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数学奥林匹克高中训练题5


中等数学

数学奥林匹克高中训练题(5)
第一试

c= ̄/02一b2)上,直线z的方程为戈=一一a,

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.若{戈}=戈一[戈]([戈]表示不超过戈的 最大整数),则方程2 数解的个数是(
(A)O (B)1

且点F的坐标为(一c,0),作加

上Z于点Q.
若P、F、Q三点构成一个等腰直角三角形, 则该椭圆的离心率等于( ).

005茗+{戈}_五蒜的实
(c)2 (D)3

(A)安

).

2.COs(—arcc—os
( ).

0—.251-a—rc —os 0.875)等于

(c)掣(D)』掣
5.使得三个数以+5、b一2、a+b是某个
直角三角形的三条边的长度的二元有序整数 对(a,b)的个数是( ). (c)2 (D)3 (A)0 (B)1 6.使得1≤a≤b≤100,且57 06的正整

(B)』尝

(A)譬(B)譬(c){(D)警
3.若ABCD—A787C7D’是一个单位正方

体,M是棱船7的中点,则点M到平面A 7C7D
的距离是(
).

数对(a,b)的个数是(
(A)225 (B)228

). (C)231 (D)234

二、填空题(每小题9分,共54分) 1.设a是一个实数.若对于任何实数菇, 不等式x210殡(02—2a一3)一2x+1I>0恒成

(A)l(B)譬(c)雩(D)4'-3一l
4.设点P在椭圆x+笔=1(口>6>0,
石3。.1兰27“’1(茹I.1+ci。一1筇I.2+…+ G:::戈I.3。一1+菇I.3。)(mod 3).
如果//,为满足条件的数,则对任意(札。,轧:, …,扎,。),均应有 3I(菇3。.I+菇I.I+戈I.3。).q) 而并1.J+茗I.2+…+算1.3n =凡×(0+l+2)=3n. 式①等价于 ②

立,则a的取值范围是——.
取(筇1.I,x1.2,…,戈I.3。)=(0,戈I,2,l,算l。4,…, zI.3。)和(I,髫1.2,0,石1.4,…,并1.3。),这里菇1.2,茗I.4,…, Xl,3n任意取,但要求满足菇I.1,z∽,…,札,。中恰有n 个0,n个1,n个2.分别代入式③,再相减(将被除 数相减)得

3I(23”’鹾川一23”1—1).
注意到



3I[(2抽一‘+1)省1.I+23“一1d。一l茁1.2+…+ 23”1a::;戈∽川+(23”1+1)戈I.3。].
这样,结合式②应有

j鹾州:垒』掣;l(mod
(3n一1)(3n一2)------2(mod 3) 入式③时Xl,3在被除数中出现).
所以./7,=1.

3),

于是,式④变为3I一1,矛盾(注意n≥2用在代

3I[(?一1qH一?”1—1)z1.2+…+ (23“一q”?1--i一23”1—1)扎沁1].


(刘康宁西安铁一中,710Q54)

万   方数据

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2.已知ABCD—A.B。C.D。是一个单位 正方体,0。是底面A。曰。c.D。的中心.M是 棱BB。的中点.则四面体0。ADM的体积等

第二试



一、(50分)如图1,在△ABC中,AB=
AC=3,曰C=2,AD

于——.
3.把三边长分别为3、4、5的三角形绕它 的最大内角的平分线旋转一周所得的旋转体

上BC于点D,BE上 AC于点E,EF上 BC于点F,AD与 BE相交于点日.以

的体积等于——.
4.设口是一个正数.则函数

胛为直径作o 0
分别交HE、肥于
点P、q,延长QJP交


图1

八x)=口sin菇+^c。s髫(一号≤x≤号)
的最大值与最小值之和g(Ct)(Ⅱ>0)的取值
范围是


\|

AH于点K.试求
PQ、HK的长度.



