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高中数学奥赛辅导系列-二次函数与方程、不等式

时间:2012-03-17


二次函数与方程、不等式
基础知识: 基础知识: 一、二次函数 1. 定义:形如 y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )的函数叫二次函数.
2

2. 二次函数的有关性质 ① 开口方向 ?

?a > 0时,开口向上 ?a < 0时,开口向下

② 对称轴方程

/>x=?

b 2a

③ 定义域 ? 3. 图象

?自然定义域:R ?指定定义域:D

y

y

a>0

a<0

0
x=?
4. 二次函数的解析式 ① 一般式: y = ax 2 + bx + c

x
b 2a

0
x=? b 2a

x

② 顶点式: y = a ( x ? m) 2 + n ,其中(m,n)是二次函数图象的顶点 ③ 交点式: y = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,其中 x1,x2 是一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两实
2

根. 二、二次方程 1. 当 f ( x ) = ax 2 + bx + c 中, f ( x ) = 0 时,即得到二次方程

ax 2 + bx + c = 0
其解的几何意义即为二次函数的图象与 x 轴的交点横坐标. 2. 根的判别式 ? = b ? 4ac
2

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? >0 时,方程有两个不相等的实数根; ? =0 时,方程有两个相等的实数根; ? <0 时,方程无实数根,但有两个共轭的虚数根.
3. 根与系数的关系(韦达定理)

x1 + x2 = ?

b a

x1 x2 =

c a

4. 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件

ax 2 + bx + c = 0 ( a > 0 )
若有二根 x1 > 1 , x2 < 1 则 f (1) < 0 若有二根 x1,x2 ∈ (2,3)

? f (2) > 0 ? f (3) > 0 ? ? 则 ?? ≥ 0 ? ?? b ∈ (2, 3) ? 2a ?
三、一元二次不等式 一元二次不等式 ax + bx + c > 0 (或<0)的解集,即函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的自变
2

量的取值范围,使其函数值 f ( x ) > 0 (或<0)的自变量的取值范围. y a>0 y y

0

x1

x2

x

0

x0

x

0

x

?>0
例题: 例题: 1. 选择题

?=0

?<0

① f ( x ) = x 2 + bx + c 对任意实数 t 都有 f (2 + t ) = f (2 ? t ) ,那么( A. f (2) < f (1) < f (4) B. f (1) < f (2) < f (4)



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C. f (2) < f (4) < f (1)

D. f (4) < f (2) < f (1)

解:由题意, f ( x ) 的图象关于直线 x = 2 对称,且图象开口向上,画出示意图,由 图象知 f (2) < f (1) < f (4) ,选 A. ② 已知 y = log a ( x ? 2 x ) 在区间 (-∞, 上单调递增, a 的取值范围是 0) 则 (
2 2



A. a > 1 B. ?1 < a < 1 C. a ∈ R 且 a ≠ 0 D. a < ?1 或 a > 1 解:由函数的单调性的定义知: x 在(-∞,0)上增大时,函数值 y 随之增大,故有以下过程:

x:

增大 -∞ ??? 0 →

u = x 2 ? 2 x : +∞ ?减小→ 0 ? ?
故必有 0<a2<1 ∴ -1<a<1 且 a≠0.选 B ③ 已知函数 y=log 1 (x2-6x+7) ,则 y(
2



A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值 C.有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值 解:∵ u=x2-6x+7∈[-2,+∞) 而定义域要求 u>0,即 u∈(0,+∞) ∴ b=log0.5u ∴ b∈(-∞,+∞) .选 D 2. 填空题 ①方程 x 2 ? 2 | x |= a (a ∈ R) 有且仅有两个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 _______. 解:令 y1 = x ? 2 | x | , y2 = a
2

则 y1 = ?

? x 2 ? 2 x( x ≥ 0) ? ,其函数图象如下: 2 ? x + 2 x( x < 0) ?

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思考:a 为何(范围)值时,方程无实数根?有四个实数根?有三个实数根?

2 2 ②关于 x 的方程 x ? 2ax + 9 = 0 的两个实数根分别为 α,β ,则 (α ? 1) + ( β ? 1) 的最小
2

值是_______________. 解:方程有实数根, 故 ? = 4a ? 4 × 9 ≥ 0
2

∴ a ≤ ?3 或 a ≥ 3 又 α + β = 2a,αβ = 9 ∴ y = (α ? 1) 2 + ( β ? 1) 2 = (α + β ) 2 ? 2(α + β ) ? 2αβ + 2 = 4a ? 4a ? 16
2

∵ a ≤ ?3 或 a ≥ 3 ∴ y ≥ 8 (a=3 时取等号) ∴ ymin = 8

3.

