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2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(含详细答案)

时间:2010-05-13


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二 00 八年湖南省高中数学竞赛试题
一,选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个答案中, 选择题 只有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算: A B = {z | z = xy, x ∈ A, y ∈ B} .设 A = {

2,0} , B = {0,8} ,则集合 A B 的所 有元素之和为( A.16 ) B.18 C. 20 D.22

2.已知 {a n } 是等比数列,a 2 = 2, a 5 = A. [12,16 ) B. [8,16 )

1 , a1 a 2 + a 2 a3 + + a n a n +1 n ∈ N 的取值范围是 则 ( 4
C. 8, 3

(

)

)

32

D. , 3 3 )

16 32

3.5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作, 则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 ( A.

3 5

B.

1 15

C.

5 8

D.

50 81

4 .已知 a , b 为非零的不共线的向量,设条件 M : b ⊥ a b ;条件 N : 对一切 x ∈ R ,不等式

( )

a xb ≥ a b 恒成立.则 M 是 N 的(
A.必要而不充分条件 C.充分而且必要条件

) B.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.设函数 f (x ) 定义在 R 上,给出下述三个命题: ① 满 足 条 件 f ( x + 2) + f (2 x ) = 4 的 函 数 图 象 关 于 点 (2,2 ) 对 称 ; ② 满 足 条 件

f ( x + 2) = f (2 x) 的函数图象关于直线 x = 2 对称;③函数 f ( x 2) 与 f (x + 2) 在同一坐标系
中,其图象关于直线 x = 2 对称.其中,真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB, 的长度分别等于 2 7 和 4 3 , CD

M , N 分别为 AB , CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题: ①弦 AB , CD 可能相交于点 M ②弦 AB , CD 可能相交于点 N ③ MN 的最大值为 5 ④ MN 的最小值为 1
其中真命题为( A.①③④ ) B.①②③ C.①②④ D.②③④

7. 设 a = sin(sin 2008 0 ) , b = sin(cos 2008 0 ) , c = cos(sin 2008 0 ) , d = cos(cos 2008 0 ) , 则

a, b, c, d 的大小关系是(
A. a < b < c < d C. c < d < b < a

) B. b < a < d < c D. d < c < a < b

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8. 设函数 f ( x) = x + 3 x + 6 x + 14 ,且 f ( a ) = 1 , f (b) = 19 ,则 a + b = (
3 2

)

A.2

B.1

C.0

D. 2

填空题(本大题共 6 个小题, ( 个小题, 请将正确的答案填在横线上 确的答案填在横线上. 二, 填空题 每小题 8 分, 48 分. 请将正确的答案填在横线上.) 共
9.在平面直角坐标系中,定义点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) 之间的"直角距离"为 .

d ( P, Q) = x1 x 2 + y1 y 2 . 若 C ( x, y ) 到点 A(1,3) , B(6,9) 的"直角距离"相等,其中实
数 x , y 满足 0 ≤ x ≤ 10 , 0 ≤ y ≤ 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 10.已知集合 = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 2008 ,若点 P ( x, y ) ,点 P ′( x ′, y ′) 满足 x ≤ x ′ 且 .

{

}

y ≥ y ′ ,则称点 P 优于 P ′ . 如果集合 中的点 Q 满足:不存在 中的其它点优于 Q ,则
所有这样的点 Q 构成的集合为 11.多项式 1 + x + x 2 + + x 100 11. .

(

) 的展开式在合并同类项后,x
3

150

的系数为

.(用数字作

答) 12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上, 且该六 12. 棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

.

13.将一个 4 × 4 棋盘中的 8 个小方格染成黑色,使得每行,每列都恰有两个黑色方格,则有 13. 不同的染法.(用数字作答) 14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点 Pk ( x k , y k ) 14. 处,其中 x1 = 1, y1 = 1 ,当 k ≥ 2 时,

k 1 k 2 x k = x k 1 + 1 5 5 + 5 5 ; k 1 k 2 y k = y k 1 + 5 5 .
其中, [a ] 表示实数 a 的整数部分,例如 [2.6] = 2 , [0.6] = 0. 按此方案,第 2008 棵树种植点的坐 标为 .