5.对任意的石∈【一詈,号】,不等式
sin2戈+口sin戈+n+3>t0

二、(50分)设k是一个非零实数,口、p 是二次方程∞2—7x+8k=0的两个实根.是 否存在这样的k,使得关系式

恒成立.则实数Ct的取值范围是——.
6.以格点集T={(z,Y)I菇,Y=0,1,2} 中某三个点为顶点的等腰三角形(形状与大 小相同,但顶点不全相同的两个三角形被认

詈+3酽=—7+J蕊'49~-32k
成立?请说明理由. 三、(50分)设凡是正整数.在一个十进 制n位数的各位数字中,若含有数字8,则在 每个数字8的前一位数字就不能是数字3 (即不能出现38字样).试求出所有这样的n 位数的个数.

为是两个不同的三角形)的个数是——.
三、(20分)设x1-3,

钆。=(丢+丢+?)”川
(n=1,2,…).求通项公式%. 四、(20分)在Rt△ABC中,么ACB= 900,BC=口,CA=b(o>0,b>0),点P在边 AB上.沿直线PC把Rt△ABC折成四面体 PABC.试求该四面体体积的最大可能值. 五、(20分)设二元函数 z=以茗,Y)=2x2+3y2—6y 的定义域是 D={(石,Y)13x2+2y2<一7xy,戈、y6R}. (1)求z=“菇,y)(点(菇,Y)∈D)的取值
范围;

参考答案
第一试
一、1.C. 因为戈=[戈]+{戈},所以,


oosE石]+2

0061笫}_志?

又o≤2 006I戈}<2 006,所以,[算]=0或一1.

若㈨=o,则x}-丽1,即戈2丽1;
若㈨=一1测2 0061茹}=2
.、

005+厮1,即

2 005



(2)求所有的实数o,使得在空间直角坐 标系0一xy'z中,曲面z=f(菇,Y)(点(石,Y) ∈D)与另一个曲面三=拶+o(石、Y∈R)
相交.



z}。撕丽+—2 00—62
2 0062—2 006+1

2——页丽厂
2 005X 2 006+1 2 005

2——西丽厂2 1一孤丽<1‘ 故戈=小1-焉=一焉.

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中等数学
2.D.

故筇:旦一2c,’,=旦一c.

原式…

1—

7:)

代入椭圆方程得

(譬)2+(旦字)2乩
即(詈办詈)2+旦≯-l'
即(一1_2e)2+71一l=1.
整理得2(e2)2—3e2+l=0.

:~/7 151
3.C.

|54

3_6

2吖面2



因为o<e2<1,所以,e2=了1,e=譬.
5.A.

如图2,联结

若a+5为斜边,则

BD、酗7、曰C7、露7D.
因为肘为BB7 的中点,所以,点肘 到平面A7c7D的距离 是点曰到平面A7C'D 的距离及点∥到平 面A’C’D的距离之和 的一半.‘

4产卅

/:




j/I念

(口+5)2=(a+6)2+(6—2)2. 整理得2a(5一b)=2b(b一2)一21. 左边为偶数,右边为奇数,矛盾. 若a+b为斜边,则


图2
1 —4 2

C’

(口+6)2=(口+5)2+(b一2)2. 整理得2(曲一5口+26)=29,矛盾. 若b一2为斜边,则 (b一2)2=(n+5)2+(a+6)2. 整理得2(a2+曲+5n+2b)=一21,矛盾. 故满足题目要求的正整数a、6不存在.
6.B.

因为%。。,。=13~4×专×吉×?3=÷,
%“舢=T s出讹,。 %“舢=了1 s出讹,?DD’=了1×丁1DD ’2可×万×3=言,
所以,‰ v8一vc,n+V扎r㈨
^’C’D—

×13=吉,

显然57=3×19. 下面进行分类计数. (1)若57 n,则a=57,b=57,58,…,100,即

c,)2 sin600:4i3,故点M到平 而s出F。:虿1(A7 面A’C'D的距离为 ‰“舢

(口,b)有100—56=44个. (2)若57I b,且571-口,则b=57,a=l,2,…,56, 即(a,b)有56个. (3)若3
a,19



告5一。。2‘
4.A.

b,且n≠57,b≠57,则a=3x,

b=19y,茗、y均为正整数,且3x≤19y≤100,x≠19,
,,≠3,即
Iy

如图3,设71为直 线Z与茹轴的交点,作 PR上并轴于点尺.由题 意知

.彤 7、一
图3


、Q

— ~尸

ry=1,2,4,5, ≠19.

