 究选项,观察共性与区别,确定解题思路;并注意适当应用带入验证法、反例排除法、 数形结合法、特值法等,以使解题过程优化,“小题小做”. 【例题 2】 【题目】 :从圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线,则两切 线夹角的余弦值为( A. )

1 2

B.

3 5

C.

3 2

D. 0

【难度分级】 : A类 【试题来源】 :北京市 【选题意图】 (对应知识点) :切线夹角 【解题思路】 :数形结合运用斜率公式 【解法与答案】 :圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 化成圆的标准方程为
2 2

( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1.其圆心为 M (1,1) ,半径为1 ,
从圆外一点 P(3, 2) 向这个圆作两条切线, 则点 P 到圆心 M 的距离等于 5 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于

1 , 2

1 2 ? 4 ,该角的余弦值等于 3 ,选 B. 所以两切线夹角的正切值为 tan ? ? 1 3 5 1? 4 2?

【解析】 :本题考查了直线与圆的位置关系及三角函数的相关知识,有一定的综合性, 对计算与推理能力也有一定要求.首先,通过配方法把圆的一般方程转化为圆的标准 方程,确定圆心和半径,再利用圆的相关性质和三角函数公式,使问题得到解决.特 别值得注意的是,直线和圆相切,是直线和圆的位置关系中的特殊情况,也是考查的 重点.解决此类问题,要充分利用圆的相关几何性质,数形结合. 【例题 3】 【题目】 : 过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为 (
2 2



A.

3

B .2

.C. 6

D.2 3

【难度分级】 : A类 【试题来源】 :陕西 【选题意图】 (对应知识点) :直线与圆相交 【解题思路】 :弦心距、半径及弦长的一半构成直角三角形 【解法与答案】 :过原点且倾斜角为 60? 的直线方程为 3x ? y ? 0 , 圆 x ? y ? 4 y ? 0 化成标准方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2
2 2

圆心 (0, 2) 到直线 3x ? y ? 0 的距离为

d?

3?0? 2 3 ?1

?1,
2 2

因此,弦长为 2 R ? d ? 2 4 ? 1 ? 2 3 .选 D.

【解析】 :本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离,弦长与半径、弦心距之间

的关系.通过配方,把圆的一般方程转化为圆的标准方程,以确定圆心和半径,是数 形结合解决直线与圆位置关系问题的基础,要熟练掌握配方法,培养数形结合的意识 和思想,提高推理和计算能力,合理应用圆的平面几何性质. 【例题 4】 【题目】 :圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D 内切 )

【难度分级】 : A类 【试题来源】 :重庆 【选题意图】 (对应知识点) :圆与圆的位置关系 【解题思路】 :比较圆心距与两圆半径的和与差的大小关系
2 2 【解法与答案】 :圆 O1 : x ? y ? 2 x ? 0 的圆心为 A(1,0) 半径为 r1 ? 1 ,
2 2 圆 O2 : x ? y ? 4 y ? 0 的圆心为 B(0, 2) ,半径为 r2 ? 2 ,

所以 AB ? 5 . 因为 r2 ? r1 ? 1 ? 5 ? r1 ? r2 ? 3 ,所以两圆相交.选 B.

【解析】 : 本题主要考查圆与圆的位置关系, 方法是比较圆心距与两圆半径的和与差的 大小关系. 【例题 5】 【题目】 :若⊙ O : x ? y ? 5 与⊙ O1 : ( x ? m) 2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,
2 2

且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 【难度分级】 : B类 【试题来源】 :北京 【选题意图】 (对应知识点) :相交弦长 【解题思路】 :运用平面几何知识数形结合解题 【解法与答案】 :

在Rt?OO1 A中, OA ? 5 , O1 A ? 2 5 , ? OO1 ? 5, AC ? ? AB ? 4 5?2 5 ? 2, 5

【解析】 : 本题主要考查对几何图形的观察和应用能力. 对圆的切线的几何性质的准确 理解是问题解决的关键. 【例题 6】 【题目】 :由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长的最小值
2 2