小题, 要求有必要的解答过程. 三,解答题(本大题共 4 小题,共 62 分. 要求有必要的解答过程.) 解答题(
15. 本小题满分 14 分)设实数 a, b ∈ [α , β ] ,求证: . (本小题满分 (

b a β α + ≤ + a b α β

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其中等号当且仅当 a = α , b = β 或 a = β , b = α 成立, α , β 为正实数.

甲, 采用五局三胜制 (即先胜三局者获冠军)对 . 16.本小题满分 14 分) 乙两人进行乒乓球单打比赛, . ( 于每局比赛,甲获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 .如果将"乙获得冠军"的事件称为"爆出冷 3 3

门" .试求此项赛事爆出冷门的概率.

17. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) = ln (1 + x ) x 在区间 [0, n ] n ∈ N 上的最小值为 bn ,令

(

)

a n = ln (1 + n ) bn , p k =

a1 a3 a 2 k 1 k ∈ N , a2 a4 a2k

(

)

求证: p1 + p 2 + + p n <

2 a n + 1 1.

x2 y2 18.(本小题满分 18 分) 过直线 l : 5 x 7 y 70 = 0 上的点 P 作椭圆 + = 1 的切线 PM , , PN 25 9
切点分别为 M , N ,联结 MN . (1)当点 P 在直线 l 上运动时,证明:直线 MN 恒过定点 Q ; (2)当 MN ‖ l 时,定点 Q 平分线段 MN .

二 00 八年湖南省高中数学竞赛试题 参考答案及评分标准
说明: 说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.

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2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分 标准适当档次给分.

一,选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个答案中, 选择题 只有一项是符合题目要求的.)
1.解:集合 A B 的元素: z1 = 2 × 0 = 0 , z 2 = 2 × 8 = 16 , z 3 = 0 × 0 = 0 , z 4 = 0 × 8 = 0 ,故 解 集合 A B 的所有元素之和为 16. 选 A.

1 a5 4 1 1 3 2. 解: 设 {a n } 的公比为 q ,则 q = = = ,进而 q = . a2 2 8 2
所以,数列 {a n a n +1 } 是以 a1 a 2 = 8 为首项,以 q =
2

1 为公比的等比数列. 4

a1 a 2 + a 2 a3 + + a n a n+1

1 81 n 4 32 = = 1 4 n . 1 3 1 4

(

)

显然, 8 = a1 a 2 ≤ a1 a 2 + a 2 a 3 + + a n a n +1 <

32 . 选 C. 3
5

3. 解:5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆的方法数为 3 = 243 种. 每个场馆至少有一名志愿者 的情形可分两类考虑:第 1 类 ,一个场馆去 3 人,剩下两场馆各去 1 人,此类的方法数为
1 3 2 1 1 2 C 3 C 5 A2 = 60 种; 2 类, 第 一场馆去 1 人, 剩下两场馆各 2 人, 此类的方法数为 C 3 C 5 C 4 = 90

种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为 P =

60+ 90 50 = .选 D. 选 243 81

4. 解:设 OA = a ,OB = b ,则 xb 表示与 OB 共线的任一向量, a xb 表示点 A 到直线 OB 上 任一点 C 的距离 AC ,而 a b 表示点 A 到 B 的距离. 当 b ⊥ a b 时, AB ⊥ OB. 由点与直线之 间垂直距离最短知, AC ≥ AB ,即对一切 x ∈ R ,不等式 a xb ≥ a b 恒成立.反之,如果

( )

AC ≥ AB 恒成立, ( AC )min ≥ AB , AB 必为点 A 到 OB 的垂直距离, ⊥ AC , b ⊥ a b . 则 故 OB 即
选 C. 5 . 解: 用 x 2 代 替 f ( x + 2) + f (2 x ) = 4 中 的 x , 得 f ( x ) + f ( 4 x ) = 4 . 如 果 点 ( x, y ) 在