么PFO=时,
PF=qF.PQf}戳.
则TF=pr=PR
=FR.

弋 .乡一:

≤并≤[萼,,】
故(口,b)的个数=(x,y)的个数 =6+12+(25—1)+(3l—1)=72. (4)若191
o,3I

b,且a≠57,b≠57,则a=19x,

从而,有),=Ⅳ+c=一c+÷(其中,P(x,),)’
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b=3y,且19x≤3y≤100,石≠3,y≠19,z、,,均为正 整数,即

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r髫=1,2,4,5,

29

如图5,CD是 么ACB=90。的平分线, 点D在AB上,作出点A 关于CD的对称点A。,


¨≠19,

【l+【了19z】≤y鲫.
故(o,6)的个数=(茁,y)的个数 =(33—6—1)+(33—12—1)+(33—25)
+(33—31)
=56.


M.与cD的延长线交
于点E,则旋转体的体 积等于△ACD绕CD旋 转一周所得的体积,即

图5

总之,符合题目的正整数对(口,b)的个效为
44+56+72+56=228.

y:百1 7c.A酽(CE—OE)


二、t.,一34≤。<一-g戈3<a…警。
由题意得
rn2—2a一3>0,

=号(4sin例2?CD=警×4×蕊s石in A硐
32√2丁c




{109(82—2a-3)>0,
[zx=4-410醚(口2—2口一3)≤o
r0<n2—2a一3<1,

4.0,T1).

铮Il嚼(口2—2。一3)>11

删<n2—2口一3≤专 科<口2—2n+l≤导

以并):瓜sin(石+驴)(一号≤戈≤号), 鼽妒…in焘一n志
这时,有

首先,有

学磐<(a-i)2≤(隽)2. 当n>l时,2<n—l≤完,即3<Ⅱ≤l+历3; 当口<1时,2<1一n≤杰,即l一历3-<~。<一l
,1

一号+arcsin志≤z+妒 ≤号+测n志
当x=号一妒=号一嬲访‘7杀(x∈【一号,号】)
时,八x)取得最大值为 ̄/口2+n. 为求八茗)的最小值,只要考虑石+妒<0.这时,

“8。

如图4,易知AC 上平面D.B。BD.设 0为面ABCD的中 心.则AO上平面 DO.M.于是,
nⅧ.M
AI
昼t



当茗+妒=一号+删n‘志闱茗=
八石)取到最小值一d 由以上可知

号时,

=@S,szwJIM"AO =了1×吉(2一-一{)=吉.

g(d)2、,厂而一d2:i彘
故g(。)的取值范围是(o,虿1).
5.口≥一2

图4

={(t。压一z×{×-×譬一丁1×T1×譬)×譬

2赤∈(嘞…>0)

3.挚.
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令以并)=sin"并+asin并+a+3,贝0

30

中等数学 于是,船。+I=(凡+2)a。+n,

八石)=(sin算+号)2+n+3一百a2≥o. 因为戈∈[一詈,号】,所以,sin戈∈[一百1,l】.

所以,型:旦蝗.
a。 n

n(a。+J一1)=(n+2)%. ①

令£=sin茗,则一丢≤£≤1. 令g(t):(c+号)2+3+口一鲁2.
g(t)=(t+号)2一百O,2+Ⅱ+3 在【一i1,l】上的最小值大于或等于o,这等价于

由式①及等比定理得
Ⅱ。+l一1+扎+2
nn+n —

n+2




即坠!±一旦旦:盟.
on+n n



由式②得
n。+I+n+1
an+n —

n+2


an+,l

n+1

’口n—l+n一1一,l一1’

{ia≥:1或{l≥嚣L或{菇二’
甘B要引薹篓’或眨》去,
在图6中,共有6 个不同的格点正方形, 每个格点正方形有4 个等腰直角三角形,因 此,共有6×4=24个等 腰三角形. 另外,有4个形状 大小如△AOD的等腰 三角形,有4个形状大 小如A ADQ的等胺二角彤,还有4个彤状大小如 △AQR的等腰三角形,且无别的类型的等腰三角形. 总之,共有24+3×4=36个等腰三角形. 三、由题意得

竺!=!±!二!一—旦…业一二生业一j兰
a。一2+n一2一n一2’ ’a2+2—2’ⅡI+l—l

将以上11,个式子两边分别相乘得
(n+2)!
n。+l+11,+l




a.+1

n!



