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2013年数学高考总复习重点精品课件: 空间向量及其运算(理) 60张

时间:2013-03-31


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章

立体几何

第九章

立体几何

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/>
第九章
第六节 空 向 及 运 间 量 其 算 (理)

第九章

立体几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第九章

第六节

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基础梳理导学

第九章

第六节

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重点难点

引领方向

重点:1.空间向量的运算和运算律. 2.共面向量定理和空间向量基本定理. 难点:1.共面向量定理与空间向量基本定理的应用. 2.空间线面位置关系的向量表示.

第九章

第六节

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夯实基础 稳固根基 1.空间向量及其加减与数乘运算 () 在 间 , 有 小 方 的 叫 向 . 向 等 1 空 中具大 和向量做 量 同且 长的有向线段表示同一向量或相等的向量. () 空 向 的 法 减 与 量 乘 算 平 向 对 2 间 量加、 法向数运 是 面量 应算推,面量、及乘所运律满. 运的广平向加减数的有算都足

第九章

第六节

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2. 线 量 共 向 共向与面量 () 如 表 空 向 的 向 段 在 直 1 果示间量有线所的线

互相平行或
(零 量 任 一 向与何

重合,这 向 叫 共 向 或 行 量 则些量做线量平向
个量是线量 向都共向 ).

() 平 于 一 面 向 叫 共 向 . 间 意 个 2 行 同平的 量做面量 空 任两 向 总 共 的 空 三 不 面 量 和 于 这 个 量 是 面 , 间 个 共 向 的 等 以 三 向 量邻的行面的角所示向. 为边平六体对线表的量

第九章

第六节

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() 共 向 定 : 空 任 两 向 3 线 量 理对 间 意 个 量 的要件 充条是 推:果 论如 的 线那 对 一 直 ,么 任 点

a、 ≠0), ∥b b(b a

存在惟一实数 λ, a=λb . 使
l 为过知 经已点 A 且行已非向 平于知零量 a

O, P 在 线 l 上 充 条 是 在 点 直 的要件存 a叫直 做线 l的向 方

→ → 实 t满等 数 足 式 OP=OA+ta, 中 量 其向 向. 量

第九章

第六节

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() 共 向 定 : 果 个 量 4 面量理如两向

a、b 不 线 则 量 共,向

p

与 量 a、b 共 的 要 件 存 唯 的 序 数 向 面充条是在一有实对 使 p= xa+yb . 推 :间 点 论空 一 一有实对 的序数 P位 平 于面

(x、y),

MB 内 充 条 是 在 A 的要件存惟

→ → → (x、y), MP=xMA+yMB. 使

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3. 间 量 解 理 空向分定 如三向 果个量 存惟的序数 在一有实组 c}叫 空 的 个 底 做间一基, 推: 论设 a、b、c 不 面 那 对 间 一 量 共,么空任向 p,

x、 z, p=xa+yb+zc.其 {a, y、 使 中 b, a、b、c 都 做 向 . 叫基量

O、A、B、C 是 共 的 点 则 空 任 不面四,对间一 → → → x、 z, y、 使OP=xOA+yOB+

点 P, 存 惟 的 序 数 都在一有实组 → zOC.

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4. 间 量 数 积 空向的量 () 已 两 非 向 1 知个零量 a,b, 空 任 一 在间取点 → O,作OA= a,b〉 .

→ a,OB=b, ∠A B 叫 a 与 b 的 角 记 〈 则 O 做 夹,作 () 空 向 2 间量 向相. 量同 a、b 的 量 的 义 性 及 算 与 面 数 积 定 ,质 运 律 平

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5. 间 量 直 坐 运 空向的角标算 () 空 向 的 角 标 1 间量直坐 设 i、j、k 是 间 角 标 空直坐系 轴 方 的 位 量对 空 任 向 正 向 单 向 ,于 间 一 量 本理存惟的序数 定,在一有实 +a3k.有 实 组 序数 中坐,为 的标记 O-xyz 中 x 轴 y 轴 z 沿 、 、 a, 空 向 的 由间量基 组(a1,a2,a3),使 a=a1i+a2j O-xyz

(a1, 2, 3)叫 a 在 间 角 标 a a 做 空直坐系 a=(a1,a2,a3).

