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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1函数的平均变化率瞬时速度与导数

时间:2013-11-12


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3.1.1~3.1.2

3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数
【学习要求】
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1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 【学法指导】 导数是研究函数的有力工具,要认真理解平均变化率、 瞬时变化率的概念,可以从物理和几何两种角度理解导 数的意义,深刻体会无限逼近的思想.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.函数的变化率
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定义 平均变 化率

实例

函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 ①平均速度;
f?x2?-f?x1? Δy x2-x1 率为 ,简记作: Δx

②曲线割线 的斜率

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函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化
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瞬时变 化率

率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平 均变化率在 Δx→0 时的极限,即

①瞬时速度: 物体在某一 时刻的速度; ②切线斜率

f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim →0 =lim Δx Δx → Δx
Δx 0

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2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数 函数 y=f(x)在 x=x0 处的 瞬时变化率 称为函数 y=f(x)在
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x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或y′|
f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx lim = Δx→0 Δx→ 0 Δx

x ? x0

,即 f′(x0)=

.

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引言
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某市 2012 年 5 月 30 日最高气温是 33.4℃,而此前的

两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4℃和 18.6℃,短短两天时间,气温“陡增”14.8℃,闷热中的 人们无不感叹:“天气热得太快了!”但是,如果我们将 该市 2012 年 4 月 28 日最高气温 3.5℃和 5 月 28 日最高气 温 18.6℃进行比较,可以发现二者温差为 15.1℃,甚至超 过了 14.8℃,而人们却不会发出上述感慨,这是什么原因 呢?显然原因是前者变化得“太快”,而后者变化得“缓 慢”,那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢?

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探究点一 平均变化率的概念 问题 1 气球膨胀率

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我们都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随
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着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从 数学的角度,如何描述这种现象呢?
答案 气球的半径 r(单位:dm)与体积 V(单位:L)之间的 3 3V 函数关系是 r(V)= 4π ,

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(1)当 V 从 0 增加到 1 L 时, 气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62 (dm), r?1?-r?0? 气球的平均膨胀率为 ≈0.62(dm/L). 1-0 (2)当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增加了 r(2)-
r(1)≈0.16 (dm), r?2?-r?1? 气球的平均膨胀率为 ≈0.16(dm/L). 2-1 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐 变小了.
结论:当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是 r?V2?-r?V1? . V2-V1

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问题 2

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位: m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2
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+6.5t+10. 计算运动员在下列时间段内的平均速度 v ,并思考平均速 度有什么作用? (1)0≤t≤0.5,(2)1≤t≤2.

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答案
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h?0.5?-h?0? (1)在 0≤t≤0.5 这段时间里, v = = 0.5-0

4.05(m/s);
h?2?-h?1? (2)在 1≤t≤2 这段时间里, v = =-8.2(m/s). 2-1
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内 运动的快慢.

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问题 3 什么是平均变化率,平均变化率有何作用?
答案 如果问题中的函数关系用 y=f(x)表示,那么问题中
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f?x2?-f?x1? 的变化率可用式子 表示,我们把这个式子称为函 x2-x1 数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率,平均变化率可以描述一 个函数在某个范围内变化的快慢.

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Δy 问题 4 平均变化率也可以用式子 表示,其中 Δy、Δx 的 Δx Δy 意义是什么? 有什么几何意义? Δx
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答案 Δx 表示 x2-x1 是相对于 x1 的一个“增量”;
Δy 表示 f(x2)-f(x1).Δx、Δy 的值可正可负,Δy 也可以为零,

但 Δx 不能为零.
Δy 观察图象可看出, 表示曲线 y=f(x)上 Δx 两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))连线的斜率.

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例 1 已知函数 f(x)=2x2+3x-5.

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Δy (1)求当 x1=4,且 Δx=1 时,函数增量 Δy 和平均变化率 ; Δx Δy (2)求当 x1=4, Δx=0.1 时, 且 函数增量 Δy 和平均变化率 ; Δx (3)若设 x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.

解 f(x)=2x2+3x-5,
∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)
=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x12+3x1-5)
=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx

=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.

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(1)当 x1=4,Δx=1 时,
Δy=2+(4×4+3)×1=21,
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Δy 21 = 1 =21. Δx

(2)当 x1=4,Δx=0.1 时,
Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92,
Δy 1.92 = =19.2. Δx 0.1

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Δy f?x2?-f?x1? f?5?-f?4? (3)在(1)题中 = = , Δx x2-x1 5-4

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它表示抛物线上点 P1(4,39)与点 P2(5,60)连线的斜率.
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Δy f?x2?-f?x1? f?4.1?-f?4? 在(2)题中, = = , Δx x2-x1 4.1-4
它表示抛物线上点 P1(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率.
小结 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量 Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? (3)得平均变化率 = . Δx x2-x1

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跟踪训练 1

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(1)计算函数 f(x)=x2 从 x=1 到 x=1+Δx 的平

均变化率,其中 Δx 的值为 ①2;②1;③0.1;④0.01.
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(2)思考:当|Δx|越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1+Δx]上 的平均变化率有怎样的变化趋势?
解 (1)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12
=(Δx)2+2Δx,
2 Δy ?Δx? +2Δx ∴ = =Δx+2. Δx Δx Δy ①当 Δx=2 时, =Δx+2=4; Δx Δy ②当 Δx=1 时, =Δx+2=3; Δx

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Δy ③当 Δx=0.1 时, =Δx+2=2.1; Δx Δy ④当 Δx=0.01 时, =Δx+2=2.01. Δx
(2)当|Δx|越来越小时, 函数 f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化 率逐渐变小,并接近于 2.

