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2014福建省高三(文科)数学模拟试卷3


2014 福建省高三文科数学综合测试
(总分 150 分,考试时间 120 分钟) 附:方差公式: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

? ( xn ? x) 2 ]

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

x 1.已知集合

M ? ? x | x ? 1? , N ? x | 2 ? 1 ,则 M

?

?

N=
D. ?x | 0 ? x ? 1 ?

A. ? 2. 复数

B. ?x | x ? 0?

C. ? x | x ? 1 ?

7 9 3.右图是 2008 年 A 市举办“我看 A 市改革开放三十年”演讲比赛大赛上,七位评 委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据 8 44467 9 3 的平均数和方差分别为 A.5;1.6 B.85;1.6 C.85;0.4 D.5;0.4
4.如图, 共顶点的椭圆① ,② 与双曲线③ ,④ 的离心率分别 为 e1 , e2 , e3 , e4 ,其大小关系为 A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3 B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 D. e2 ? e1 ? e4 ? e3


5 的共轭复数为 1 ? 2i 5 10 5 10 i A.- ? i B.- ? 3 3 3 3

C.1-2i

D.1+2i

5.已知 a ? ?? 3,1?, b ? ?1,?2? ,若 ? 2a ? b ∥ a ? k b ,则实 数 k 的值是 A. -17 B. ?

?

? ?
D.

?

② ③ ④

6.已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两条不重合的直线,m、n,有下列四个命题 ① 若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? ③ 若 m ? ? , m // n, n ? ? , 则? ? ? 其中正确命题的个数是 A.1 个 B.2 个
2 2

1 2

C.

19 18

5 3

② 若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ④ 若 m // ? ,? ? ? ? n, , 则m // n C .3 个 D.4 个

7.圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 上的动点 P 到直线 x ? y ? 0 的最小距离为 A.1 C. B. 2 2 ? 1

2

D. 2 2

8. 电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数

I ? A sin(?t ? ? ) ,( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?
的图象如右图所示,则当 t ?

?
2

)

1 秒时,电流强度是 100

高三下综合测试一第 1 页共 12 页

A. ? 5 安
3

B. 5 安

C. 5 3 安

D. 10 安

9.设 f ( x) ? x ? x ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 10.若定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? ,且当 x ? ?0,1? 时, f ?x ? ? x, ,则函 数 y ? f ?x? ? log3 x 的零点个数是 A.多于 4 个 B.4 个 C.3 个 11.右图是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的 D.2 个

8 4 4 6 8 6 8 8 4 6 8 6 4
(第 11 题)

4

6

A. B. C. D. 12.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一 个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 “正交线面对”的个数 是 A.48 B. 18 C. 24 D.36

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13. 在由正数组成的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? a4 ? 4, 则 a5 ? a6 ? ___ 14. 右边框图表示的程序所输出的结果是________ . 15. 下列四个命题中 ①?x ? R, 2 x2 ? x ? 1 ? 0 ;② “ x ? 1 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 3 ”的 充要条件;③ 函数 y ?

x2 ? 2 ?

1 x2 ? 2

的最小值为 2 .

其中假命题 的为_________(将你认为是假命题 的序号都填上) ... ... 16.如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O ,对于平面上任意 一点 M ,若 p, q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非 负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标”,根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的个数是________. 三、解答题: (第 17~21 题每小题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分) 17. (本题满分 12 分)
O l1 l2

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x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2 ⑴ 将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?[0, 2? )) 的形式,并指出 f ( x) 的最小正周期; 17? ] 上的最大值和最小值 ⑵ 求函数 f ( x )在[? , 12
已知函数 f ( x) ? sin

18、(本题满分 12 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,问: ⑴ 两数之和为 8 的概率; ⑵ 两数之积是 6 的倍数的概率。 ⑶以第一次向上点数为横坐标 x ,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ( x , y ) 在圆

x2 ? y 2 ? 25 的内部的概率。

19.(本题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 , 且 b2 S2 ? 24, b3 S3 ? 135 . ⑴求 an 与 bn ; ⑵求和:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

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20.(本题满分 12 分) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设 计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为

y2 x2 ? ? 1 ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线) 100 25 64 ? ? 后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、 M ? 0, ? 为顶点的抛 7 ? ? 物 线 的 实 线 部 分 , 降 落 点 为 D( 8, 0 ) . 观 测 点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. ⑴ 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; ⑵ 试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A 、 B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令?

