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椭圆及其标准方程理科修改版


一.感受椭圆

若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它的两端 都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么图形?

引例:

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.

思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢?

探究:若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉紧绳子,再移动笔尖一 周,这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢? 动画 观察:上述动画中绳子长度与笔尖到两个定点的距 离应满足什么关系? 思考:当绳子长度刚好等于或者小于两个定点的距 离时,得到的轨迹又是什么图形呢?

结论:绳长记为2a,两定点间的距离记为2c(c≠0).
(1)当2a>2c时,轨迹是 椭圆 (3)当2a<2c时, 无轨迹 ; ;

(2)当2a=2c时,轨迹是以F1、 F2为端点的线段



二、基础知识讲解
1.椭圆定义:
? 平面上到两个定点的距离的
M

和等于定长2a,(大于|F1F2 |) 的点的轨迹叫椭圆。
? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
F1

2c

F2

MF1 ? MF2 ? 2a ? 2c

? 两焦点之间的距离叫做焦距

(2c)。

检测练习 动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则

动点P的轨迹为( A )
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹

变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则 动点P的轨迹为( B ) (2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则 动点P的轨迹为( D )

y

M (x,y)

如图所示:F1、F2为两定点,且
|F1F2|=2c,求平面内到两定点

F1(-c,0) O

F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c)

的动点M的轨迹方程。

解:以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴
问题: 求曲线方程的基本步骤? 设 M x,y)为所求轨迹上的任意一点, ( 1( )建系设点 ; (2)写出条件; (3)列出方程; (4 )化简方程; 即 (x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a (5)下结论。

建立直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。

则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}

如何化简?

? ( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

移项

? ( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

两边平方
移项、

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

合并同类项

? a2 - cx = a (x - c)2 + y2
? (a ? c2 ) x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 ? c2 )
y M b O c a F2 x (c,0)

两边平方 2 两边同除以

a x2 y2 ? 2 ? 2 2 ?1 a a ?c F1 ∴a2-c2>0, (-c,0) ∵2a>2c,即a>c, 令 a2-c2=b2

a 2 (a 2 ? c 2 )

x y 可得 2 + 2 = 1 (a>b>0) a b

2

2

2.椭圆的标准方程 y
M

焦点 F1 ( ? c, 0), F2 (c, 0)

F1

O

F2

x

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

这里 c 2 ? a 2 ? b 2
y
F2 M O F1

焦点 F1 (0, ? c ), F2 (0, c )

x

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

这里 c ? a ? b
2 2

2

Y

Y M M

F2(0 , c)
O X

F1 (-c,0)
2 2

O

F2 (c,0)

X

F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标准方程再认识:
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和, x2和y 2 的系数为正,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2.

(3)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一 个轴上。

课堂探究,知识运用
口答:下列方程哪些是椭圆标准方程? 若是,则判定 其焦点在何轴?
2
2 2

y ( 1)x ? ?1 5
2

x2 y2 (2) ? ?2 25 16

x y (4) ? ?1 4 9 2 2 x y (5) ? ?1 16 16

x y (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1
小结:

2

2

(6) ?3x ?2 y ??1
2 2

1.椭圆的标准方程特征; 2.焦点在较大分母对应的坐标轴上.

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16 则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;

三、例题分析

(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为

(-3,0)、(3,0)

,

焦距为 6 。

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16

(3)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6, 则点P到右焦点的距离为 4 ;

(4)若CD为过左焦点F1的弦,
则?CF1F2的周长为 16 ?F2CD的周长为 20 , 。

巩固练习:

y2 2 ? x ? 1 ,则 1.已知椭圆方程为: 4 y 轴上; (1)椭圆的焦点在_____
2 1 3 (2)a=_______,b=_______,c=__________.

(0, 3),(0, ? 3) ; (3)椭圆的焦点坐标为________________
2 3 焦距为___________.

(4)椭圆上任一点P到两个焦点 F1 , F2 的距 4 离之和为_________.

x2 2.已知?ABC的顶点B、C在椭圆 ? y 2 ? 1上,顶点A 3 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC 上,则?ABC的周长为( A.2 3 B.4 3
B )

C.6

D.16
B

A

F2
C

变式练习 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
2 x (1)a ? 4, b ? 1, 焦点在x轴上; ? y 2 ? 1 16
2 y (2)a ? 4, c ? 15, 焦点在y轴上; ? x 2 ? 1 16
2 2 2 2 x y y x (3)a ? b ? 10, c ? 2 5. ? ? 1或 ? ?1 36 16 36 16

例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 , ? 3 ), 求它的标准方程.

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0). 2 a b 由椭圆的定义知

2

2

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2 所以 a ? 10.
又因为

c?

2 ,所以

b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2 2
2 2

x y 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ?1 . 10 6

例2 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0)
5 3 和(2,0),并且经过 ( , ? ) 求椭圆的标准方程 2 2 法一

x2 y2 解:椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b ∵ 椭圆的两个焦点坐标为( - 2,0),(2,0)

∴c = 2

还能用其他 5 3 2 5 3 2 2 2 由椭圆的定义得到 2 a = ( + 2) +(- ) + ( 2) +(- ) = 2 10 方法求它的 2 2 2 2 方程吗?
即a = 10

∴ b2 = a 2 - c2 = 10 - 22 = 6

x2 y2 ∴所求的椭圆的标准方程为 + = 1 10 6

例2 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2,0)
解:椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为

5 3 和(2,0),并且经过 ( , ? ) 求椭圆的标准方程 2 2 x2 y2
2

a b ∵ 椭圆的两个焦点坐标为( - 2,0),(2,0)

+

2

= 1 (a > b > 0)

∴ c = 2, ? a 2 ? b2 ? c2 ? 4 ............( 1) 5 3 椭圆经过点P( ,- ) 2 2 5 2 3 2 ( ) ( ) ? 2 2 ? 22 ? 1 ...............(2) a b 由(1)(2)解得b2 ? 6, 代入(1)得a 2 ? 10

x2 y2 ∴所求的椭圆的标准方程为 + = 1 10 6

练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)焦点为F1(0,-3),F2(0,3),且a=5;

y2

25

?

x2 16

?1

(2)两个焦点分别是F1(-2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点; x 2 y2
16 ? 12 ?1

小结:求椭圆标准方程的步骤: 先定位,再定量

①定位:确定焦点所在的坐标轴;
②定量:求a, b的值.

拓展延伸
2 2 x y 方程 ? ? 1 表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4 变式:

x2 y2 (1)方程 ? ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 5 4k

取值范围.

k>5/4

x2 y2 (2)方程 ? ? 1 表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, 5 4k
求k的值.

k=1/4

变式思考
探究: 已知方程
x2 y2 + =1 表示焦点在x轴 m+4 2m-1

1 <m<5 上的椭圆,则m的取值范围是 2

.

四、小结巩固
1.椭圆的定义:
?

平面上到两个定点的距离的和等于定长2a (大于2c)的点的轨迹叫椭圆。

? ?

定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

2.椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

|MF1|+|MF2|=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2 x

o
F1

x

焦点及位置 判定

焦点 F1 ( ? c, 0), F2 (c, 0)

焦点 F1 (0, ? c ), F2 (0, c )
y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

标准方程
a,b,c之间
的关系

x y ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

2

2

a ?b ?c
2 2

2

c ? a ?b
2 2

2

五、布置作业
作业:课本P42 习题2.1 A组 1. 2.


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