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探究点二 函数在某点处的导数 问题 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?
答案 不能, 如高台跳水运动员相对于水面的高度 h 与起跳
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时间 t 的函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,
65 h? ?-h?0? 65 49 易知 h( )=h(0), v = =0, 49 65 49-0

而运动员依然是运动状态.

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问题 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态?
答案
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可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动

状态.
如求 t=2 时的瞬时速度, 可考察在 t=2 附近的一个间隔 Δt,

当 Δt 趋近于 0 时,看平均速度 v 的变化趋势,用式子
h?2+Δt?-h?2? lim 表示,这就是物体在 t=2 时的瞬时速度. Δt Δt→0

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结论:函数在某点处的导数: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim =lim , Δx Δx→ 0 Δx→ 0 Δx 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′| x ? x0 ,即 f?x0+Δx?-f?x0? Δy f′(x0)=lim =lim . Δx→ 0 Δx→ 0 Δx Δx

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问题 3 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
答案 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化 率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
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例 2 利用导数的定义求函数 f(x)=-x2+3x 在 x=2 处的导数.
解 由导数的定义知,函数在 x=2 处的导数
f?2+Δx?-f?2? f′(2)=lim , Δx Δx→0

而 f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2) =-(Δx)2-Δx,
-?Δx?2-Δx 于是 f′(2)=lim =lim (-Δx-1)=-1. Δx Δx→0 Δx→0

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小结
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求一个函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下:

(1)求函数值的变化量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)=lim . Δx→ 0 Δx

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跟踪训练 2 求函数 f(x)=3x2-2x 在 x=1 处的导数.

解 Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×12-2×1)
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=3(Δx)2+4Δx,
2 Δy 3?Δx? +4Δx ∴ = =3Δx+4, Δx Δx

Δy ∴y′|x=1=lim =lim (3Δx+4)=4. Δx→0 Δx Δx→0

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例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要 对原油进行冷却和加热.如果第 x h 时, 原油的温度(单位: ℃) 为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2 h 和第 6 h 时,原
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油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解 在第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f′(2) 和 f′(6).
Δy f?2+Δx?-f?2? 根据导数的定义, = Δx Δx

?2+Δx?2-7?2+Δx?+15-?22-7×2+15? = Δx

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4Δx+?Δx?2-7Δx = =Δx-3, Δx
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Δy 所以,f′(2)=lim =lim (Δx-3)=-3. Δx→0 Δx Δx→0
同理可得,f′(6)=5.在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时 变化率分别为-3 与 5.它说明在第 2 h 附近, 原油温度大约以 3 ℃/h 的速率下降;

在第 6 h 附近,原油温度大约以 5 ℃/h 的速率上升.

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小结

(1)本题中,f′(x0)反映了原油温度在时刻 x0 附近的

变化情况.
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(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系: Δy f?x0+Δx?-f?x0? 平均变化率 = ,当 Δx 趋于 0 时,它所趋 Δx Δx 于的一个常数就是函数在 x0 处的瞬时变化率, 即求函数的瞬 时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.另外, 它们都是用来刻画函数变化快慢的,它们的绝对值越大,函 数变化得越快.

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跟踪训练 3

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高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度

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h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)之间的关系式为 h(t) 65 2 =-4.9t +6.5t+10,求运动员在 t= s 时的瞬时速度, 98 并解释此时的运动状况.
65 解 令 t0=98,Δt 为增量.
h?t0+Δt?-h?t0? 则 = Δt
65 ? 65 ? ? 65 ? ? 65 ? ?4.9 ? ? ?? t ? ? 6.5 ? ? ?? t ? ? 10 ? 4.9 ? ? ? ? 6.5 ? ? 10 98 ? 98 ? ? 98 ? ? 98 ? ?t
2 2

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?65 ? -4.9Δt? +Δt?+6.5Δt ?49 ?

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Δt

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?65 ? =-4.9?49+Δt?+6.5, ? ?

h?t0+Δt?-h?t0? ∴lim Δt Δt→0
?65 ? =lim[-4.9?49+Δt?+6.5]=0, Δt→0 ? ?

65 即运动员在 t0=98 s 时的瞬时速度为 0 m/s.

说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处.

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1.在导数的定义中,自变量的增量 Δx 满足 A.Δx<0
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( D )

B.Δx>0 D.Δx≠0
( B )

C.Δx=0

f?x0+h?-f?x0? 2.函数 f(x)在 x0 处可导,则lim h h→0 A.与 x0、h 都有关 B.仅与 x0 有关,而与 h 无关 C.仅与 h 有关,而与 x0 无关 D.与 x0、h 均无关

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3.已知函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ Δy Δx,1+Δy),则 等于 ( C ) Δx
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A.4 C.4+2Δx

B.4x D.4+2(Δx)2

解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-1
=2(Δx)2+4Δx,
Δy ∴ =2Δx+4. Δx

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1 1 - 2. 4.已知函数 f(x)= ,则 f′(1)=________. x
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f?1+Δx?-f?1? 解析 f′(1)=lim =lim →0 Δx Δx Δx→0
=lim → 1 =- . 2 1+Δx?1+ 1+Δx? -1

1 -1 1+Δx Δx

Δx 0

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利用导数定义求导数三步曲:
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(1)求函数的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)取极限,得导数 f′(x0)=lim Δx→ 0 Δx 简记为一差,二比,三趋近.

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Δy 特别提醒 (1)取极限前, 要注意化简 ,保证使 Δx→0 时分 Δx
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母不为 0. (2)函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关,与 Δx 无关. (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛.


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