21. (本题满分 12 分) 一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是边长为 a 的正方形,左视图是直角 边长为 a 的等腰三角形)如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是线段 DF 上的一动点. ⑴求证: GN ? AC; ⑵求三棱锥 F ? MCE 的体积; ⑶ 当 G 在 何处 时 , AG // 平 面 FMC.
主视图 a 左视图
F E

G

D

C N

a a

俯视图
A M

B

22. (本题满分 14 分) 2 x 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) =( x - 2ax ) e ⑴若 a ? 1 ,当 x 为何值时, f ( x) 取得最小值?证明你的结论; ⑵设 f ( x) 在[-1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

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高三下文科数学综合测试答题卷
班级 姓名 座号

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 号 答 案 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13. 14. 15.

6

7

8

9

10

11

12

16.

三、解答题: (共 6 个小题,共 74 分) 17.(12 分)

18. (12 分)

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19. (12 分)

20. (12 分)

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21. (12 分)

F

E

G

D N A M B

C

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22. (14 分)

高三下综合测试一第 8 页共 12 页

高三下文科数学综合测试参考答案
-、选择题: 1~12 DDBCB CBAAB AD 12. 解析:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对”; 而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正 交线面对”,所以共有 36 个“正交线面对”; 二、填空题: 13.16;14.360;15.②③;16. 4 三、解答题 17. 本小题主要考查三角函数的恒等变换、 周期性、 单调性和最值等基本知识和运算能力. (满分 12 分) 解:(Ⅰ )f(x)=

1 1 ? cos x 1 3 2 ? 3 sinx+ ? 2 ? (sin x ? cos x) ? ? sin(x ? ) ? . 2 2 2 2 2 4 2

故 f(x)的最小正周期为 π

5? 17 5 ? 5 2 ? 3 π,得 ? ? x ? ? ? .因为 f(x)= ] sin(x ? ) ? 在[ ? , 4 12 4 4 3 2 4 2 5? 17? , 上是减函数,在[ ]上是增函数. 4 12 5? 3? 2 故当 x= 时,f(x)有最小值- ; 4 2 17 6? 6 而 f(π)=-2,f( π)=- <-2, 12 4
(Ⅱ )由 π≤x≤ 所以当 x=π 时,f(x)有最大值-2. 18、 (本小题满分 12 分) ⑴ 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件-----------1 分 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件, 所以 P(A)=

5 ; 36 5 。--------------------------------------- 4 分 36

答:两数之和为 6 的概率为

⑵ 记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 C, 则事件 C 中含有其中的 15 个等可能基本事件, 所以 P(C)=

15 5 ? , 36 12

答:两数之积是 6 的倍数的概率为

5 。-------------------------------8 分 12

⑶ 基本事件总数为 36,点(x,y) ,在圆 x2+y2=25 的内部记为事件 D, 则 D 包含 13 个事件, 所以 P(D)=

13 。 36

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13 。----------------------12 分 36 19. (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,
答:点(x,y)在圆 x2+y2=25 的内部的概率

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
依题意有 ?

? S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 135

? S2b2 ? (6 ? d )q ? 24 6 解得 d ? 2 或 d ? ? …………………………………………4 分 5 6 数列 {an } 的各项均为正数,所以 d ? ? (舍去) 5 ?d ? 2 解得 ? , ?q ? 3 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ,……………………6 分

,q ?

24 d ?6

代入②式得 5d ? 4d ? 12 ? 0
2

bn ? 3n?1 ……………………………8 分 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) …………………10 分 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? (1 ? ? ? )? ? ……………12 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)
20.解:⑴ 由题意,设曲线方程为 y ? ax ?
2

64 , 7

将点 D(8,0)的坐标代入,得 a ? ? ∴ 曲线方程为 y ? ?

