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云南省昆明第一中学2010—2011学年高二数学上学期期末考试 文【会员独享】


昆明市第一中学 2010-2011 学年度第一学期数学(文科)

考试时间 120 分钟
班别_________ 姓名___________ 座号_________ 成绩__________ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分) 。 1.命题“若 A∩B=

A,则 A ? B”的逆否命题是( ) A.若 A∪B≠A,则 A ? B C.若 A ? B,则 A∩B≠A 2. 双曲线 C : A. 4 x ? 3 y ? 0 B.若 A∩B≠A,则 A ? B D.若 A ? B,则 A∩B≠A ( ) D. 5x ? 4 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 16

B. 3x ? 4 y ? 0

C. 4 x ? 5 y ? 0

3.“ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.设 i 为虚数单位,则 A.-2-3i
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5?i ?( ) 1? i
B. -2+3i C. 2-3i D. 2+3i ( )
1 ) 16

5.对抛物线 y ? 4x ,下列描述正确的是 A.开口向上,焦点为 (0,1) C.开口向右,焦点为 (1,0)
3

B.开口向上,焦点为 (0, D.开口向右,焦点为 ( )

1 ,0) 16

6.曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.120°

7.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为( ) A、

3 2

B、

3 4
x

C、

2 2

D、

1 2


8.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C. (2,??)



D. (1,4)

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 15, 则点 P 到点(-5, 0)的距离是 9. 双曲线 ( 16 9
A.7 B. 7 或 23 C. 23 D. 9



10.若函数 y ? x 3 ? ax(a ? 0)在区间 [1 , ? ?) 上是增函数,则 a 应满足( A. a >3 B. a ≥3 11.下列说法错误 的是 .. C.0< a ≤3 D. a >0 (





A.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题.
2 B. 若“ p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 ”,则“ ?p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0 ”

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” D.特称命题 “ ?x ? R ,使 ?2 x ? x ? 4 ? 0 ”是真命题.
2

12.设双曲线 率等于( A. 3 )

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 2 a b

B. 2

C. 5

D. 6

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.物体的运动方程是 s ? ? t ? t ? 20 ,则物体在 t=2 时的瞬时速度为_____.
3 2

1 3

14. (i ? i ?1 )3 的虚部为______________.

15 . 已 知 椭 圆

x2 y2 ? ?1 ,焦点在 y 轴上,若焦距等于 4 ,则实数 10 ? k k ? 2

k?



16.已知函数 f ( x ) 是 R 上的可导函数,且 f ?( x) ? 1 ? cos x ,则函数 f ( x ) 的解析式可以为 (只须写出一个符合题意的函数解析式即可) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤) ; 17.(本小题 10 分)如图是抛物线形拱桥,当水面离桥顶 4m 时,水面宽 8m; (1) 试建立坐标系,求抛物线的标准方程; (2) 若水面上升 1m,则水面宽是多少米?

4m

8m

18.(本小题 12 分) 双曲线 C 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有共同焦点,且过点 ? 0, 2 ? . 144 169

(1)求双曲线 C 的方程。 (2)并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率。

19. (本小题 12 分) 一个体积为 72cm 的长方体带盖的盒子,其底面两邻边长之比为 1 : 2 。 (1)设底面较短的边长为 xcm ,表面积为 S 。求 S ( x) 的解析式。 (2)求盒子的长、宽、高各为多少时,其表面积最小?
3

20. (本小题 12 分) 设命题 P:双曲线
y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (2,3) ; 2 3m
3 2

命题 q:函数 g ( x) ? x ? mx ? ( m ? ) x ? 6 在 R 上有极值,求使 “ p ? q ”为真命题的实数 m 的取值范围。

4 3

21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? 2 x ? a , x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点. 3
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)若当 x ? [1, 3] 时, f ( x ) ? a ?

2 恒成立,求 a 的取值范围. 3

22. (本题 12 分) 已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2) ? y ? 64 (F 为圆心)上
2 2

一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I)求动点 P 的轨迹方程; (II)是否存在过点 E(0,-4)的直线 l 交 P 点的轨迹于点 R,T, 且

y

B

??? ? ??? ? 16 满足 OR ? OT ? (O 为原点) .若存在,求直线 l 的方程;若不存在, 7
请说明理由.