已 知 函 数 y = x 2 ? 4ax + 2a + 30 的 图 象 与 x 轴 无 交 点 , 求 关 于 x 的 方 程

x =| a ? 1| +1 的根的范围. a+3
分析:由于图象与 x 轴没有交点, 所以 ? < 0 ,解得 a 的取值范围 又对于每一个 a 值,原方程都是一元一次方程,但由于 a 是变化的,可知,x 是 a 的二 次函数,又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题. 解:∵ y = x 2 ? 4ax + 2a + 30 的图象与 x 轴无交点,所以 ? = ( ?4a ) 2 ? 4(2a + 30) < 0 解得:-2.5<a<3 (1)当 a∈(-2.5,1]时,方程化为 x=(a+3) (2-a) =-a2-a+6∈( 9 , 25 ] 4 4 (2)当 a∈(1,3)时,方程化为 x=(a+3)a=a2+3a∈(4,18) 综上所述:x∈(

9 ,18) 4

4.

设 a,b 为实常数,k 取任意实数时,函数 y=(k2+k+1)x2-2(a+k)2x+(k2 +3ak+b)的图象与 x 轴都交于点 A(1,0) .

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① 求 a、b 的值; ② 若函数与 x 轴的另一个交点为 B,当 k 变化时,求|AB|的最大值. 分析:由 A 在曲线上,得 k 的多项式对 k 恒成立,即可求的 a,b 的值. 解:⑴由已知条件,点 A(1,0)在函数图象上, 故(k2+k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0 整理得: (1-a)k+(b+1-2a2)=0 ∵ 对 k∈ R ,上式恒成立 ∴ 1-a=0 且 b+1-2a2=0 从而 a=1,b=1 y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1) ⑵设 B( α ,0) ,则|AB|=| α -1| 2 ∵(k +k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1)=0 的两个根为 1、 α ,由韦达定理 1? α =

k 2 + 3k + 1 k 2 + k +1

2 整理得: (1 ? α ) k + (3 ? α ) k + (1 ? α ) = 0

α =1 时,得 2k=0 ?k=0 α ≠1 时,∵ k∈ R ,∴ ? ≥ 0
即 (3 ? α ) 2 ? 4(1 ? α ) ≥ 0

5 且α ≠ 1 3 5 综合得: ?1 ≤ α ≤ 3 2 ∴ ?2 ≤ α ? 1 ≤ 3
得: ?1 ≤ α ≤ ∴ |AB|=| α -1|∈[0,2] 即|AB|的最大值为 2. 5.

设实数 a、b、c 满足 a -bc-8a+7=0 …………① 2 2 b +c +bc-6a+6=0 …………② 求 a 的取值范围. 分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只含有 a 的不等式,是解 决本题的关键,仔细分析观察方程组的特点,发现可以利用 a 来表示 bc 及 b+c,从而用韦 达定理构造出 a 为变量的一元二次方程,由 ? ≥ 0 建立 a 的不等式. 解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③ 由①②得: (b+c)2=a2-2a+1 即 b+c=±(a-1) …………④ 由③④得 b,c 为方程 x2±(a-1)x+(a2-8a+7)=0 的两个实数根,
2

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由于 b,c∈R,所以 ? ≥ 0 即:[±(a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0 即:a2-10a+9≤0 得:1≤a≤9 设二次函数 f ( x) = ax + bx + c (a>0) ,方程 f ( x ) ? x = 0 的两个根 x1,x2 满足
2

6.

0 < x1 < x2 <

1 . a

I.当 x∈(0, x1 )时,证明 x< f ( x ) < x1 ; Ⅱ.设函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = x0 对称,证明: x0 <

x1 . 2

分析:由于涉及方程根的问题,故需用韦达定理来分析和解决. 证明: I.令 F(x)=f(x)-x. 因为 x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的根,得 F(x)=a(x-x1) (x-x2) 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2, x-x1<0,x-x2<0 得(x-x1) (x-x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1) (x-x2)>0 即 x<f(x) . 而 x1-f(x)=x1-[x-F(x)] =x1-x+a(x-x1) (x-x2) =(x1-x)[1-a(x-x2)] 因为 0<x<x1<x2< 所以 x1-x>0, 1-a(x-x2)>1-a· 得 x1-f(x)>0 即 f(x)<x1. Ⅱ.依题意知 x0=- b . 2a 因为 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,即 x1,x2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的根, 所以 x1+x2=-
2

1 a

1 >0 a

b ?1 a

x0=- b = a ( x1 + x2 ) ? 1 = ax1 + ax2 ? 1 2a 2a 2a

因为 ax2 < 1 ,所以 x0 <

ax1 x1 = . 2a 2
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7.

若关于 x 的二次方程 7x2-(p+13)x+p2-p-2=0 的两根 α,β 满足 0< α <1 < β <2,求实数 p 的取值范围.

解:设 f(x)=7x2-(p+13)x+p2-p-2

? f (0) > 0 ? 根据题意得: ? f (1) < 0 ? f (2) > 0 ?
? p2 ? p ? 2 > 0 ? 2 即 ?p ? 2p ?8 < 0 ? p2 ? 3 p > 0 ?
解得:p∈(-2,-1)∪(3,4) .

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