( )

y = f ( x) 的图象上,则 4 y = f (4 x) ,即点 ( x, y ) 关于点 (2,2) 的对称点 (4 x,4 y ) 也 在

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y = f (x) 的 图 象 上 . 反 之 亦 然 , 故 ① 是 真 命 题 . 用 x 2 代 替 f ( x + 2) = f (2 x) 中 的 x , 得
f ( x) = f (4 x) .如果点 ( x, y ) 在 y = f (x) 的图象上,则 y = f (4 x) ,即点 ( x, y ) 关于点 x = 2 的
对称点 (4 x, y ) 也在 y = f (x ) 的图象上,故②是真命题.由②是真命题,不难推知③也是真命题.故 三个命题都是真命题.选 D. 6. 解:假设 AB , CD 相交于点 N ,则 AB , CD 共面,所以 A , B , C , D 四点共圆,而过圆 的弦 CD 的中点 N 的弦 AB 的长度显然有 AB ≥ CD ,所以②是错的.容易证明,当以 AB 为直径 的圆面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时, MN 最大为5,故③对.当以 AB 为直径的圆 面与以 CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时, MN 最小为 1,故④对.显然是对的.①显然是对的. 故选A. 7. 解:因为 2008 = 5 × 360 + 180 + 28 ,所以,
0 0 0 0

a = sin( sin 28 0 ) = sin(sin 28 0 ) < 0 ; b = sin( cos 28 0 ) = sin(cos 28 0 ) < 0 ; c = cos( sin 28 0 ) = cos(sin 28 0 ) > 0 ; d = cos( cos 28 0 ) = cos(cos 28 0 ) > 0 .
又 sin 28 < cos 28 ,故 b < a < d < c. 故选 B.
0 0

8. 解:由 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 6 x + 14 = ( x + 1) + 3( x + 1) + 10 ,令 g ( y ) = y 3 + 3 y ,则 g ( y ) 为奇
3

函数且单调递增. 而 f ( a ) = (a + 1) + 3(a + 1) + 10 = 1 , f (b) = (b + 1) + 3(b + 1) + 10 = 19 ,
3 3

所以 g ( a + 1) = 9 , g (b + 1) = 9 , g ( b 1) = 9 ,从而 g ( a + 1) = g ( b 1) , 即 a + 1 = b 1 ,故 a + b = 2 .选 D.

填空题(本大题共 6 个小题, ( 个小题, 请将正确的答案填在横线上. 二, 填空题 每小题 8 分, 48 分. 请将正确的答案填在横线上.) 共
9. 解:由条件得 x 1 + y 3 = x 6 + y 9 . 当 y ≥ 9 时,①化为 x 1 + 6 = x 6 ,无解; 当 y ≤ 3 时,①化为 x 1 = 6 + x 6 ,无解; 当 3 ≤ y ≤ 9 时,①化为 2 y 12 = x 6 x 1 ② ①

若 x ≤ 1 , y = 8 .5 , 则 线段长度为1; 1 ≤ x ≤ 6 , x + y = 9.5 , 若 则 线段长度为 5 2 ; x ≥ 6 , 若 则 y = 3 .5 , 线 段 长 度 为 4 . 综 上 可 知 , 点 C 的 轨 迹 的 构 成 的 线 段 长 度 之 和 为

1 + 5 2 + 4 = 5 2 + 1 .填 5 2 + 1 . 填
"不存在 中的其它点优于 Q " ,即"点 Q 的左上方不 10. 解: P 优于 P ′ ,即 P 位于 P ′ 的左上方, 存在 中的点".故满足条件的点的集合为

(

)

(

)

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{(x, y ) | x

2

+ y 2 = 2008, x ≤ 0且y ≥ 0 .填 ( x, y ) | x 2 + y 2 = 2008, x ≤ 0且y ≥ 0 . 填
s + t + r = 150

