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概率统计试题及答案(本科完整版)

时间:2011-01-11


填空题( 一、 填空题(每题 2 分,共 20 分) 及其运算关系可将事件, 中只有一个发生” “ 1、记三事件为 A,B,C. 则用 A,B,C 及其运算关系可将事件, A,B,C 中只有一个发生” 表示为 . ABC U ABC U ABC 个白球, 个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么, 2、匣中有 2 个白球,3 个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么,白球比 2/5 。 红球早出现的概率是 3 、 已 知 P(A)=0.3 , P ( B ) = 0.5 , 当 A , B 相 互 独 立 时 ,

P( A ∪ B ) = _ 0.65 __, P( B | A ) = _ 0.5 __ 。
个白球, 名同学依次从袋中摸出一球(不放回) ,则第 4、一袋中有 9 个红球 1 个白球,现有 10 名同学依次从袋中摸出一球(不放回) 则第 6 位 , 同学摸出白球的概率为 同学摸出白球的概率为 1/10 。 上服从均匀分布, 5、若随机变量 X 在区间 (a, b) 上服从均匀分布,则对 a < c < b 以及任意的正数 e > 0 ,

? e ?b ? a , c + e < b ? 必有概率 P{c < x < c + e} = ? ?b ?c , c + e > b ?b ? a ?
2 6、设 X 服从正态分布 N ( ? , σ ) ,则 Y = 3 ? 2 X ~ N ( 3-2? , 4σ ) .

2

12 8 7、设 X ~ B(n, p ), 且EX= ,DX= ,则n = _ 36 _, p = _ 1 _ 3
只球, 8、袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3 只,以 X 表示取出 3 只球 中的最大号码。 中的最大号码。则 X 的数学期望 E ( X ) = 4.5 。 的分布律为 9、设随机变量 ( X , Y ) 的分布律为 X 1 Y 1 0.12 2 3 0.18 0

2 0.10 0 0.15

3 0.28 0.12 0.05

则条件概率 P{ X = 3 | Y = 2} = 2/5 . 10、 10、设 X 1 , L , X 12 来自正态总体 N (0, 1) , Y = ?

?

? ? 8 ? ? 12 ? X i ? + ? ∑ X i ? + ? ∑ X i ? ,当常数 ∑ ? ? i =5 ? ? i =9 ? ? i =1
4

2

2

2

k = 1/4 时, kY 服从 χ 2 分布。 分布。
二、计算题(每小题 10 分,共 70 分) 计算题( 0.1,0.2,0.15, 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为 0.1,0.2,0.15,求: (1)没有一台机器要看管的概率 (2)至少有一台机器不要看管的概率 (3)至多一台机器要看管的概率 表示“ 台机器需要人看管” , , , , 解:以 Aj 表示“第 j 台机器需要人看管” j=1,2,3,则:

P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0.2 , P( A3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 由各台机器间的相互独立性可得

(1) P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) = 0.9 × 0.8 × 0.85 = 0.612 ( 2 ) P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 ? P ( A1 A2 A3 ) = 1 ? 0.1× 0.2 × 0.15 = 0.997

( 3) P ( A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 )

= P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = 0.1× 0.8 × 0.85 + 0.9 × 0.2 × 0.85 + 0.9 × 0.8 × 0.15 + 0.9 × 0.8 × 0.85 = 0.068 + 0.153 + 0.108 + 0.612 = 0.941

只白球、 只红球; 只白球、 只红球。 2、甲袋中有 n 只白球、m 只红球;乙袋中有 N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入 乙袋后,再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少? 乙袋后,再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少? 表示“第一次从甲袋取出的为白球” 解:以 W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球” R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球” , 表示“第一次从甲袋取出的为红球” , W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球” 表示“第二次从乙袋取出的为白球” , 则所求概率为 P (W乙 ) = P W甲W乙 U R甲W乙 = P W甲W乙 + P R甲W乙

(

)

(

)

(

)

= P (W甲 ) P W乙 W甲 + P ( R甲 ) P W乙 R甲 =
1 Cn C1 C1 C1 ? 1 N +1 + 1 m ? 1 N 1 C n+ m C N + M +1 C n+ m C N + M +1

(

)

(

)

=

(n + m) N + n ( n + m )( N + M + 1) ( n + m )( N + M + 1)
=

n ( N + 1) + mN

π ? ? A cos x, | x |< 3、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) = ? 试求( 2 , 试求(1)常数 A; ? 0 , 其它 ?
(2) 分布函数 F ( x ) ; (3) 概率 P{ 0 < X < π

4

}。

(1 由归一性可得: 解: 1) 由归一性可得: 1 = (



+∞

?∞

f ( x )dx = ∫ 2π A cos xdx = 2 A ,从而
? 2

π

A= 1

2

( 2 ) .F ( x ) = ∫?∞
x

? x x < ?π ? ∫?∞ f ( x )dx , 2 ? x ? f ( x )dx = ? ∫ π f ( x )dx , ? π ≤ x < π 2 2 ? ? 2 ? x f x dx , x ≥π ? ∫π 2 ( ) 2 ?

? 0, x < ?π 2 ? ?1 = ? ( sin x + 1) , ? π ≤ x < π 2 2 ?2 ? 1, x ≥π 2 ?

