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学案12 导数的概念及运算


第三章 导数及其应用 学案 12 导数的概念及运算

自主梳理 1.函数的平均变化率 一般地,已知函数 y=f(x),x0,x1 是其定义域内不同的两点,记 Δx=x1-x0,Δy=y1- Δy y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),则当 Δx≠0 时,商________________________= 称作函 Δx 数 y=f(x)在

区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])的平均变化率. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 函数 y=f(x)在点 x0 处的瞬时变化率______________通常称为 f(x)在 x=x0 处的导数,并 记作 f′(x0),即______________________________. (2)几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′(x0) 的 几 何 意 义 是 过 曲 线 y = f(x) 上 点 (x0 , f(x0)) 的 ____________. 导函数 y=f′(x)的值域即为__________________. 3.函数 f(x)的导函数 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都是可导的,就说 f(x)在开区间(a,b)内可导, 其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作 f(x)的导函数,记作____________. 4.基本初等函数的导数公式表 原函数 f(x)=C f(x)=xα (α∈Q*) F(x)=sin x F(x)=cos x f(x)=ax (a>0,a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,a≠1,且 x>0) f(x)=ln x 导函数 f′(x)=______ f′(x)=______ (α∈Q*) f′(x)=__________ f′(x)=____________ f′(x)=____________(a>0, a≠1) f′(x)=________ f′(x)=__________(a>0, a≠1, 且 x>0) f′(x)=__________

5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=__________; (2)[f(x)g(x)]′=______________; f?x? ? (3)? ?g?x??′=______________ [g(x)≠0]. 6.复合函数的求导法则:设函数 u=φ(x)在点 x 处有导数 ux′=φ′(x),函数 y=f(u)在 点 x 处的对应点 u 处有导数 yu′=f′(u),则复合函数 y=f(φ(x))在点 x 处有导数,且 y′x= y′u· u′x,或写作 f′x(φ(x))=f′(u)φ′(x).

自我检测 Δy 1. 在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx, 2+Δy), 则 为 ( ) Δx 1 1 A.Δx+ +2 B.Δx- -2 Δx Δx 1 C.Δx+2 D.2+Δx- Δx 2.设 y=x2· ex,则 y′等于 ( ) A.x2ex+2x B.2xex 2 x C.(2x+x )e D.(x+x2)· ex 1 1 3.(2010· 全国Ⅱ)若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的 2 2 面积为 18,则 a 等于 ( ) A.64 B.32 C.16 D.8 -x x 4.(2011· 临汾模拟)若函数 f(x)=e +ae 的导函数是奇函数,并且曲线 y=f(x)的一条切 3 线的斜率是 ,则切点的横坐标是 2 ( ) ln 2 A.- B.-ln 2 2 ln 2 C. D.ln 2 2 π π 5.(2009· 湖北)已知函数 f(x)=f′( )cos x+sin x,则 f( )=________. 4 4

探究点一导数的运算 例 1 求下列函数的导数: 1 ln x (1)y=(1- x)?1+ ?;(2)y= ; x x? ? x (3)y=xe ;(4)y=tan x.

变式迁移 1 求下列函数的导数: ln x (1)y=x2sin x;(2)y=3xex-2x+e;(3)y= 2 . x +1

探究点二 导数的几何意义 例 2 (1) 、[2014· 广东卷] 曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________. b (2) [2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数) x 过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是 ________.

变式迁移 2 求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程.

1.在平均变化率的定义中,自变量的增量 Δx 满足( ) A.Δx>0 B.Δx<0 C.Δx≠0 D.Δx=0 2 2 曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是( A.4 B.5 C.6

) D.7

1 3 3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为 3 2 零的时刻是__________. x3 4.设点 P 是曲线 y= -x2-3x-3 上的一个动点,则以 P 为切点的切线中,斜率取得 3 最小值时的切线方程是__________________. x-1 5、[2014· 山东卷] 设函数 f(x)=aln x+ ,其中 a 为常数. x+1 (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; .


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