2

} {

}

11.解 11.解:由多项式乘法法则可知,可将问题转化为求方程 的不超过去 100 的自然数解的组数.显然,方程①的自然数解的组数为 C152 . 下面求方程①的超过 100 自然数解的组数.因其和为 150,故只能有一个数超过 100,不妨设 s > 100 .将方程①化为

( s 101) + t + r = 49
记 s ′ = s 101 ,则方程 s ′ + t + r = 49 的自然数解的组数为 C 51 .
2

因此, x

150

的系数为 C152 C 3 C 51 = 7651 .填 7651 填 7651.
2 1 2

12.解 12.解:因为底面周长为 3,所以底面边长为

1 3 3 ,底面面积为 S = . 2 8

又因为体积为

9 2 , 所以高为 3 .该球的直径为 1 + 8

( 3)

2

= 2, 球的体积 V =

4 3 4 πR = π . 3 3

填 π.
2 13.解 13.解:第一行染 2 个黑格有 C 4 种染法.第一行染好后,有如下三种情况:

4 3

(1)第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法;
2 (2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有 C 4 种染法,第四行的染法随之

确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有 4 种,而在第一,第二这 两行染好后,第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列,这时第三行的染法有 2 种,第四 行的染法随之确定. 因此,共有染法为 6 × (1 + 6 + 4 × 2 ) = 90 种.填 90 填 90. 14.解 14.解:令 f ( k ) = ,则 5 5

k 1 k 2

k + 5 1 k + 5 2 k 1 k 2 k 1 k 2 f (k + 5) = = 1 + 5 1 + 5 = 5 5 = f (k ) 5 5
故 f ( k ) 是周期为 5 的函数. 计算可知: f ( 2) = 0 ; f (3) = 0 ; f ( 4) = 0 ; f (5) = 0 ; f (6) = 1 . 所以,

x 2008 = x 2007 + 1 5 f (2008) ; x 2007 = x 2006 + 1 5 f (2007) ;…; x 2 = x1 + 1 5 f (2) .
以上各式叠加,得 x 2008 = x1 + 2007 5[ f ( 2) + f (3) + + f ( 2008)]

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= x1 + 2007 5{401[ f (2) + f (3) + + f (6)] + f (2) + f (3)} = x1 + 2007 5 × 401 = 3 ;
同理可得 y 2008 = 402 . 所以,第 2008 棵树的种植点为 (3,402 ) .填 (3,402 ) . 填

小题, 要求有必要的解答过程 的解答过程. 三,解答题(本大题共 4 小题,共 62 分. 要求有必要的解答过程.) 解答题(
15.证明:由对称性,不妨设 a ≤ b ,令 .证明:

a = t ,则因 α ≤ a ≤ b ≤ β ,可得 b

α a β ≤ t = ≤ . …………………………(3 分) β b α
设 f (t ) = t +

β 1 α 1 ≤ t ≤ ,则对 t 求导,得 f ′(t ) = 1 2 .…………(6 分) β t α t
α β ,1 时, f ′(t ) < 0 , f (t ) 单调递减;当 t ∈ 1, 时, f ′(t ) > 0 , f (t ) 单调 α β

易知,当 t ∈

递增. …………………………………………………………………(9 分) 故 f (t ) 在 t =

α α β α β β β α 或t = 处有最大值且 f = + 及 f = + 两者相等. β β α β α α α β

故 f (t ) 的最大值为

β α 1 β α + ,即 f (t ) = t + ≤ + .………………(12 分) α β t α β



a b a β α = t ,得 + ≤ + ,其中等号仅当 a = α , b = β 或 a = β , b = α 成立. b a b α β

…………………………………………………………………………(14 分) 16. 解:如果某方以 3 : 1 或 3 : 0 获胜,则将未比的一局补上,并不影响比赛结果.于是,问 . 题转化为:求"乙在五局中至少赢三局的概率" .…………(3 分) 乙胜五局的概率为 ;………………………………………………(6 分)

