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北师大版高中数学必修4第一章三角函数训练题(含详细答案)


高中数学《必修四》三角函数训练题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.命题 p:α 是第二象限角,命题 q:α 是钝角,则 p 是 q 的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.若角α 满足 sinα cosα <0,cosα -sinα <0,则α 在( ) A.第一象限 B

.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.集合 M={x|x=

)

k? ? k? ? ,k∈Z}与 N={x|x= ,k∈Z}之间的关系是( 2 4 4

)

A.M N B.N M C.M=N D.M∩N= ? 4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角 是( ) A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(2)、(4) 5.设 a<0,角α 的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα +2cosα 的值等于( ) A.

2 5

B.-

2 5

C.

1 5

D.-

1 5
)

6.若 cos(π +α )=-

1 3 , π <α <2π ,则 sin(2π -α )等于( 2 2
B.

A.-

3 2

3 2

C.

1 2

D.±

3 2

7.已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( ) A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 8.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是(

)

2 C.2sin1 sin 1 1 9.如果 sinx+cosx= ,且 0<x<π ,那么 cotx 的值是( 5
A.2 B.

D.sin2 )

1

A.-

4 3

B.-

4 3 或3 4

C.-

3 4

D.

4 3 或3 4

10.已知①1+cosα -sinβ +sinα sinβ =0,②1-cosα -cosβ +sinα cosβ =0.则 sin α 的值为( ) A.

1 ? 10 3

B.

1? 5 3

C.

2 ?1 2

D.

1? 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.tan300°+cot765°的值是_______. 2 2 12.已知 tanα =3,则 sin α -3sinα cosα +4cos α 的值是______.

? ,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 3 1 14.若θ 满足 cosθ >- ,则角θ 的取值集合是______. 2
13.若扇形的中心角为 三、解答题(本题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 8 分) 设一扇形的周长为 C(C>0),当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多 少?

2

16.(本小题满分 10 分) 设 90°<α <180°,角α 的终边上一点为 P(x, 5 ),且 cosα = 求 sinα 与 tanα 的值.

2 x, 4

17.(本小题满分 12 分) 2 已知 sinα 是方程 5x -7x-6=0 的根,求

3 3 sin(?? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? tan2 (2? ? ? ) 2 2 的值. cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos2 (? ? ? ) 2 2

?

?

3

18.(本小题满分 12 分) 已知 sinα +cosα =-

3 5 3 3 ,且|sinα |>|cosα |,求 cos α -sin α 的值. 5

19.(本小题满分 12 分) 已知 sin(5π -α )= 2 cos(

7 π +β )和 3 cos(-α )=2

2 cos(π +β ),

且 0<α <π ,0<β <π ,求α 和β 的值.

4

三角函数训练题(2)参考答案: 1.解析: “钝角”用集合表示为{α |90°<α <180°},令集合为 A; “第二象限角” 用集合表示为{α |k?360°+90°<α <k?360°+180°,k∈Z},令集合为 B.显然 A B. 答案:B 2. 解析: 由 sinα cosα <0 知 sinα 与 cosα 异号; 当 cosα -sinα <0,知 sinα >cos α .故 sinα >0,cosα <0.∴α 在第二象限. 答案:B 3.解法一:通过对 k 的取值,找出 M 与 N 中角 x 的所有的终边进行判断. 解法二:∵M={x|x=

? ?(2k±1),k∈Z},而 2k±1 为奇数,∴M N. 4

答案:A 4.解析:787°=2?360°+67°,-957°=-3?360°+123°. -289°=-1?360°+71°,1711°=4?360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案:C
2 2 5.解析:∵r= (?3a ) ? (4a ) ? ?5a .α 为第四象限.

∴ sin ? ? 答案:A

y 4 x 3 2 ? ? , cos ? ? ? .故 sinα +2cosα = . r 5 r 5 5 1 1 3 ,∴cosα = ,又∵ π <α <2π . 2 2 2

6.解析:∵cos(π +α )=∴sinα =- 1 ? cos 答案:B 7.答案:D 8.解析:∵圆的半径 r= ∴弧度 l=r?α = 答案:B

2

? ??

3 3 .故 sin(2π -α )=-sinα = . 2 2

2 ,α =2 sin 1

2 . sin 1 1 是不够的,还要 5

9.分析:若把 sinx、cosx 看成两个未知数,仅有 sinx+cosx= 利用 sin x+cos x=1 这一恒等式. 解析:∵0<x<π ,且 2sinxcosx=(sinx+cosx) -1=2
2 2 2

24 . 25 7 1 ,结合 sinx+cosx= , 5 5

∴cosx<0.故 sinx-cosx= (sin x ? cos x) ? 4 sin x cos x ?