(n+2)(凡+1)



即an+l=2(n+2)(n+1)一n—l=(n+1)(2n+3). 故口。=n(2n+1)(忍≥1). 从而,石。=11.a,。=n2(2n+1).

※※ 泼X
p 图6

注:本题也可以先猜出%的公式(答案),然后 运用数学归纳法证明 四、记四面体 PABC的体积为P. 如图7,作PD上AC 于点D,BEJ_PC于 点E.则



y≤了1 l i1

PD懈).BE图7

=告肋?捌n口=警PDsin j =警肋sin(90。一妒)=警肋cos妒.
当且仅当面PBC上面PCA时,上式等号成立. 在△PAC中,由AD+DC=6,得

X:翼兰二掣.戈。+凡ln+I


=—————r—一‘戈n+凡+l
^n

:i旦二生!皇』型.戈。+凡+12


r¨T

=(川)(掣rt%+?).


PDcot口+PDcot妒:6,其中,cot口:上. 口


则PD:T—生一,


令%=加。,则

(川h驴(川)(孚弧+1), 即%=宰弧“
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y≤警?产=譬?罴
——十eot∞

i 1。”‘妒

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:丛./!堡翌
2 2 口2

T。砺霄萧萄丽荷
b2 1

T√万i薪

≥m是=一嘉

当且仅当扭3,x-而3t
等号成立.

=西9,y=执=西27时,

令石=tan妒(戈>0),

以戈)-(1

q_2)(6+詈)2

由以上讨论可知f(茄,Y)的取值范围是

[一嘉,+m).
(2)曲面z=/(菇,y)((z,y)∈D)与z=彬+a (x、y∈R)相交
戈‘4

:62戈2+2口6x+。2+62+呈!!+。a2

>13~协+3~衙+Ⅱ2+62
=(。号+6号),.

:(6。戈2+譬+警)+(如+如+《)+nz+6z
算 咒

§方程以石,Y)=形+口((茹,Y)∈D)有实数解
铮2石2+3y2—6y=xy+Ⅱ((戈,y)∈D)有实数解 (戈,Y) f2算2+3t2戈2—6tx=Ix2+口. 有实数解(算,f)

故y≤譬。南≤譬‘赢
2百。舀孺‘

n2

当且仅当戈=√詈时,上式等号成立.

铮l{≤z≤3

r(3t2一£+2)x2—6tx—n=0,

b2

舒i百1≤f≤3

有实数解hJ)

f△=36t2+4(3t2一t+2)n≥0,

当且仅当面PCBl 时,上式等号成立.

PeA,且tan妒=(詈)了

铮1{≤。≤3
【{≤t≤3

有实数解£

从而,四面体体积的最大值为
1. 6
a2

b2

a号+6号)吾‘

五、(1)当石=0时,2y2≤0,Y=0,

以戈,Y)=以0,0)=o;

f。≥高(显然3几Ⅲ>o), 铮。≥一s廿悬({≤t≤3).
令幽)=≠毛(丢≤阑).
欲求g(t)l鬟J最大值,只须考虑2<t≤3这一情 形(否则g(t)≤0,不可能是最大值).

当x≠o时,2(_茗22)2—7×詈+3≤o,即

(考一{)(÷一3)≤o.
解得{≤上≤3.



令舌=t,则吉≤f≤3,y=红,
以z,Y)=3t2并2+2x2—6tx =(3t2+2)龙2—6tx =聋[(3t2+2)x一6t]. 先固定t,让x变化.

g“)-茹百万{而
令t一2=k(0<k≤1),则

显然,当z一一∞或+∞时,火茁,,,)一+∞.

2确。司可莉
≤习两浑丽-一1
(因为饵一几0'且关于^严格递减).

2丽3k



2+ llk +

+f +旱1 12。iII冈3k万



当z=五毛时,以茗,y)取得最小值.

以”)=嵩一3+焘
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中等数学

当且仅当k=1时,上式等号成立.