( 3) .P{

0< X <π

4

}=∫

π

4

0

1 2 cos xdx = 2 4

( 的分布律 4、 1)已知 X 的分布律为 X -1 0

1

2

3

P

1 12

1 6

1 3

1 12

1 3

2 (5 计算 D (1 ? 2 X ) 。 5 分) (

解: D( 1 ? 2 X ) = 4 D X
2

( ) = 4 {E ( X ) ? ? E ( X )? } = 4 ? 115 ? 225 ? = 235 ? ? ? ? 16 ? 4 ? 4
2 4 2 2

2 、 的概率密度. (2) 设 X ~ N (0,1) ,求 Y = X 的概率密度.(5 分)
y ? ? 1 2 e , ? 的密度函数为: 解:Y 的密度函数为: f ( y ) = ? 2π y ? 0, ?

y>0 y≤0

?e ? ( x + y ) , x > 0, y > 0 5、设 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x , y ) = ? . 其它 ? 0 , (1) 试求分布函数 F ( x, y ) ;
所围成. (2) 求概率 P {( x, y ) ∈ G} 其中区域 G 由 X 轴, Y 轴以及直线 x + y = 1 所围成.

? x y e ? ( x + y )dxdy , x > 0 , y > 0 ? 解: (1) .F ( x , y ) = ∫ ∫ f ( x , y ) dxdy = ? ∫0 ∫0 ?∞ ?∞ ? 0, 其他 ? ?x ?y ? e ?1 e ?1 , x > 0, y > 0 ? =? 0, 其他 ? ? 1 1? x ( 2 ) .P {( x , y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x , y ) dxdy = ∫0 ? ∫0 e ?( x + y )dy ?dx = 1 ? 2e ?1 ? ? ? ?
x y

(

)(

)

G

6、设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ? 缘概率密度. 的相互独立性。 缘概率密度.并讨论随机变量 X , Y 的相互独立性。

?k (1 ? x), 0 < y < x < 1 ,求常数 k 及边 其它 ? 0 ,

解:由归一性知:1 = 由归一性知:

∫ ∫
?∞

+∞

+∞

?∞

f ( x , y )dxdy =

0 < y < x <1

∫∫

k (1 ? x ) dxdy

1 x 1 = k ∫ dx ? ∫ (1 ? x ) dy = k 0 0 6 ∴k = 6 ?6 x (1 ? x ) dy, 0 < x < 1 ?6 x (1 ? x ), 0 < x < 1 +∞ ? f X ( x ) = ∫ f ( x , y )dy = ? ∫0 =? ?∞ 0, 其他 ? ? 0, 其他 ? 2 ?6 1 (1 ? x ) dx, 0 < y < 1 ? +∞ ? ?3 ( y - 1) , 0 < y < 1 fY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx = ? ∫y =? ?∞ 其他 ? 0, ? ? 0, 其他 ? f ( x , y ) ≠ f X ( x ) ? fY ( y ) ,故 X 与 Y 不相互独立。 不相互独立。 显然

7 、 设 总 体 X 的 概 率 密度 为 f ( x ) = ?

? θx ? ? 0 ?

θ ?1

, 0 ≤ x ≤1 ,
其它

, 其 中 θ > 0 为 未 知参 数 . 若

X 1 , L , X n 是来自母体的简单子样,试求 θ 的矩估计与极大似然估计. 是来自母体的简单子样, 的矩估计与极大似然估计.
(1) 解: ) 令 (

X = EX = ∫ x ? θ x
0

1

θ ?1

dx =

θ θ +1
2

解得 θ 的矩估计为

? X ? θ? = ? ? ? 1? X ?
n

(2)似然函数 )

L (θ ) = ∏
i =1

(

θ xi

θ ?1

) =θ ∏x
n 2 n i =1
n

θ ?1

i

对数似然函数

ln L (θ ) =

n ln θ + 2

(

θ ?1

) ∑ ln x
i =1

i



? ln L (θ ) n 1 ? 1 n = + θ 2 ∑ ln xi = 0 ?θ 2θ 2 i =1

解得 θ 的极大似然估计为

θ? =

n2 ? n ? ? ∑ ln xi ? ? i =1 ?
2

三、证明题(每题 5 分,共 10 分) 证明题( 1、 X 1 , X 2 为来自总体 X 的样本,证明当 a + b = 1 时, aX 1 + bX 2 为总体均值 E ( X ) 的 的样本, 无偏估计。 无偏估计。 证明: 的样本, 证明:设总体均值 E ( X ) = ?,由于 X 1 , X 2 为来自总体 X 的样本, 因此

E ( X1 ) = E ( X 2 ) = ?

的无偏估计, 而 aX 1 + bX 2 为总体均值 E ( X ) 的无偏估计,故应该有

E ( aX1 + bX 2 ) = aE ( X 1 ) + bE ( X 2 ) = ( a + b ) ? = ? a +b =1 从而

Z = X + Y 服从参数为 λ1 + λ 2 的泊松分布。 的泊松分布。
证明: 由题知 证明:

是相互独立的随机变量, 的泊松分布, 2、设 X , Y 是相互独立的随机变量,它们分别服从参数为 λ1 , λ 2 的泊松分布,证明

X ~ P ( λ1 ) , Y ~ P ( λ2 ) , P { X = m} = e 即
k

? λ1

λ1m
m!
k

, P {Y = n} = e

? λ2

λ2 n
n!

相互独立性可得 性可得: 令 Z = X + Y ,且由 X , Y 的相互独立性可得:

P { Z = k} = P { X + Y = k} = ∑ P { X = i , Y = k ? i} = ∑ e ? λ1
m =0

λ1i
i!

? e ? λ2

i =0

( k ? i )!

λ2 k ? i

e ? λ1 e ? λ2 = k!


(λ + λ ) k! ∑ i !( k ? i ) ! λ1i λ2k ?i = 1 k ! 2 e ?(λ1 +λ2 ) , k = 0,1, ... i =0
k k

Z = X + Y 服从参数为 λ1 + λ 2 的泊松分布


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