为(

) B. 2 2 C. 7 D.3

A.1

【难度分级】 : B类 【试题来源】 :北京 【选题意图】 (对应知识点) :切线长的最值 【解题思路】 :直角三角形勾股定理的应用 【解法与答案】 :设圆心到直线 y ? x ? 1 的距离为 d , 则切线长的最小值为 d ? r .
2 2

因为 r ? 1 , d ? 所以 d ? r ?
2 2

3 ? 0 ?1 12 ? ( ?1) 2

?2 2,

7 .选 C.

【解析】 : 本题考查点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系. 从圆外一点引圆的

切线,连结该点与圆心的线段、过切线切点的半径及切线长构成直角三角形,满足勾 股定理,该性质是本题解决的关键. 【例题 7】 【题目】 :已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为
2 2

4 5 ,求直线 l 的方程.
【难度分级】 : B类 【试题来源】 :全国 【选题意图】 (对应知识点) :已知弦长求直线方程 【解题思路】 :数形结合 【解法与答案】 :将圆的方程写成标准形式,得 x ? ( y ? 2) ? 25 ,
2 2

所以,圆心坐标是 (0, ?2) ,半径长 r ? 5 . 因为直线 l 被圆所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为

52 ? (

4 5 2 ) ? 5, 2

即圆心到所求直线 l 的距离为 5 . 因为直线 l 过点 M (?3, ?3) ,当直线的斜率不存在时,显然不合题意, 所以可设所求直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 . 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l 的距离 d ?

2 ? 3k ? 3 k 2 ?1



因此,

2 ? 3k ? 3 k ?1
2

? 5 ,即, 3k ? 1 ? 5 ? 5k 2 ,

两边平方,并整理得到 2k 2 ? 3k ? 2 ? 0 ,解得 k ? ?

1 ,或 k ? 2 . 2 1 ( x ? 3) ,或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2

所以,所求直线 l 有两条,它们的方程分别为 y ? 3 ? ?

【解析】 :本题考查了直线与圆的位置关系,具有一定的综合性.解题过程,数形结合 的思想方法得到了较好的体现.合理利用圆的相关性质,使得解题过程合理,运算简化. 【例题 8】 【题目】 :已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P 、 Q 两点,且
2 2

,求该圆的圆心坐标及半径. OP ⊥ OQ ( O 为坐标原点) 【难度分级】 : B类 【试题来源】 :全国 【选题意图】 (对应知识点) :点到线的距离,直线方程 【解题思路】 :合理应用韦达定理,设而不求 【解法与答案】 : 由?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
2 2

消去 x ,得 5 y ? 20 y ? 12 ? m ? 0
2

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设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,则 y1 、 y2 满足条件 y1 ? y2 ? 4, y1 ? y2 ? ∵ OP ⊥ OQ ,∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 而 x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 ,
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12 ? m 5

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∴ x1 x2 ? 9 ? 6( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ?15 ? 4 ? ∴ ?15 ? 4 ?

12 ? m 5

12 ? m 12 ? m ? ?0 5 5 1 ,3) , 2

∴ m ? 3 ,此时△ ? 0 ,圆心坐标为 ( ? 半径 r ?

5 . 2

【解析】 :本题考查了直线和圆的位置关系,要认真体会数形结合及方程思想.在解题 过程中,采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是 否存在,这可由判别式是否大于零帮助考虑,体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定 理的作用,处理 y1 、 y2 与 x1 、 x2 的对称式 ,在解析几何中经常运用韦达定理来简化
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计算,我们要认真总结,灵活应用.