P
-2

x F

AO

(第 22 题图)

昆明市第一中学 2010-2011 学年度第一学期 数学(文科)
一、 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案

的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分) 。 题号 答案 二、 13,0 1 C 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C 11 D 12 C

填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 14,-8 15,8 16, f ( x) ? x ? sin x ? c ( c 为常数)

三,解答题 17.解:如图建立平面直角坐标系, 设抛物线的标准方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , 由已知条件可知,点 B 的坐标是 ( 4,?4) , 代入方程得: 4 2 ? ?2 p ? (?4) ,即 p ? 2 抛物线标准方程是 x 2 ? ?4 y (2)若水面上升 1m,则 y ? ?3 代入 x 2 ? ?4 y ,得
x 2 ? ?4 ? (?3) ? 12 , x ? ?2 3 .所以这时水面宽为 4 3 m

18解:椭圆

x2 y2 ? ?1 的焦点是 ? 0,-5 ? 、 ? 0,5 ?,焦点在y轴上 144 169 y2 x2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? o ? a b 19. 解 : 又因为双曲线过点 ? 0,2 ?,把这个点代入方程可得a 2=4 b 2=25 ? 4=21 y2 x2 ? ?1 4 21 双曲线的实轴长为4,焦距为 10,离心率为2.5 所以双曲线的方程为

(1)设底面较短的边长为 xcm ,则另一边为 2 xcm

72 36 ? , 2 x2 x2 36 36 216 2 2 表面积为 S ,则 S ? 2(2 x ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ) ? 4 x ? , x x x 216 8 3 ' ' (2) S ? 8 x ? 2 ? 2 ? x ? 27 ? 令 S ? 0 ,则 x ? 3 , x x
又箱子高为 h ,则 h ?
' ' 且当 x ? 3 时, x ? 3 时 S ? 0 ,当 x ? 3 时, S ? 0 ,

∴在 x ? 3 时, S 取极小值,也就是最小值 ∴当底面边长为 3cm,6cm ,高为 4cm 时,长方体箱子表面积最小值为 108 20 解:∵双曲线
y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (2,3) , 2 3m

? 2 ? 3m ?9 16 ?4 ? ?2?m? ∴? 2 3 ? ?3m ? 0
∵函数 g ( x) ? x ? mx ? ( m ? ) x ? 6 在 R 上有极值,
3 2

4 3

∴ g ?( x) ? 3 x ? 2mx ? m ?
2

4 ? 0 有两个不同的解 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,即△>0。 3

由△>0,得 m<-1 或 m>4。 要使“ p ? q ”为真命题,则 p,q 都是真命题,



16 ? 16 ?2 ? m ? , 解得:4 ? m ? . 3 ? 3 ? ?m ? ?1或m ? 4
4?m?

16 3 ' 2 21 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2bx ? 2 .
. ?m 的取值范围为:

∵ x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点,

3 . 2 2 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? 2 . ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 (??, 1) , (2, +?) .
2 ∴ x ? 2 是方程 x ? 2bx ? 2 ? 0 的一个根,解得 b ?

(Ⅱ)∵当 x ? (1, 2) 时 f ' ( x) ? 0 , x ? (2,3) 时 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在(1,2)上单调递减, f ( x ) 在(2,3)上单调递增. ∴ f (2) 是 f ( x ) 在区间[1,3]上的最小值,且 f (2) ? 若当 x ? [1, 3] 时,要使 f ( x ) ? a ?
2

2 ?a . 3

解得 0 ? a ? 1 .

2 2 2 2 2 2 恒成立,只需 f (2) ? a ? 即 ?a ?a ? , 3 3 3 3

22 解: (1)由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8. 故|PA|+|PF|=8>|AF|=4 ∴P 点轨迹为以 A、F 为焦点的椭圆.

x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ? p点轨迹方程为 x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)假设存在满足题意的直线 L.易知当直线的斜率不存在时, OR ? OT ? 0 不满足题意. 故设直线 L 的斜率为 k , R(x1 , y1 ), T(x2 , y2 ) .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 16 16 ? OR ? OT ? , ? x1 x2 ? y1 y2 ? . 7 7

? y ? kx ? 4 ? 由? x 2 y 2 得(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 16 ? 0. ?1 ? ? ?16 12
1 由? >0得,(-32k ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ?16 ? 0解得k 2 ? . ????①. 4 32k 16 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

? y1 ? y2 ? (kx1 ? 4)(kx2 ? 4) ? k 2 x1x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ?16.
故x1 x2 ? y1 y2 ? 16 16k 2 128k 2 16 ? ? ? 16 ? . 解得k 2 ? 1. ②. 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 7

由①、②解得 k ? ?1. ?直线 l 的方程为y= ? x ? 4.

故存在直线 l : x ? y ? 4 ? 0或x ? y ? 4 ? 0 满足题意.
[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率.

选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明: 由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的地 方.


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