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对空任点 于间一 有实组 序数 y,z).

A, 应 个 量 对一向

→ OA, 是 在 一 于存惟的

→ x、y、z,使OA=xi+yj+zk, 点 A 的 标 即 坐 为 (x,

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() 向 的 角 标 算 2 量直坐运 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); λa=(λa1,λa2,λa3); a =a1b1+a2b2+a3b3; b · a∥b?a=λb?a1=λb1, 2=λb2, 3=λb3 a a a3 =b (b1、b2、b3 均 为 0). 不 3
第九章 第六节

a1 a2 (λ∈R)或b =b 1 2

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a⊥b?a =0?a1b1+a2b2+a3b3=0. b · 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 → → → AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1);

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() 夹 和 离 式 2 角距公 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则
2 |a|= a = a1+a2+a2; a · 2 3

a1b1+a2b2+a3b3 a b · cs a,b>= o < = 2 2 2 2 2 2. b a |· | a1+a2+a3 b1+b2+b3 在间角标中已 空直坐系,知 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

→ 则|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2.

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疑误 难区

点警 拨示

1. 向 是 个 殊 量 在 决 题 要 别 意 零量一特向,解问时特注零 向,免对向的视误 量避因零量忽致. 2. 间 向 平 与 间 直 平 是 同 , 线 空两量行空两线行不的直平 行 不 许 合 , 两 量 行 它 所 的 线 以 是 允 重 的 而 向 平 , 们 在 直 可 平 行可重. 也以合

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3.当 p、a、b 都 非 向 时 共 向 定 实 上 是零量,面量理际也 是 p、a、b 所 的 条 线 面 充 条 , 用 判 时 在三直共的要件但于定, 还 证 其 一 直 上 一 在 外 直 所 定 平 需 明 中 条 线 有 点 另 两 线 确 的 面 内 .

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4. 别 意 量 数 积 算 实 的 的 别 特注向的量运与数积区 () 两 向 的 量 是 个 数不 向 ,号 1 个 量 数 积 一 实 ,是 量符 由 的号决. 符所定 () 在 数 , 2 实中若 积, 中若 有能 可为 a≠0,且 a· b=0,则 b=0; 是 数 但在量 b=0, 为 中 因其 cs θ o cs θ o

a≠0, a· 且 b=0, 能 出 不推 0, 两 量 直 即向垂时 a· b=0.

() 已 实 3 知数

a、b、c(b≠0),则 ab=bc?a=c, 向 数 在量 a=c.

量 中 a· 积 b=b· c(b≠0)并 一 有 不定

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() 在 实 数 中 , 有 (a· c = a(b· ,但是在向量中 4 b)· c) (a· b)c≠a(b· c). () a、b 同 时 a· |·b|;a 与 b 反 时 a· - |a| b|. 5 向, b=|a| 向, b= |·

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思想方法技巧

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一与面量比习 、平向对学 空 向 是 面 量 拓 ,间 量 概 、质运 间 量 平 向 的 展空 向 的 念性 、 算 运 律 平 向 大 相 或 似 故 学 空 向 及 算 与 面 量 多 同 相 , 在 习 间 量 时应意平向的比提效. ,注与面量类以高率 二平、线共问 、行共、面题 利 向 共 可 解 两 线 行 问 ,可 解 三 用 量 线 以 决 直 平 的 题也 以 决 点 线 问 ,题 表 一 要 共 的 题解 时 述 定 完 本理断点面问, 定判四共的题用 键 明 x+y+z=1 证 .
第九章 第六节

整 确利 空 向 基 准 ;用 间 量 → → → → OP=xOA+yOB+zOC时 关 ,

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考点典例讲练

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空间向量的线性运算

[例 1]

如 ,四 锥 图在 棱

M-AC BD

中底 ,面

AC BD

是边

长为 2 的 方 , 棱 正形侧

AM 的长为 3,且 AM 和 AB、AD 的 → → → a=AB,b=AD,c=AM,

夹角都是 60° 是 CM 的 点 设 ,N 中,

→ 试以 a、b、c 为基向量表示出向量BN,并求 BN 的长.