1 . 7

1 2 64 x ? . 7 7

⑵ 设变轨点为 C(x,y),根据题意可知

得 4y2-7y-36=0, 解出 y=4 或 y=-9/4(不合题意,舍去), 从而 y=4,于是 x=6 或 x=-6(不合题意,舍去),所以 C 点的坐标为(6,4). 应用两点之间距离公式计算,得 |AC|= 2 5 ,|BC|=4. 答: 当观测点 A、 B 测得 AC、 BC 距离分别为 2 5 、 4 时, 应向航天器发出变轨指令. 21. (本题满分 12 分) ⑴由三视图可知,多面体是直三棱柱,两底面是直角边长为 a 的等腰直角三角形,侧面
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ABCD , CDFE 是边长为 a 的正方形。.. ……………………………………2 分 连结 DN , 因为 FD ? CD, FD ? AD , 所以, FD ? 面 ABCD FD ? AC
又, AC ? DN ,所以, AC ? 面 GND , GN ? 面 GND 所以 GN ? AC ……..4 分 ⑵ VE ?FMC ? VADF ? BCE ? VF ? AMCD ? VE ?MBC . ………………5 分

F Q G D N M B

E

1 1 ? S?BCE ? CD ? FD ? S AMCD ? EC ? S ?MBC 3 3 1 1 1 1 a 1 1 a ? a ? a ? a ? ? ( ? a) ? a ? a ? ? ? ? a ? a = a3 . 6 2 3 2 2 3 2 2
…………………8 分
A 1 1 1 1 AD ? S?CEF ? ? a ? a ? a ? a 3 3 3 2 6 AG ⑶当 G 为线段 DF 的中点时,有 //平面 FMC………………9 分

C

另解: VE ? FMC ? VM ?CEF ?

下面证明: 连结 DE 交 FC 于 Q ,连结 QG 因为 G, Q, M 分别是 FD, FC , AB 的中点,所以 GQ // CD ,

1 2

1 AM // CD ,所以, AM // GQ , AMGQ 是平行四边形 2 AG ∥QM , AG ? 面 FMC , MQ ? 面 FMC 所以, AG //平面 FMC. ………………………12 分
22. 解:⑴ a ? 1 时, f ( x) = ( x 2 ? 2 x)e x 当 x 变化时, f ( x ) 、 f '( x) 的变化如下表

x
f ?( x) f ( x)

(??,? 2 )
+ ↗

- 2 0 极大值

(- 2 , 2 ) - ↘

2
0 极小值

( 2 ,??)
+ ↗

∴ f ( x ) 在 x =- 2 处取得极大值,在 x = 2 处取得极小值。
x 而当 x ? 0 时 f ( x) = x( x ? 2)e ? 0 ,当 x= 2 时, f ( x) ? 0

2 时, f ( x) 取得最小值 f ( 2) ? (2 ? 2 2)e 2 …………………7 分 2 x ⑵ f ?( x) ? ( x ? 2x ? 2ax ? 2a)e 【法一】若 f ( x) 在[-1,1]上是单调函数,则对任意的 x ?[-1,1], f ?( x) ? 0 或对任 意的 x ?[-1,1], f ?( x) ? 0 x 2 因为 e ? 0 ,令 g ( x) = x ? 2 x ? 2ax ? 2a 则必须且只须对任意的 x ?[-1,1], g ( x) ≥0;或对任意的 x ?[-1,1], g ( x) ≤0 因为 g (?1) =-1<0 且 g ( x) 的图像是开口向上的抛物线 所以必须且只须 g (1) ? 0 ,即 3 ? 4a ? 0

所以当 x ?

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于是 f ( x) 在[-1,1]上为单调函数的充要条件是 a ? 即 a 的取值范围是 [ , ??) …………………14 分 【法二】参数分离法

3 4

3 4

【法三】令 f ?( x) ? 0, 得[ x 2 +2(1- a ) x -2 a ] e x =0 从而 x 2 +2(1- a ) x -2 a =0 解得 x1 ? a ? 1 ? a 2 ? 1, x2 ? a ? 1 ? a 2 ? 1 当 x 变化时, f ( x ) 、 f '( x) 的变化如下表

x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
- ↘

x2
0 极小值

( x2 ,??)
+ ↗

a ≥0 时, f ( x) 在 ?? 1,1?上为单调函数的充要条件是 x2 ? 1
2 即 a ? 1 ? a ? 1 ? 1 ,解得 a ?

当 a ≥0 时, x1 <-1, x2 ? 0, f ( x) 在 ? x1 , x 2 ? 上为减函数,在 ( x2 ,??) 上为增函数当

3 4
3 4

于是 f ( x) 在[-1,1]上为单调函数的充要条件是 a ? 即 a 的取值范围是 [ , ??) …………………14 分

3 4

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