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函数的奇偶性教师版


高频考点 1.函数的奇偶性的定义: 设 y ? f ( x) , x ? A , 函数奇偶性及应用 若对于任意 x ? A ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 为奇函数;图象关于原点对称 若对于任意 x ? A ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 为偶函数;图象关于 y 轴对称 2.奇偶函数的性质:

(1)函数具有奇偶性定义域必须关于原点对称; (2)已知奇函数求参数,可用 f (?1) ? ? f (1) ,若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .已知偶函 数求参数,可用 f (?1) ? f (1) (3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. (4)奇函数在关于原点对称的区间内有相反的最值,偶函数在关于原点对称的区间内有相同的最值 3.判断函数的奇偶性的方法: (1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非奇非偶函数; 若对称,则再判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 , f ( x) ? ?1 . f (? x) (2)图象法; (3)性质法:设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上: 奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇; 题型 1.判断下列各函数的奇偶性: 1. f ? x ? ? 3? x ?3 4 ? x2 2. f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 3. f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 4. f ( x) ? ( x ? 1) 2 1? x ; 1? x x 2 ? 1 的奇偶性。 2 ? ?1 ? x ? 0 5. f ( x) ? 1 ? x ? 解:函数的定义域满足 ? ?x 2 ? 1 ? 0 ? ,即为 {?1 1} ,函数的图象表示两个点: (-1,0)(1,0) , 。其图象既 , 关于原点对称,又关于 y 轴对称。从而函数 f(x)既是奇函数又是偶函数。 ? x2 ? x ( x ? 0) ? 6. f ( x ) ? ? 2 ( x ? 0) ?? x ? x ? ? x 2 ? 2x ? 3 x ? 0 ? 2 x?0 练. f ?x ? ? ? ?? x 2 ? 2 x ? 3 x ? 0 ? 7.函数 F ? x ? ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ? f ?x ?, ( x ? 0) 是偶函数,并且 f ( x) ? 0 ,则 f ? x ? 是什么函数。 2 ?1? x 题型 2.函数奇偶性概念的应用: 2 1.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , x ? ? ?2a ? 3, 1? 是偶函数,则 a ? b ? 1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? 2 ?1 x3 ? x ? a 练 1.已知 f ( x) ? , f (x) 是奇函数,求 f (1) 。 x2 ?1 2.已知函数 f ? x ? ? a ? x -1- 高频考点 练 2. 定义在 ? ?1,1? 上的奇函数 f ? x ? ? 3.设函数 f ( x) ? 2 函数奇

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