【例题 9】 【题目】 :一个圆和已知圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切,并与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点
2 2

M (3, ? 3) ,求该圆的方程.
【难度分级】 : B类 【试题来源】 :全国 【选题意图】 (对应知识点) :直线与圆,圆与圆的位置关系 【解题思路】 :先设出圆心坐标,再建立方程组 【解法与答案】 : 已知圆 x ? y ? 2 x ? 0 方程化为标准形式为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,其圆心 P(1,0) ,半径
2 2 2 2

为 1. 设所求圆的圆心为 C (a, b) ,则半径为 因为两圆外切,所以 PC ? 1 ? 从而

? a ? 3?
2

2

? b? 3

?

?

2



? a ? 3?
2

? b? 3

?

?

2

, ①

? a ?1?

2

? b2 ? 1 ?

? a ? 3?

? b? 3

?

?

2

又所求圆与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于 M (3, ? 3) , ∴直线 CM ? l , kCM kl ? ?1 ,于是 ? 即 b ? 3a ? 4 3 . 将②代入①化简,得 a 2 ? 4a ? 0 , ∴ a ? 0 ,或 a ? 4 . 当 a ? 0 时, b ? ?4 3 ,所求圆方程为 x 2 ? y ? 4 3
2 2

1 b? 3 ? ? ?1 , 3 a ?3


?

?

2

? 36

当 a ? 4 时, b ? 0 ,所求圆方程为 ( x ? 4) ? y ? 4 .

【解析】 :本题考查了直线与圆及圆与圆的位置关系.我们先设出圆心坐标,再根据已 知条件建立方程组,通过解方程组最终实现问题的解决.解题过程,充分体现了待定 系数的思想方法.另外,解决与圆有关的问题,要数形结合,充分考虑圆的几何性质,

从而使问题求解得到优化. 【例题 10】 【题目】 :已知⊙ O 方程为 x ? y ? 4 ,定点 A(4,0) ,求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆
2 2

圆心的轨迹方程.

【难度分级】 : C类 【试题来源】 :北京 【选题意图】 (对应知识点) :动圆轨迹方程 【解题思路】 :数形结合 【解法与答案】 : 解法一:设动圆圆心为 P( x, y ) ,因为动圆过定点 A ,所以 PA 即动圆半径. 当动圆 P 与⊙ O 外切时, PO ? PA ? 2 ; 当动圆 P 与⊙ O 内切时, PO ? PA ? 2 . 综合这两种情况,得 PO ? PA ? 2 将此关系式坐标化,得
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x2 ? y 2 ? ( x ? 4)2 ? y 2 ? 2 .
化简可得 ( x ? 2) ?
2

y2 ?1 3

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解法二:由解法一可得动点 P 满足几何关系 PO ? PA ? 2 . 即 P 点到两定点 O 、 A 的距离差的绝对值为定值 2 , 所以 P 点轨迹是以 O 、 A 为焦点, 2 为实轴长的双曲线,中心在 OA 中点 (2, 0) , 实半轴长 a ? 1 ,半焦距 c ? 2 ,虚半轴长 b ? 所以轨迹方程为 ( x ? 2) ?
2

c2 ? a2 ? 3 ,

y2 ?1. 3

【解析】 :本题以直线和圆的相关知识为背景,考查满足条件的动点轨迹方程问题.解 题过程,充分体现和应用了坐标法. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几

何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 【例题 11】
2 2 【题目】 :已知圆 C: (x-1) +(y-2) =25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-

4=0(m∈R) . (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 【难度分级】 : C类 【试题来源】 :全国 【选题意图】 (对应知识点) :弦长直线系问题 【解题思路】 :几何和代数知识转换 【解法与答案】 : (1)证明:l 的方程可化为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ∵m∈R,∴ ? ,得 ? ,即 l 恒过定点 A(3,1) . ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1

∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) ,∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. (2)弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-
1 ,∴l 的方程为 2x-y-5=0. 2

