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江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:立体几何(含答案)


江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 立体几何
一、填空题 1、(2014 年江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧 面积相等,

S1 9 V ? ,则 1 ? S2 4 V2

▲ .

2、(2013 年江苏高考)如图,在三棱柱 A1 B1

C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA 1的 中 点 , 设 三 棱 锥 F ? A D E 的 体 积 为 V1 , 三 棱 柱 A1 B1C1 ? ABC 的 体 积 为 V2 , 则

V1 : V2 ?



3、(2012 年江苏高考)如图,在长方体 ABCD ?ABC D 1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱 1 1 1 锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

4、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥 的高是 ▲ 5、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)如图,各条棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M ? AB1C 的
1 南京清江花苑严老师

体积为 ▲

6、(2015 届江苏苏州高三 9 月调研)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积 分别记为 S1 、 S 2 , 则有 S1 : S2 ? ▲

7、 (南京市 2014 届高三第三次模拟) 已知 m, n 是不重合的两条直线, α, β 是不重合的两个平面. 下 列命题: ① 若 α⊥ β,m⊥α,则 m∥β; ③ 若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α; ②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ④ 若 m∥α,m?β,则 α∥β.

其中所有真命题的序号是 ▲ 8、(苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二))已知△ABC 为等腰直角三角形,斜边 BC 上的中 线 AD = 2,将△ABC 沿 AD 折成 60° 的二面角,连结 BC,则三棱锥 C ? ABD 的体积为 ▲ 9、(徐州市 2014 届高三第三次模拟)已知圆柱的底面半径为 1,母线长与底面的直径相等,则该 圆柱的表面积为 ▲ 10、 (南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))表面积为 12π 的圆柱,当其体积最大时, 该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ 二、解答题 1、(2014 年江苏高考)如图,在三棱锥 P ⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点。已知 PA

2 南京清江花苑严老师

求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 2、 (2013 年江苏高考) 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 平面 SAB ? 平面 SBC ,AB ? BC ,AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

E 分别是棱 BC , CC 1 上 3、(2012 年江苏高考)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. 的点(点 D 不同于点 C ),且 AD ? DE ,
求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

3 南京清江花苑严老师

4、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研)如图,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,CC1 → → =5,E 是棱 CC1 上不同于端点的点,且 CE =λCC1. (1) 当∠BEA1 为钝角时,求实数 λ 的取值范围; 2 (2) 若 λ= ,记二面角 B1-A1B-E 的的大小为 θ,求|cosθ|. 5
D1 A1 B1 C1

E D

C B

A

(第 22 题图)

5、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,
PA ? CD .

(1)求证:直线 AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 PCD .

P

D

C

AP-ABCD B= 2,点 M,N 分 ( 第 16 题 PA ) =AB 6、(南京市 2014 届高三第三次模拟)如图,在正四棱锥 中, 1 别在线段 PA 和 BD 上,BN= BD. 3 P 1 (1)若 PM= PA,求证:MN⊥AD; 3 π (2)若二面角 M-BD-A 的大小为 ,求线段 MN 的长度. 4


D A

C N · B (第 22 题图)

4 南京清江花苑严老师

7、(南通市 2014 届高三第三次调研)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,DE⊥ 平面 ABCD. (1)求证:AB∥EF; (2)求证:平面 BCF⊥平面 CDEF.

8、(苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二)) 如图, 在空间直角坐标系 A ? xyz 中, 已知斜四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为 3 的正方形, 点 B,D,B1 分别在 x,y,z 轴上,B1A = 3,P 是侧棱 B1B 上的一点,BP = 2PB1 . (1)写出点 C1,P,D1 的坐标; (2)设直线 C1E⊥平面 D1PC,E 在平面 ABCD 内, 求点 E 的坐标.
P y A x B C D z B1 A1 D1 C1

9、(徐州市 2014 届高三第三次模拟) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 CA ? CB ? 1 , AA1 ? 2 , ?BCA ? 90o . (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值; (2)求二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值. A1 C1 B1

C A
(第 22 题图)

