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2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷


2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2016 年 7 月 2 日上午 9:30-11:30) 题号 一 9 得分 评卷人 复核人 注意:1.本试卷共 12 小题,满分 150 分;2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 3.书写不要超过装订线; 一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.设 sin x ? cos x ? 4.不得使用计算器. 10

二 11 12 总分

1 3 3 ,则 sin x + cos x = 2
2016

. .

2.设 i 是虚数单位,化简 (i ? 1)

? (i ?1)2016 ?

3.已知等差数列 a1 , a2 ,?, a1000 的前 100 项之和为 100,最后 100 项之和为 1000, 则 a1 = . 个元素,其中 [ x ] 表示不

4.集合 {[ x] ? [2 x] ? [3x] | x ? R} ? {1, 2,?,100} 共有 超过 x 的最大整数.

5.若关于 x 的方程 x = ae 恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,设 O 是正方形 ABCD 的中心, 点 M , N 分别在棱 A 1M = 1D 1 , CC1 上, A

2

x

.

1 2 , CN = ,则四面体 OMNB1 的体积等于 2 3

.

7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点, P 经过 E 的两个焦点, 并且 P 与 E 恰有三个交点,则 E 的离心率等于 .

8.等可能地随机产生一个正整数 x ?{1, 2,?, 2016} ,则 x 在二进 制下的各位数字之和不超过 8 的概率等于 .

二.解答题(第 9-10 题,每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9.已知数列 {an } 满足

a0 = 1, a2 = 5, an =

2 2an - 1 - 3an - 1 - 9 ,n ? 2 . 2an- 2

用数学归纳法证明: an = 2n+1 - 3 . 10. ?ABC 的内切圆与三边相切于 D, E, F .证明: ?ABC 与 ?DEF 相似当且仅当 ?ABC 是正三角形. 11.证明:对任意实数 a, b, c 都有

a 2 ? ab ? b 2 ? a 2 ? ac ? c 2 ? 3a 2 ? (a ? b ? c ) 2 .
并求等号成立的充分必要条件. 12.求满足 1 ? m ? n ? mn 的所有正整数对 (m, n) .
n m


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