【解析】 :本题考查了圆的弦长问题,直线系的知识,进一步考查了参数思想. 解题 关键是抓住图形的几何性质,灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化/推理,达 到合乎逻辑、说理充分、陈述严谨. 【例题 12】 【题目】 :实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 , 求下列各式的最大值和最小值: (1)
y ; (2) 2 x ? y . x?4

【难度分级】 : C类 【试题来源】 :全国 【选题意图】 (对应知识点) :直线与圆的方程的应用 【解题思路】 :几何和代数知识转换 2 为半径的圆. 【解法与答案】 : 原方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 表示以 P(?1,2) 为圆心, (1)设 k ?
y ,几何意义是:圆上点 M ( x, y) 与点 Q(4,0) 连线的斜率. x?4

由图可知当直线 MQ 是圆的切线时, k 取最大值与最小值。

设切线 y ? 0 ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 . 圆心 P 到切线的距离 ∴
| ? k ? 2 ? 4k | k ?1
2

20 ?2, 化简为 21k 2 ? 20k ? 0 , 解得 k ? 0 或 k ? ? . 21

y 20 的最大值为 0,最小值为 ? . x?4 21

(2)设 2x ? y ? m ,几何意义是:直线 2x ? y ? m ? 0 与圆有公共点. ∴ 圆心 P 到直线的距离
| ?2 ? 2 ? m | 22 ? 1

≤2,解得 ?4 ? 2 5 ≤ m ≤ ?4 ? 2 5 .

∴ 2 x ? y 的最大值为 ?4 ? 2 5 ,最小值为 ?4 ? 2 5 . 【解析】 :代数式最大值最小值的研究,常用数形结合思想方法,将要研究的代数问题 转化为几何问题,关键是如何挖掘代数式的特点,利用几何意义进行转化。例如,由代数式

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F 联想到两点的距离公式,或圆的方程;由代数式

y ?b 联想到两点的斜 x?a

率,或直线的方程;由代数式 Ax ? By 联想到直线的方程;由代数式 | x ? a | ? | x ? b | 联想到 数轴上到两点的距离之和,等等。

三、课堂练习
2 2 【练习 1】若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x +y -2x=0 相切,则 a 的值为 2 2 2 2



解:将圆 x +y -2x=0 的方程化为标准式: (x-1) +y =1, 其圆心为(1,0) ,半径为 1,由直线(1+a)x+y+1=0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d ? ∴ a=-1. 【练习 2】求直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 被圆 C : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长.
?2 x ? y ? 2 ? 0 14 4 解: 由题意, 列出方程组 ? , 消 y 得 5x2 ? 14 x ? 4 ? 0 , 得 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? . 2 2 5 5 ( x ? 3) ? y ? 9 ?

|1 ? a ? 1| (1 ? a)2 ? 1

? 1,

设直线 2x ? y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则
14 4 2 145 | AB |? (1 ? k 2 ) | x2 ? x1 |? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (1 ? 22 ) ( )2 ? 4 ? ? . 5 5 5

另解:圆心 C 的坐标是 (3, 0) ,半径长 r ? 3 . 圆心到直线 2x ? y ? 2 ? 0 的距离
d? | 2?3? 0 ? 2 | 5 ? 4 5 . 5

所以,直线 2x ? y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 截得的弦长是
2 r 2 ? d 2 ? 2 32 ? ( 4 5 2 2 145 . ) ? 5 5

【练习 3】若经过点 P(?1, 0) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上的 截距是 .

解:圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ,则圆心 C (?2 ,1) ,半径 r ? 2 . 设过点 P(?1, 0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . ∴ 圆心到切线的距离 d ?
| ?2k ? 1 ? k | k2 ?1 ? r ? 2 ,解得 k ? 1 .

