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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件:第3章 椭圆 第一课时参考课件2


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圆的轨迹定义是如何定义的? 到定点的距离等于定长的所有点的集合,叫 圆.这就是圆的轨迹定义.

问题: 将一条绳子的两端固定在同一个定点 上,用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直,围 绕定点旋转,笔尖形成的轨迹是一个圆.

O

如果我们将绳子的两端分别固定在两个定点上, 再来画,会得到怎

么样的图形呢?

其实我们可以得到的是另一种图形:椭圆.

F'

F

定义

我们把平面内到两个定 点F1 , F2的距 离之和等于常数 (大于 F1 F2 )的点的 集合叫作椭圆 .
焦点: 两个定点F1 , F2叫椭圆的焦点 焦距: 两焦点F1 , F2间的距离

分析推导

y

给定椭圆, 焦点为F1 , F2 , 焦距 F1 F2 ? 2c
椭圆上任意一点到两焦 点距离之和等于 2a(a ? c).
F1 O M(x,y) x F2

如右图建立直角坐标系 , F1F2为x轴, 线段的 中垂线为y轴, 则焦点F1 , F2的坐标分别为 (?c,0), (c,0).

设M ( x, y )椭圆上任意一点 ,由椭圆定义知: MF1 ? MF2 ? 2a
而 MF1 ? ( x ? c) ? y , MF2 ? ( x ? c) ? y
2 2 2 2

故有 ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a
2 2 2 2

平方后再整理后得: (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? (a 2 ? c 2 )a 2 x y 再可化为: 2 ? 2 2 ? 1 a a ?c
2 2

令b 2 ? a 2 ? c 2可以使方程变得简单整 齐, 在今后讨论椭圆的几何 性质时, b还有明 确的几何意义 .

而由椭圆定义知 a ? c, 所以a 2 ? c 2 ? 0. 令b ? a ? c , 其中b ? 0, 代入上式, 得 :
2 2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

2

x y 椭圆的标准方程: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 焦点坐标是 F1 (?c,0), F2 (c,0)
都是方程 强调 两重含义: (1)椭圆上任意一点的坐标 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的解. 2 a b x2 y2 (2)以方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的解为坐标的点 a b 都在椭圆上 .

2

2

y

注意:
F2

如果椭圆的焦点在 y轴上, 如图, 其焦点 坐标为F1 (0,?c), F2 (0, c) 则其标准方程是: y2 x2 2 2 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 其中 b ? a ? c . 2 2 a b
O

M x

F1

例题讲解
例1、已知B, C是两个定点, BC ? 8, 且?ABC的周长 等于18, 求顶点A运动时满足的一个方程. 解 :由已知 AB ? AC ? BC ? 18, 得 :

AB ? AC ? 10.

由定义可知点 A的轨迹是一个椭圆 ,且 2c ? 8,2a ? 10,即c ? 4, a ? 5. 所以b ? a ? c ? 9.
2 2 2

如图, 建立平面直角坐标系 , 使x 轴经过B, C两点, 原点O为BC的 中点. 当点A在直线BC上,即y ? 0时, A, B, C三点不能构成三角形 .因此, 点A满足的一个方程是: x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 9
B
-1

y

A

O

1

C

x

学生练习 判定下列椭圆的焦点所在坐标轴,并指 明a、b,写出焦点坐标
x2 y2 ? ?1 25 16 2 2 x y ? ?1 144 169
答:在 x 轴。(-3,0)和(3,0) 答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5) 答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

x2 y2 ? 2 ?1 2 m m ?1

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:

焦点在分母大的那个轴上。

满足几个条件的动点的轨迹叫做 椭圆?
? [1]平面上----这是大前提 ? [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之 和是常数 2a ? [3]常数 2a 要大于焦距 2C

MF1 ? MF2 ? 2a ? 2C

[二]椭圆的标准方程[1]
x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示:
F1
2 2

y M

0

F2

x

[1]椭圆的焦点在x轴
[2]焦点是F1(-C,0)、F2(C,0)

[3]C2= a2 - b2

[二]椭圆的标准方程[2]
y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:[1]椭圆的焦点在y轴
2 2

y F2 M x F1

[2]焦点是F1(0,-C)、
F2(0,C)

[3]C2= a2 - b2

[1]给出椭圆标准方程,怎样判断焦点 在哪个轴上 答:在分母大的那个轴上。


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