B

5 南京清江花苑严老师

10、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模)) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB⊥平面 ABCD,PA⊥PB, BP=BC,E 为 PC 的中点. (1)求证:AP∥平面 BDE; (2)求证:BE⊥平面 PAC.
E A D P

B (第 15 题图)

C

参考答案
一、填空题

3 1\、 2

2、

V三棱锥F ? ADE V棱柱ABC? A1B2C1
5、

1 Sh V1 3 1 1 1 S1 h1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? V2 Sh 3 S h 3 4 2 24
1 10、 2

3、6

4、 3

2 3 3

6、3:2

7、②

8、

9、

二、解答题 1、(1)∵D,E,分别为 PC,AC,的中点 ∴DE∥PA 又∵DE

? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC

∴直线 PA∥平面 DEF (2)∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点,且 BC=8,由中位线知 EF=4 ∵D,E,分别为 PC,AC,的中点,且 PA=6,由中位线知 DE=3,又∵DF=5 ∴DF?=EF?+DE?=25,∴DE⊥EF,又∵DE∥PA,∴PA⊥EF,又∵PA⊥AC,又∵AC AC

?

EF=E,

? 平面 ABC,EF ? 平面 ABC,∴PA⊥平面 ABC,∴DE⊥平面 ABC,∵DE ? 平面 BDE,∴

平面 BDE⊥平面 ABC 2、证明:(1)∵ AS ? AB , AF ? SB ∴F 分别是 SB 的中点 ∵E.F 分别是 SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC ∴EF∥平面 ABC 同理:FG∥平面 ABC 又∵EF ? FG=F, EF.FG ? 平面 ABC∴平面 EFG // 平面 ABC (2)∵平面 SAB ? 平面 SBC 平面 SAB ? 平面 SBC =BC
6 南京清江花苑严老师

AF ? 平面 SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面 SBC 又∵BC ? 平面 SBC ∴AF⊥BC 又∵ AB ? BC , AB ? AF=A, AB.AF ? 平面 SAB ∴BC⊥平面 SAB 又∵SA ? 平面 SAB∴BC⊥SA 3、证明:(1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。 又∵ AD ? DE , CC1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1

DE ? E ,∴ AD ? 平面

BCC1 B1 。
又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 又∵ CC1,

B1C1 ? C1 ,∴ A1F ? 平面 A1 B1C1 。

由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 4、解:(1)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设,知 B(2,3,0),A1(2,0,5),C(0,3,0),C1(0,3,5).

→ → 因为 CE =λCC1,所以 E(0,3,5λ). → → 从而 EB =(2,0,-5λ),EA1=(2,-3,5-5λ).…… 2 分 当∠BEA1 为钝角时,cos∠BEA1<0, → → 所以 EB ·EA1<0,即 2×2-5λ(5-5λ)<0, 1 4 解得 <λ< . 5 5
7 南京清江花苑严老师

1 4 即实数 λ 的取值范围是( , ). 5 5

…………………………………… 5 分

2 → → (2)当 λ= 时, EB =(2,0,-2),EA1=(2,-3,3). 5 设平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(x,y,z),

? ?n1·→ EB =0, 由? → ?n1·EA1=0 ?

?2x-2z=0, 得? ?2x-3y+3z=0,

5 取 x=1,得 y= ,z=1, 3 5 所以平面 BEA1 的一个法向量为 n1=(1, ,1). ………………………………… 7 分 3 易知,平面 BA1B1 的一个法向量为 n2=(1,0,0). n1·n2 1 3 43 因为 cos< n1,n2>= = = , | n1|·| n2| 43 43 9 3 43 . …………………………………… 10 分 43 5、(1)证明:∵ ABCD 为矩形,∴ AB // CD . ………………………………………………2 分 从而|cosθ|= 又 DC ? 面 PDC , AB ? 面 PDC ,……………………………………………………4 分 ∴ AB // 面 PDC . ……………………………………………………………………7 分 ……………………………………………9 分 (2)证明: ∵ ABCD 为矩形, ∴ CD ? AD , 又 PA ? CD, PA