∴ 直线方程为 y ? x ? 1 ,在 y 轴上的截距是 1. 【练习 4】已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 ? 0 ①,圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 ② (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程. 解: (1)∵圆 C1 的圆心为(3,0) ,半径为 r1 ? 15 ,圆 C2 的圆心为(0,2) ,半径为 r2 ? 10 , 又 | C1C2 |? 13 ,∴ | r1 ? r2 | < | C1C2 |? r1 ? r2 , ∴圆 C1 与 C2 相交. (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3x ? 2 y ? 0 . 【练习 5】求圆 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长.
2 2 ? ?x ? y ? 4 ? 0 解:由题意,列出方程组 ? 2 ,消去二次项,得 y ? x ? 2 . 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0

把 y ? x ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 ,得 x2 ? 2x ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 0 , 于是 y1 ? 0, y2 ? 2 ,两圆的交点坐标是 A(?2,0) , B(0, 2) ,所以,公共弦长 | AB |? 2 2 . 另解:由题意,列出方程组
? x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ? ,消去二次项,得 y ? x ? 2 ,它即公共弦所在直线的方程. ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0

圆 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

|0?0? 2| 2

? 2.

所以,两圆的公共线长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 22 ? ( 2)2 ? 2 2

四、课后自我检测题
A 类题(10 道题) :
1.直线 4x-3y-2=0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 的位置关系是( A.相交 2.若直线 B.相切 C.相离 D.以上都不对 ) . ) .

x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1 有公共点,则( a b

A. a2 ? b2 ≤1

B. a2 ? b2 ≥1

C.

1 1 ? ≤1 a 2 b2

D. ) .

1 1 ? ≥1 a 2 b2

3.平行于直线 2x-y+1=0 且与圆 x2+y2=5 相切的直线的方程是( A.2x-y+5=0 C.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x-y-5=0

D.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 ) . D.
3

4.直线 x=2 被圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 4 所截弦长等于 2 3 , 则 a 的值为( A. -1 或-3 B. 2 或 ? 2 C. 1 或 3

5.圆 C1 : ( x ? m)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 与圆 C2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? m)2 ? 4 外切,则 m 的值为( A. 2 B. -5 C. 2 或-5 D. 不确定 ) .

) .

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公共弦所在直线方程为( A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0

D. 2 x ? y ? 0 ) .

7.若圆 x2 ? y 2 ? 8 和圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 ) . D.内切 ) .

D. x ? y ? 2 ? 0

8.圆 x2+y2-2x=0 和 x2+y2+4y=0 的位置关系是( A.相离 B.外切 C.相交

9.实数 x,y 满足方程 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

10.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是( A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能



B 类题(10 道题) :
11.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P (1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 ) D. x ? 3 y ? 2 ? 0

C. x ? 3 y ? 4 ? 0

12.两个圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有且仅有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条
y 的最大值为( x

13.如果实数满足 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,则 A.
3


3 3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

x ? y ? 3 ? 0, 14. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 及直线 l : 已知圆 C: 则直线 l 被 C 截得的弦长为



15.两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 及 x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0 的公共弦所在直线方程 为 . .

2 2 16. 0) B 2) 若经过两点 A (-1, 、 (0, 的直线 l 与圆 (x-1)+ (y-a)=1 相切, 则 a=

2 2 2 2 2 17.集合 A={ (x,y)|x +y =4} ,B={ (x,y)|(x-3) +(y-4) =r } ,其中 r>0,若 A

∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是



18.求直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角.
19.求与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 同心,且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.

20.一直线过点 P(?3, ? ) ,被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方 程.

3 2

C 类题(6 道题) :
2 2 21. 过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切, 若切点在第三象限, 则该直线方程是 (

) .

A. y= 3 x

B. y=- 3 x

C. y=

3 x 3

D. y=-

3 x 3

22.由动点 P 向圆 x2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则动点 P 的轨迹方程为 . .

23.已知直线 2x ? y ? c ? 0 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个公共点,则 c 的取值范围 24.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,求
y?2 的值域. x ?1

25.已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1;③ 圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为
5 . 求该圆的方程. 5

26.求圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 12 y ? 39 ? 0 关于直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的对称圆方程.