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→ → → → 1→ 解析:∵BN=BC+CN=AD+2CM → 1 → → → 1 → → → =AD+2(AM-AC)=AD+2[AM-(AD+AB)] 1→ 1 → 1 → =-2AB+2AD+2AM, 1 1 1 → ∴BN=- a+ b+ c, 2 2 2 1 1 1 2 → 2 →2 |BN| =BN =(-2a+2b+2c)

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第六节

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1 2 2 2 1 7 = (a +b +c -2a· b-2a· c+2b· c)= , 4 4 1 7 → ∴|BN|= , BN 的 为 即 长 2 1 7 . 2

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点评:用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,正确 使用向量加法的平行四边形法则和向量加、 减运算的三角形法 则,以图形指导寻找解题途径.

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如,间边 图空四形

OB AC

→ → → 中 OA=a,OB=b,OC=c,点 , )

→ M 在 OA 上 且 OM=2MA,N 为 BC 中 , , 点 则 MN等 ( 于

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1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 2 1 1 B.-3a+2b+2c 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 2 2 1 D.3a+3b-2c

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2→ → → → 1 → → 解 : MN=ON-OM=2(OB+OC)-3OA 析 1 2 2 1 1 =2(b+c)-3a=-3a+2b+2c. 故选 B.

答: B 案

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点评: 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似, 要结 合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则.

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空间向量基本定理

[例 2]

已知 A、B、C 三 不 线 对 面 点共,平

ABC 外的任

→ 1 → → → 一点 O,若点 M 满足OM= (OA+OB+OC). 3 → → → () 判断MA、MB、MC三 向 是 共 ; 1 个量否面 () 判断点 M 是 在 面 2 否平 ABC 内.

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→ → 分析:) 判断三向量平面, ( 1 即寻找实数 x、 使MA=xMB y, → → → → +yMC,为此将条件式变形产生MA、MB、MC即可; () 判断点 M 在平面 AC 内,即证四点 A、B、C、M 共 2 B 面,由() 立得. 1

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→ → → → 解析:() 由已知OA+OB+OC=3OM, 1 → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA、MB、MC共面. → → → () 由() 知,MA,MB,MC共面且过同一点 M,∴四点 M、 2 1 A、B、C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内.

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点 : 应 共 向 定 、面 量 理 明 评 用 线 量 理共 向 定 证 点 共方的别联 面法区与系 三 P,A,B 共 点 线 空四 间点 → → PA=λPB 对间一 空任点 O,

共、 线点

P,A,B,C 共 面

→ → → PC=xPA+yPB 对间一 空任点 O,

→ → → OP=xOA+tAB

→ → → → OP=OC+xPA+yPB

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第六节

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三 P,A,B 共 点 线 对意一 任任点

空四 间点

P,A,B,C 共 面 → → O, =xOA+ OP

→ O,OP= 对 间 一 空任点

→ → xOA+yOB且 x+y=1

→ → yOB+zOC, x+y+z=1 且

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(01 21·

上调 饶 研 )已 E、F、G、H 分 是 间 边 知 别空四形

AC BD

的 AB、BC、CD、DA 的 点 边 中.

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() 求证:E、F、G、H 四点共面; 1 () 求证:BD∥平面 EG ; 2 FH () 求证:EG 和 FH 相 , 交 为 3 交设点 → 1 → → → → O,有OM= (OA+OB+OC+OD). 4 M, 对 间 一 则空任点

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→ → → 证明:() EG=EB+BG 1 → 1 → → =EB+2(BC+BD)

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→ → → =EB+BF+EH → → =EF+EH. 由共面向量定理的推论知: E、F、G、H 四点共面.

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→ → → () 因为EH=AH-AE 2 1 → 1→ 1 → → =2AD-2AB=2(AD-AB) 1→ =2BD, 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EG ,BD?平面 EG , FH FH 所以 BD∥平面 EG . FH

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→ 1→ → 1→ () 由() 知EH=2BD,同理FG=2BD, 3 2 → → 所以EH=FG,即 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG、FH 交于一点 M 且被 M 平分. 1→ 1 → → 1 → → 故OM= (OE+OG)= OE+ OG 2 2 2 11 → → 11 → → =2[2(OA+OB)]+2[2(OC+OD)] 1 → → → → =4(OA+OB+OC+OD).
第九章 第六节

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数量积及其应用
[例 3] 如 所,四 锥 图示在 棱 M-AC BD 中底 ,面 AC BD

是边长为 a 的 方 , 棱 正 形侧

AM 的长为 b,且 AM 和 AB,AD

的夹角都等于 60° ,N 是 CM 的中点.