AD ? A , PA, AD ? 平面 PAD ,

∴ CD ? 平面 PAD . …………………………………………………………………11 分 又 CD ? 面 PDC ,∴面 PAD ? 面 PCD . ………………………………………14 分

6、证明:连接 AC,BD 交于点 O,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴建立 空间直角坐标系. 因为 PA=AB= 2,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1). 1 1 2 → 1→ → 1→ (1)由 BN = BD ,得 N(0, ,0),由 PM = PA ,得 M( ,0, ), 3 3 3 3 3 1 1 2 → → 所以 MN =(- , ,- ), AD =(-1,-1,0). 3 3 3 → → 因为 MN · AD =0.所以 MN⊥AD. ………………………………………4 分

→ → (2)因为 M 在 PA 上,可设 PM =λ PA ,得 M(λ,0,1-λ). → → 所以 BM =(λ,-1,1-λ), BD =(0,-2,0). 设平面 MBD 的法向量 n=(x,y,z),
8 南京清江花苑严老师

? ?n· → BD =0, ?-2y=0, 由? 得? → ?λx-y+(1-λ)z=0, ? ?n· BM =0,
其中一组解为 x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取 n=(λ-1,0,λ).………………………8 分 → 因为平面 ABD 的法向量为 OP =(0,0,1), → π n· OP 2 λ 1 所以 cos = ,即 = 2 2,解得 λ=2, 4 2 → (λ-1) +λ |n|| OP |

|

|

1 1 1 从而 M( ,0, ),N(0, ,0), 2 2 3 所以 MN= 1 1 1 22 ( -0)2+(0- )2+( -0)2= . 2 3 2 6 ……………………………10 分

7、【证】(1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AB∥CD, 因为 AB ? 平面 CDEF, CD ? 平面 CDEF, 所以 AB∥平面 CDEF.……………………… 4 分 因为 AB ? 平面 ABFE,平面 ABFE 所以 AB∥EF. (2)因为 DE⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD, 所以 DE⊥BC. 因为 BC⊥CD, CD
DE ? D , CD, DE ? 平面 CDEF,

平面 CDEF ? EF , …………………………… 7 分

…………………………… 9 分

所以 BC⊥平面 CDEF. 因为 BC ? 平面 BCF,平面 BCF⊥平面 CDEF. 8、

…………………………… 12 分 …………………………… 14 分

9 南京清江花苑严老师

9、如图,以 CA, CB, CC1 为正交基底,建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A1 (1,0, 2) , B1 (0,1, 2) ,所以 CB1 ? (0,1,2) , AB ? (?1,1,0) ,

?

?

AB1 ? (?1,1,2) , BA1 ? (1, ?1,2) .
30 ? ? (1)因为 cos CB1 , BA1 ? , 10 6? 5 CB1 BA1
30 . 10 …………………………4 分 (2)设平面 CAB1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为

z

CB1 ? BA1

C1

3

B1

A1

C

B

? ?? x ? y ? 2 z ? 0, ? m ? AB1 ? 0, 则? 即? ? y ? 2 z ? 0, ? ? m ? CB1 ? 0, 取平面 CAB1 的一个法向量为 m ? (0, 2, ?1) ;

x

A

y

(第 22 题图)

10 南京清江花苑严老师

所以二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值为 10、证:(1)设 AC∩BD=O,连结 OE.

10 . 5

…………………………10 分

因为 ABCD 为矩形,所以 O 是 AC 的中点. 因为 E 是 PC 中点,所以 OE∥AP. 因为 AP? / 平面 BDE,OE?平面 BDE, 所以 AP∥平面 BDE. …………………………6 分 ………………………………4 分

(2)因为平面 PAB⊥平面 ABCD,BC⊥AB,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 PAB. 因为 AP?平面 PAB,所以 BC⊥PA. 因为 PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PB?平面 PBC, 所以 PA⊥平面 PBC. 因为 BE?平面 PBC,所以 PA⊥BE. 因为 BP=PC,且 E 为 PC 中点,所以 BE⊥PC. 因为 PA∩PC=P,PA,PC?平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. ……………………………14 分 …………………………12 分 ………………………8 分

11 南京清江花苑严老师


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