五、自我检测题答案
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.C 9.C 10.B 11.D 12.B 13.A 14. 2 2 15.x+y+2=0 16. 4 ? 5 17.3 或 7 18.解:如图所示, 由?
? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0
2 2 ? ?x ? y ? 4

, 消 y 得:x -3x+2=0,

2

∴x1=2,x2=1.

∴ A(2,0) ,B(1, 3 ) . ∴|AB|= (2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 =2. 又|OB|=|OA|=2, ∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB= 60? .

2 2 (x ? 1 ) ? (y ? 2) ?4, 19.解:将方程 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 配方,得

所以所求圆的圆心为(1,-2) . 又∵所求圆与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 相切,∴圆的半径 r ?
2 2 ∴所求圆的方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 . 2 2 20.解: (1)当斜率 k 不存在时, 过点 P 的直线方程为 x ? ?3 , 代入 x ? y ? 25 ,得

2 ?1 ? 2 ? 1
2 22 ? (? 1 )

? 5,

y1 ? 4, y2 ? ?4 .

∴ 弦长为 | y1 ? y2 |? 8 , 符合题意.
3 3 (2)当斜率 k 存在时, 设所求方程为 y ? ? k ( x ? 3) , 即 kx ? y ? 3k ? ? 0 . 2 2

由已知, 弦心距 OM ? 52 ? 42 ? 3 ,



| k ? 0 ? 0 ? 3k ? 3 / 2 | k ?1
2

? 3 , 解得 k ? ? 3 . 4

3 3 所以,此直线方程为 y ? ? ? ? x ? 3? , 即 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 2 4

所以所求直线方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . 21.C 22. x 2 ? y 2 ? 4 23. (? 5, ?2] 24.解:方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 化为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,其几何意义为:以 C (-2,0) 为圆心,1 为半径的圆. 设 将
y?2 ? k ,其几何意义为:圆 C 上的点 P( x, y) 与点 Q(1, 2) 连线的斜率. x ?1 y?2 ? k 变形为 PQ : kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,则 x ?1
| ?2k ? k ? 2 | k 2 ?1 ? 1 ,解得 3 ? 3 ? k ? 3 ? 3 . 4 4

圆心到直线 PQ 的距离 d ? ∴

y?2 3? 3 3? 3 的值域为 [ , ]. x ?1 4 4

25.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 令 x=0,得 y2-2by+b2+a2-r2=0. |y1-y2|= ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2 r 2 ? a 2 =2,得 r2=a2+1
2 2 2 2 令 y=0,得 x -2ax+a +b -r =0,



|x1-x2|= ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 r 2 ? b 2 ? 2r ,得 r2=2b2
2 2 由①、②,得 2b -a =1.



又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为
?2b 2 ? a 2 ? 1 ?a ? 2b ? 1 ?2b 2 ? a 2 ? 1 ?a ? 2b ? ?1

| a ? 2b | 5 5 ? ,得 d= ,即 a-2b=±1. 5 5 5 ?a ? ?1 ? a ? 1 或? . ?b ? ?1 ?b ? 1
2 2 于是 r =2b =2.

综上可得 ?

或?

,解得 ?

2 2 2 2 所求圆的方程为(x+1) +(y+1) =2 或(x-1) +(y-1) =2.

26.解:圆方程可化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 6)2 ? 1 , 圆心 C(-2,6), 半径为 1. 设对称圆圆心为

b?6 ? a?2 ? 4? ?5 ? 0 ?3 ? 2 2 ? ' ‘ 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 C (a, b) ,则 C 与 C 关于直线 对称,因此有 , b?6 3 ? ? ?1 a?2 4

32 ? a? ? ? 5 解得 ? . ?b ? ? 26 ? 5 ?

∴ 所求圆的方程为 ( x ?

32 2 26 ) ? ( y ? )2 ? 1 . 5 5


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