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2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本:第十二章 复数、算法 第四节 直接证明和间接证明

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第四节

直接证明和间接证明
A 组 基础题组

1.(2016 广东广州调研)若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是( A.ac <bc 2.若 P= A.P>Q 展开( A.(k+3) C.(k+1)
3 3 2 2

)

B.a >ab>b +

2

2

C. < +
3

D. > (a≥0),则 P,Q 的大小关系是(
3 *

,Q= C.P<Q
3

)

B.P=Q )

D.由 a 的取值确定

3.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) (n∈N )能被 9 整除”,利用归纳法假设证明 n=k+1 时,只需 B.(k+2)
3 3 3

D.(k+1) +(k+2)

4.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ B.①②③ ( ) 的大小关系是 . C.③ D.③④⑤ )
2 2

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值 A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 6.已知 a,b,x 均为正数,且 a>b,则 与 是 . + +…+ .
2 3

7. 下 列 条 件 :①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0, 其 中 能 使 + ≥2 成 立 的 条 件 的 个 数 8.用数学归纳法证明不等式 的左边增加的式子是 有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)≤g(x). > (n∈N )的过程中,由“n=k”推导“n=k+1”时,不等式
*

9.已知函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx- x + x ,函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象在交点(0,0)处

10.已知数列{an}满足 a1= ,且 an+1= (1)证明:数列
*

(n∈N ).

*

是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=anan+1(n∈N ),数列{bn}的前 n 项和记为 Tn,证明:Tn< .

B 组 提升题组
11.如果△ A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△ A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是锐角三角形 B.△ A1B1C1 和△ A2B2C2 都是钝角三角形 C.△ A1B1C1 是钝角三角形,△ A2B2C2 是锐角三角形 D.△ A1B1C1 是锐角三角形,△ A2B2C2 是钝角三角形 12.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( A.n+1 13.如果 a Sn= B.2n +b . ,S3=9+3 . >a +b C. D.n +n+1 .
2 2

)

)

,则 a,b 应满足的条件是

14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有(Sn-1) =anSn,通过计算 S1,S2,S3,猜想 15.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn= (n∈N ),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
*

16.已知数列{an}满足 a1=a>2,an= (1)求证:对任意 n∈N ,an>2;
*

(n≥2,n∈N ).

*

(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由; (3)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证:当 a=3 时,Sn<2n+ .

答案全解全析 A 组 基础题组
1.B a -ab=a(a-b), ∵a<b<0,∴a-b<0, ∴a -ab>0, ∴a >ab.① 同理,ab>b ,② 由①②得 a >ab>b . 2.A 假设 P>Q,要证 P>Q,只需证 P >Q ,只需证: 2a+13+2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

>2a+13+2

,

只需证 a +13a+42>a +13a+40, 只需证 42>40, 因为 42>40 成立,所以 P>Q 成立. 3.A 假设 n=k 时 , 原式能被 9 整除 , 即 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除 , 当 n=k+1 时 , 原式
3 3 3 3 3 3 3 3

=(k+1) +(k+2) +(k+3) ,为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3) 展开,让其出现 k 即可. 4.C 若 a= ,b= ,则 a+b>1,但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,但不满足 a,b 中至少有一个大于 1,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,但 a<1,b<1,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,但 a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若 a+b>2,则“a,b 中至少有一个大于 1”成立. 证明(反证法):假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2,与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1.故选 C. 5.A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函 数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 6.答案 解析 ∵ 7.答案 3 解析 要使 + ≥2 成立,则 >0,即 a 与 b 同号,故①③④均能使 + ≥2 成立. 8.答案 解析 不等式的左边增加的式子是 9.解析 (1)f'(x)= 由题意得 ,g'(x)=b-x+x , 解得 a=0,b=1.
2 2 2

> - = >0,∴ > .

+

-

=

.

(2)证明:令 h(x)=f(x)-g(x)

=ln(x+1)- x + x -x(x>-1), 则 h'(x)= -x +x-1=
2

3

2

.

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤0,即 f(x)≤g(x). 10.解析 (1)由已知可得,当 n∈N 时,an+1=
*

, 是首项为 =2,公差为 3 的等差数列,

两边取倒数得,

=

= +3,即 . =

- =3,所以数列

其通项公式为 =2+(n-1)×3=3n-1, 所以数列{an}的通项公式为 an= (2)证明:由(1)知 an= 故 bn=anan+1= = × = 因为 + × = - · · = +…+ × . 故 Tn=b1+b2+…+bn , ,

>0,所以 Tn< .

B 组 提升题组
11.D 由条件知,△ A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△ A1B1C1 是锐角三角形,假设△ A2B2C2 是锐角三角形, 由题意不妨令 cosA1=sinA2,cosB1=sinB2,cosC1=sinC2. 由 得 那么 A2+B2+C2=90°,这与“三角形内角和为 180°”相矛盾. 所以假设不成立,又显然△ A2B2C2 不是直角三角形,所以△ A2B2C2 是钝角三角形. 12.C 1 条直线将平面分成 1+1=2 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直 线 最 多 可 将 平 面 分 成 1+(1+2+3)=7 个 区 域 ;……;n 条 直 线 最 多 可 将 平 面 分 成 1+(1+2+3+…+n)=1+ = 个区域.

13.答案 a≥0,b≥0 且 a≠b 解析 a 14.答案 解析 由(S1-1) = 得 S1= ;由(S2-1) =(S2-S1)S2 得 S2= ;由(S3-1) =(S3-S2)S3 得 S3= .猜想 Sn=
2 2 2

+b

>a

+b

,即(

-

)(

2

+

)>0,需满足 a≥0,b≥0 且 a≠b.

.

15.解析 (1)由于 故 an=2n-1+ ,Sn=n(n+ ). .

∴d=2,

(2)证明:由(1)得 bn= =n+ (q+
2

假 设 数 列 {bn} 中 存 在 三 项 bp 、 bq 、 br(p 、 q 、 r 互 不 相 等 ) 成 等 比 数 列 , 则 ) =(p+
* 2

=bpbr, 即

)(r+

), =0.

∴(q -pr)+(2q-p-r) ∵p,q,r∈N ,∴



=pr,(p-r) =0,∴p=r,与 p≠r 矛盾.

2

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 16.解析 (1)证明:用数学归纳法证明 an>2(n∈N ):
*

①当 n=1 时,a1=a>2,结论成立; ②假设 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak>2,则 n=k+1 时,ak+1= 成立. 故由①②及数学归纳法知对任意 n∈N ,都有 an>2 成立. (2){an}是单调递减的数列.理由如下: 因为 所以 =an+2=-(an-2)(an+1),又 an>2, ,得
* *

>

=2,所以 n=k+1 时,结论

<0,易知 an+1<an.这说明{an}是单调递减的数列. =an+2,所以 -4=an-2.

(3)证明:由 an+1= 根据(1)知 an>2(n∈N ), 所以 = < , 所以 an+1-2< (an-2)< 所以,当 a=3 时,an+1-2< 即 an+1< 当 n≥2 时, Sn=3+a2+a3+…+an<3+ =3+2(n-1)+ =2n+1+ +2. 当 n=1 时,S1=3<2+ ,

(an-1-2)<…< ,

(a1-2).

+

+…+

<2n+ .
*

综上,当 a=3 时,Sn<2n+ (n∈N ).


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