5

可得 sinx=

4 3 3 ,cosx=- ,故 cotx=- . 5 5 4

答案:C 10.分析:已知条件复杂,但所求很简单,由方程思想,只要由①、②中消去β 即 可. 解析:由已知可得:sinβ =

1 ? cos ? 1 ? cos ? ,cosβ = . 1 ? sin ? 1 ? sin ?
2 2

以上两式平方相加得:2(1+cos α )=1-2sinα +sin α . 即:3sin α -2sinα -3=0.故 sinα =
2

1 ? 10 1 ? 10 或 sinα = (舍). 3 3

答案:A 11 . 解 析 : 原 式 =tan(360 ° -60 ° )+cot (2 ? 360 ° +45 ° )=-tan60 ° +cot45 ° =1- 3 . 答案:1- 3 12.分析:将条件式化为含 sinα 和 cosα 的式子,或者将待求式化为仅含 tanα 的 式子. 2 2 解法一:由 tanα =3 得 sinα =3cosα ,∴1-cos α =9cos α . ∴cos α =
2

1 . 10
2 2 2 2

故原式=(1-cos α )-9cos α +4cos α =1-6cos α = 解法二:∵sin α +cos α =1. ∴原式=
2 2

2 . 5

sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 4 cos2 ? tan2 ? ? 3 tan? ? 4 9 ? 9 ? 4 2 ? ? ? 9 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1
2 5

答案:

13.分析:扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析: 设扇形的圆半径为 R, 其内切圆的半径为 r,则由扇形中心角为 即 R=3r.∴S 扇= 答案:

1 ? 2 3 2 ? 2 α R = R ,S 圆= R .故 S 扇∶S 圆= . 2 2 6 9

? 知: 2r+r=R, 3

3 2

14.分析:对于简单的三角不等式,用三角函数线写出它们的解集,是一种直观有 效的方法.其过程是:一定终边,二定区域;三写表达式.

6

1 ,过 M 作垂直于 x 轴的直线交单位圆于 P1、P2 两点, 2 1 1 则 OP1、OP2 是 cosθ = 时θ 的终边.要 cosθ >- ,M 点该沿 x 轴向哪个方向移动?这是 2 2
解析:先作出余弦线 OM=确定区域的关键.当 M 点向右移动最后到达单位圆与 x 轴正向的交点时,OP1、OP2 也随之 运动, 它们扫过的区域就是角θ 终边所在区域.从而可写出角θ 的集合是{θ |2kπ <θ <2kπ +

2 π 3

2 π ,k∈Z}. 3 2 2 答案:{θ |2kπ - π <θ <2kπ + π ,k∈Z} 3 3
15. 解: 设扇形的中心角为α , 半径为 r,面积为 S, 弧长为 l,则: l+2r=C,即 l=C-2r. ∴S ?

1 1 C C2 lr ? (C ? 2r ) ? r ? ?(r ? ) 2 ? . 2 2 4 16
C C2 时,Smax= , 4 16

故当 r=

l C ? 2r 此时:α = ? ? r r
C2 . 16

C? C 4

C 2 ? 2.

∴当α =2 时,Smax=

16.解:由三角函数的定义得:cosα =

x x ?5
2

,又 cosα =

2 x, 4



x x2 ? 5

?

2 x?x?? 3. 4

由已知可得:x<0,∴x=- 3 .

故 cosα =-

6 10 15 ,sinα = ,tanα =. 4 4 3
2

17.解:∵sinα 是方程 5x -7x-6=0 的根. ∴sinα =-

3 或 sinα =2(舍). 5
7

故 sin α =

2

9 16 9 2 ? tan2α = . ,cos α = 25 16 25

∴原式=

cos? ? (? cos? ) ? tan2 ? 9 ? tan2 ? ? . 2 16 sin ? ? (? sin ? ) ? cot ?

18.分析:对于 sinα +cosα ,sinα -cosα 及 sinα cosα 三个式子,只要已知其中 一个就可以求出另外两个, 因此本题可先求出 sinα cosα ,进而求出 sinα -cosα ,最后 得到所求值. 解:∵sinα +cosα =-

3 5 , 5

9 2 ? sinα cosα = . 5 5 1 2 故(cosα -sinα ) =1-2sinα cosα = . 5
∴两边平方得:1+2sinα cosα = 由 sinα +cosα <0 及 sinα cosα >0 知 sinα <0,cosα <0. 又∵|sinα |>|cosα |,∴-sinα >-cosα cosα -sinα >0. ∴cosα -sinα =

5 . 5
3

因此,cos α -sin α =(cosα -sinα )(1+sinα cosα )=
2 2

3

2 7 5 5 ?(1+ )= . 5 5 25

评注:本题也可将已知式与 sin α +cos α =1 联解,分别求出 sinα 与 cosα 的值, 然后再代入计算. 19.分析:运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中,一般 都是利用平方关系进行消元. 解:由已知得 sinα = 2 sinβ ① ②
2

3 cosα = 2 cosβ
由① +② 得 sin α +3cos α =2. 2 2 即:sin α +3(1-sin α )=2. ∴sin α = 故α =
2 2 2 2

1 2 2 ? sinα =± ,由于 0<α <π ,所以 sinα = . 2 2 2

? 3 或 π. 4 4
8

当α =

? ? 3 时,cosβ = ,又 0<β <π ,∴β = , 4 6 2
3 5 3 π 时,cosβ =,又 0<β <π ,∴β = π . 4 6 2

当α =

综上可得:α =

? ? 3 5 ,β = 或α = π ,β = π . 4 6 4 6

9


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