1 3

5

1 乙胜四局负一局的概率为 C 5 ×

1 3

4

2 ;………………………………(9 分) 3 2 3
2

2 乙胜三局负二局的概率为 C 5 × . ……………………………(12 分)

1 3

3

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以上结果相加,得乙在五局中至少赢三局的概率为

17 . ……………(14 分) 81

17. 解: (1)因为 f ( x) = ln (1 + x ) x ,所以函数的定义域为 ( 1,+∞ ) ,…(2 分) 又 f ′( x ) =

1 x 1 = .……………………………………………(5 分) 1+ x 1+ x

当 x ∈ [0, n] 时, f ′( x ) < 0 ,即 f (x ) 在 [0, n ] n ∈ N

(



) 上是减函数,故

bn = f (n) = ln (1 + n ) n. a n = ln (1 + n ) bn = ln (1 + n ) ln (1 + n ) + n = n. …………………………(8 分)
因为

(2k 1)(2k + 1) = 4k 2 1 < 1 ,所以 4k 2 (2k )2
2

1 3 5 (2k 1) (2k 1)(2k + 1) 1 < 1 . 1 3 3 5 5 7 2 4 (2k ) = 2 2 4 2 6 2 2k + 1 2 k + 1 (2k )2
…………………………………………………………………………(12 分) 又容易证明

1 < 2k + 1 2k 1 ,所以 2k + 1

pk =

a1 a3 a 2 k 1 1 3 5 (2k 1) = < a2 a4 a2k 2 4 (2k )
p1 + p 2 + + p n <

1 2k + 1

< 2k + 1 2k 1 k ∈ N ,

(

)

………………………………………………………………(14 分)

(

3 1 +

) (

5 3 + +

)

(

2 n + 1 2n 1

)

= 2n + 1 1 = 2a n + 1 1 .


p1 + p 2 + + p n < 2a n + 1 1. ……………………(16 分)
18. 证明: 证明: (1)设 P ( x 0 , y 0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) . 则椭圆过点 M , N 的切线方程分别



x1 x y1 y x x y y + = 1 , 2 + 2 = 1 .…………………………………………(3 分) 25 9 25 9
因为两切线都过点 P ,则有

x1 x0 y1 y 0 x x y y + = 1, 2 0 + 2 0 = 1 . 25 9 25 9
这表明 M , N 均在直线

x0 x y 0 y + =1 25 9

①上.由两点决定一条直线知,式①就是直线 MN

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的方程,其中 ( x0 , y 0 ) 满足直线 l 的方程.…………………(6 分) (1)当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x 0 取遍一切实数,相应的 y 0 为

y0 =

5 x0 10. 7


代入①消去 y 0 得

x0 5 x 70 x+ 0 y 1 = 0 25 63

对一切 x 0 ∈ R 恒成立. …………………………………………………………(9 分) 变形可得

x 5 y 10 y x0 + + 1 = 0 25 63 9

x 5y 25 + 63 = 0, 对一切 x 0 ∈ R 恒成立.故有 10 y + 1 = 0. 9
由此解得直线 MN 恒过定点 Q

25 9 , .……………………………(12 分) 14 10

x0 5 x0 70 1 4375 63 (2)当 MN ‖ l 时,由式②知 25 ≠ . 解得 x0 = . 5 7 70 533
代入②,得此时 MN 的方程为 5 x 7 y 将此方程与椭圆方程联立,消去 y 得

533 =0 35



533 2 533 128068 x x = 0. …………………………………………(15 分) 25 7 1225
由此可得,此时 MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点 Q

25 9 , 的横坐标,即 14 10

x + x2 x= 1 = 2

533 25 7 = . 533 14 2× 25
25 9 , 的纵坐标,即 14 10

代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点 Q

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y= 5 25 533 1 125 533 9 × = = . 7 14 7 × 35 49 2 2 10

这就是说,点 Q

25 9 , 平分线段 MN .……………………………(18 分) 14 10

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