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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第八章 平面解析几何 第六节

时间:2016-12-04


课时作业
一、选择题 1.(2014· 唐山模拟)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0), 则双曲线方程为 ( x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C.24- 8 =1 x2 y2 B. 2 - 4 =1 x2 y2 D. 8 -24=1 )

x2 y2 A [由题意可设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0), b b ? ? = 3, ? ? = 3, 由已知条件可得?a 即?a ? ? ?c=4, ?a2+b2=42,
2 ?a =4, x2 y2 解得? 2 故双曲线方程为 4 -12=1.] ?b =12,

2.(2014· 广东六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-5,0) x2 y2 和 C(5,0),顶点 B 在双曲线16- 9 =1 上,则 3 A.2 5 C.4 C 2 B.3 4 D.5 [设△ABC 中角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, sin B b = , |sin A-sin C| |a-c| sin B 为( |sin A-sin C| )

由正弦定理得

由双曲线的标准方程和定义可知,A,C 是双曲线的焦点,且 b=10,|c-a|= 8. 所以 sin B b 5 = = .故选 C.] |sin A-sin C| |a-c| 4 )

y2 3.已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+m=1 的离心率为(

3 5 A. 2 或 2 C. 5

3 B. 2 3 D. 2 或 5

D [∵m2=16,∴m=± 4,故该曲线为椭圆或双曲线. a2-b2 c 3 当 m=4 时,e=a= a = 2 . a2+b2 c 当 m=-4 时,e=a= a = 5.] x2 4.(2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点, A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 ( )

A. 2 3 C.2

B. 3 6 D. 2

D [椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2 3.又四边形 AF1BF2 为矩 形,∴∠F1AF2=90°, ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F1|2, ∴|AF1|=2- 2,|AF2|=2+ 2, ∴双曲线 C2 中,2c=2 3,2a=|AF2|-|AF1|=2 2, 故 e= 3 6 = 2 ,故选 D.] 2

5.(理)(2014· 辽宁五校联考)已知点 M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,分别过点 M、N 且与圆 C 相切的两条直线相交于点 P,则点 P 的轨迹方程为 ( y2 A.x - 8 =1(x>1)
2

)

y2 B.x -10=1(x>0)
2

y2 C.x2- 8 =1(x>0)

y2 D.x2-10=1(x>1)

A [如图,设两切线分别与圆切于点 S、T,则|PM| - |PN| = (|PS| + |SM|) - (|PT| + |TN|) = |SM| - |TN| = |BM|-|BN|=2=2a,所以所求曲线为双曲线的右支 且不能与 x 轴相交,a=1,c=3, ,所以 b2=8,故点 y2 P 的轨迹方程为 x - 8 =1(x>1).]
2

y2 5.(文)(2014· 青岛模拟)设 F1,F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点,若点 P
2

→ ·PF → =0,则|PF → +PF → |= 在双曲线上,且PF 1 2 1 2 ( A. 10 C. 5 B.2 10 D.2 5 )

→ ·PF → =0 可得PF → ⊥PF → ,又由向量加法的平行四边形法则可知 B [如图,由PF 1 2 1 2 → +PF → |=|PQ → |=2c=2 10, ?PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等,故有|PF 1 2 所以选 B.] 二、填空题 y2 6.(2014· 苏锡常镇一调)若双曲线 x2- a =1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离 等于 3,则此双曲线方程为________. 解析 y2 双曲线 x2- a =1(a>0)的一个焦点( 1+a,0)到一条渐近线 ax-y=0 a(1+a) = 3, a+1

的距离为

y2 解得 a=3,故此双曲线方程为 x2- 3 =1. 答案 y2 x2- 3 =1

x2 y2 7.(2014· 乌鲁木齐第一次诊断)设 A、B 为双曲线a2-b2=1(b>a>0)上两点,O 为 坐标原点.若 OA⊥OB,则△AOB 面积的最小值为________.

解析

1 设直线 OA 的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OB 的方程为 y=- kx,则点

y=kx ? ? A(x1,y1)满足? x2 y2 , 2- 2=1 ? ?a b ∴x2 1= a2b2 a2b2k2 2 , y = , b2-a2k2 1 b2-a2k2 (1+k2)a2b2 , b2-a2k2

2 ∴|OA|2=x2 1+y1=

同理|OB|2=

(1+k2)a2b2 , k2b2-a2 (1+k2)a2b2 (1+k2)a2b2 · b2-a2k2 k2b2-a2 a4b4

∴|OA|2·|OB|2= =

, k2 -a2b2+(a2+b2)2· 2 (k +1)2 1 1 ≤4(当且仅当 k=± 1 时,取等号), 1 k2+k2+2

k2 ∵ 2 = (k +1)2
2 2

4a4b4 ∴|OA| ·|OB| ≥ , (b2-a2)2 又 b>a>0, 1 a2b2 ∴S△AOB=2|OA|·|OB|的最小值为 2 . b -a2 答案 a2b2 b2-a2

三、解答题 8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4, - 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证:MF1― →· MF2― →=0. 解析 (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0).

∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 6 - 6 =1.

(2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m m2 ∴kMF1= ,kMF2= ,kMF1·kMF2= 9-12 3+2 3 3-2 3 m2 =- 3 . ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴MF1― →· MF2―→=0. 9. (2014· 太原四校联考)已知双曲线 G 的中心在原点, 它的渐近线与圆 x2+y2-10x 1 +20=0 相切.过点 P(-4,0)作斜率为-4的直线 l,使得 l 与 G 交于 A,B 两 点,和 y 轴交于点 C,并且点 P 在线段 AB 上,又满足|PA|· |PB|=|PC|2. (1)求双曲线 G 的渐近线方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴,如果 S 中垂直于 l 的平行弦的 中点的轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分.求椭圆 S 的方程. 解析 (1)设双曲线 G 的渐近线方程为 y=kx, |5k| 1 = 5,∴k=± 2 2, k +1

则由渐近线与圆 x2+y2-10x+20=0 相切可得 1 即双曲线 G 的渐近线方程为 y=± 2x.

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为 x2-4y2=m, 1 把直线 l 的方程 y=-4(x+4)代入双曲线方程, 8 整理得 3x2-8x-16-4m=0,即 xA+xB=3, xAxB=- 16+4m 3 .(*)

∵|PA|·|PB|=|PC|2, P,A,B,C 共线且 P 在线段 AB 上, ∴(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,

即(xB+4)(-4-xA)=16, 整理得 4(xA+xB)+xAxB+32=0. x2 y2 将(*)代入上式得 m=28,∴双曲线方程为28- 7 =1. x2 y2 (3)由题可设椭圆 S 的方程为28+a2=1(a>2 7), 设垂直于 l 的平行弦的两端点分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 P(x0, y0), x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 即28+a2=1,28+a2=1, 两式作差得 由于 (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) + =0. 28 a2

y1-y2 =-4,x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, x1-x2

x0 4y0 ∴28- a2 =0. x 4y ∴垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线28- a2 =0 截在椭圆 S 内的部分. 又由已知,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分, a2 1 x2 y2 所以112=2,即 a2=56,故椭圆 S 的方程为28+56=1.


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