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→ → → → () 以AB、AD、AM为基向量表示出向量CM, 求 CM 的 1 并 长; () 求 BN 的长. 2

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→ → → 解析:() CM=AM-AC 1 → → → → → → =AM-(AB+AD)=AM-AB-AD, → 2 → → → 2 |CM| =(AM-AB-AD) → 2 →2 → 2 → → → → → → =AM +AB +AD -2AM· -2AM· +2AB· AB AD AD =b2+a2+a2-2bacs0 o° 6 =2a2-2ab+b2. → ∴CM=|CM|= 2a2-2ab+b2. -2bacs0 o° 6 +2a2cs0 o° 9

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→ → → → 1 → → → () BN=BC+CN=BC+ (AM-AB-AD) 2 2 1 → → → =2(AM-AB+AD), → 2 1 → 2 →2 →2 → → → → ∴ | BN | = ( AM + AB + AD - 2 AM · + 2 AM · - AB AD 4 1 2 → → 2AB· )=4(2a +b2) AD → 1 ∴BN=|BN|=2 2a2+b2.

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在四面体 S-ABC 中 若 SA⊥BC,SB⊥AC, 证 SC⊥AB. , 试 分析:可通过证明两直线的方向向量的数量积为 0, 证 来明 两直线垂直.

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→ → → 证明:如 , 图 取 SA=a,SB=b,SC=c, 已 由知 SB⊥AC,

SA⊥BC,

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?a· ? ?c-b?=0, 即? ?b· . ? ?c-a?=0

① ②

②-①得 c· (b-a)=0,则 SC⊥AB.

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.已知 a=(λ+1,0,2),b=(2 μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 6 , 与 μ 的值可以是( 1 A.2, 2 C.-3,2
[答案] A

) 1 1 B.- , 3 2 D.2,2

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[解析]

?λ+1=6k, ? ∵a∥b,∴?0=?2μ-1?k, ?2=2λ· k. ?

?λ=2, ?λ=-3, ? ? ∴? 或? 故选 A. 1 1 ?μ=2, ?μ=2. ? ?

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2.(01 21·

莆田中学期末)已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4, λ 等于( )

-2), 7 , 若 a、 c 三 量 面 则 数 c=(5 , λ), b、 向 共 , 实 62 A. 7 64 C. 7 63 B 7 . 65 D. 7

[答案]

D

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[解析]

∵a、b、c 三向量共面,a,b 不共线,

∴存在实数 m、n 使 c=ma+nb, 即(5 ,λ)=(2m-n,-m+4n,3m-2n), 7 , ?2m-n=7, ? ∴?-m+4n=5, ?λ=3m-2n. ? 65 ∴λ= . 7

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二、解答题 3.(02 21· C(1,-1,5). → → () 求以AB、AC为 的 行 边 的 积 1 边平四形面; → → () 若|a|= 3且 a 分别与AB、AC垂直,求向量 a 的坐标. 2 福模 州 拟 )已 空 三 知间点 A(2) 0, ,3 ,B(-2,1,6),

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[解析]

→ → AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2).

→ → AB· AC → → () 因为 cs 〈AB,AC〉= 1 o → → |AB||AC| -2+3+6 1 = =2. 4+1+9 1+9+4 3 → → 所以 s 〈AB,AC〉= 2 . n i → → 所以 S=|AB||ACs n i | → → 〈AB,AC〉=7 3.

→ → 即以AB、AC为边的平行四边形面积为 7 3.

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→ → () 设 a=(x,y,z),由|a|= 3,a⊥AB,a⊥AC可得, 2 ?x2+y2+z2=3, ? ?-2x-y+3z=0, ?x-3y+2z=0, ? ?x=1, ? ??y=1, ?z=1, ? 所以 a=(,,) 1 1 1 ?x=-1, ? 或?y=-1, ?z=-1. ? 或(-1,-1,-1).

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课后强化作业(点此链接)

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