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三角恒等变换 解三角形 公式及典型习题

时间:2014-03-15


公式记忆:三角恒等变换、解三角形公式
一、三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? _________________ ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? _______________ ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ____________ 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1) sin 2? ?

_________ . (2) ___________ ? (sin ? ? cos ? )2 ⑵ cos ?? ? ? ? ? ___________ ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? ________________ ; ⑹ tan ?? ? ? ? ? ____________

(3) cos 2? ? _________ ? __________ ? ___________ (4)降次升角公式 cos ? ? ________ , sin ? ? __________
2 2

(5)辅助角公式: ? sin ? ? ? cos ? ? _____________ ,其中 tan ? ? (6) _______ ? sin2 ? ? cos2 ? ? sin 90o ? tan 45o 3、常见的角的配凑

? . ?

(1) ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? ; (2) 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

??)

二、三角函数
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接 圆的半径,则有

a b c ? ? ? _____ . sin ? sin ? ____

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② sin ? ? ④

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? _____________ ; 2R 2R 2R

a?b?c a b c . ? ? ? ___________ sin ? sin ? sin C
cos A ? cos B ? ______ ? a ? b ? sin A ? sin B ? cos2 A ? cos2 B ? cos 2A ? cos 2B

⑤在 ???C 中有:

3、三角形面积公式: S???C ? __________ ? _________ ? ________ . 4 、 余 弦 定 理 : 在 ???C 中 有 : ____________________ , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos ? ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .

5 、 余 弦 定 理 的 推 论 : cos ? ? _________________ , cos ? ?

a 2 ? c 2 ? b2 , 2ac

cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 . 2ab
2 2 2

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90
2 2 2

?

2

2

2

?

二、测试题:
1、已知 cos ?

1 13 ? ? ,cos(? ? ? ) ? , 且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2

(1)求 tan 2? 的值 ; (2)求

?.

2、已知函数

f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin(? x ? ) 2
? 2? ? 上的取值范围 ? 3 ? ?

?

(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? 0,


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