故g(£)的最大值为去. 从而,n≥一3—39(f)≥一是. 所以,n的取值范围是口≥一黑.
第二试
一、如图8,联结 DE.则
BD=DC=DE

=莉CO而6 tz?印=丽COS。t?印=巫108.
显然,么船H=gHFQ=90。一y,
么KHP=么BHD=90。一口.

~KP:∞sin(90。-a):一COS t2:颦 故即:挈.Ktt.
在△KHP中,由正弦定理得
‘1

KH—sin(90。一y)一c08),一乏r~‘ ①

由割线定理得即?KQ=KH?KD,则

即(艘+加)=KH(KH+liD).

=I BC=1. 记么CEF=么EBC =么BED=么BAD= 么CAD=Ct.则

故∥+肛‘击√竿=Ktl2+KH‘砺1.②
把式①代人式②得

丽473删.+等×击√警脚=KH2+譬捌,

锄a


CD



2丽。了,
图8

署脚=等(t一4茹73)KH=淼脚.

c08

2a=1—2sid口


故KH=致441丽×474互=了329矿q'2.
综上所述,得

。可, D/,=DEsin么DEF=1×sin(900一2a)
=cos

明=镒,KH=警.
编者注:本题也可由相似三角形出发,利用正弦 定理及正切公式求解. 二、这样的非零实数k必存在.理由如下: 假设满足题意的非零实数k存在.由韦达定理 得口+p=7,筇=8k.则 口2+J酽=(口+卢)2—2印=49~16k, (口~p)2=(a+卢)2—4q19=49—32k,

2口=吾.

又因为t釉口=面CD=7舞=历1,所以,
HI)=肋劬口=麦,

脚=/面尹丽=√吉+筹=等.
联结ttQ、OQ.

I口一口I=∥万j甄.

因为么D即=90。,所以,LDHQ=90。.
记么HFB=y,则

记A=詈+3/,B=丢+3a2.则




’’

sin),=而HD=历1×丽36=1而9,
cos

y=俪=√曩=,4√南.

’4+口=2({+百1)+3(口2+∥)

=2×学+3(口2+妒)
=2

2a-HD=佩一麦=等, PQ=端’EQ=硒sin(90。-ct)?EQ
又EQ=EF—QF=EF—HD
=EDsin

x磊+3(49—16k)=磊一48||}+147,

A—B=2({一百1)+3(/一a2)

在△EPQ中,由正弦定理得

=±痢(去+21).

=(卢一乜)【劢2+3(口+训

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则2A=磊一48t+147±厕(击+21),即
7+v'丽-32k

因此,满足题意的非零实数蠡(o<I|}<瓦49)必
存在. 三、考虑满足条件的it/,+l(/1,≥1)位数的个数 ‰+。,分以下两种情形. (1)当个位数字不是8时,前几位数有%种取 法,个位数字有9种取法,从而,该//,+1位数有9‰ ② 种取法.

=47_|}一48k+147±厕(矗+21).①
4七

假设卢≥a,则式①中等号右边的根号前取正 号.这时,式①变为 21 ̄/49—32k=48k一147. 令16k=t,则式②变为
21

(2)当个位数字是8时,可分成如下三类:

4./万-22t=3t一147=3(t一49).

回国…回国(各位数字全是8),

从而,t>,49,但49—2t≥o,f≤掣,矛盾.
所以,口>口. 这时,口一口=一
7+
4七

。——忑丽一

目叫匿J圈gt+I/位国旦:::旦雪,
^一k'lg.t-个(I‘I‘n—I)

32k,式①变为

匪亘圜国 …固….,。t,=?= .its
数的个数是
32k.

=了

32k

由此可知,个位数字为8的n+l位允许的正整

=磊一48七+147一王塑4三k坐一2l 即(矗+21)4v/丽-2-32k=一48k+147.
若七≥0。令

I+7+∑8nn一^=8+8∑%I.
由(1)和(2)得 O,n+l=9a。+8+8(口l+o.2+…+‰.I) =8+%+8(口l+02+…+a。). 由式①得 ‰+2=8+%+I+8(口l+az+…+%+t). 由②一①得
an+2一an+I=an+I一口n+80n+I,

故/丽蕊(1+42蠡)=2七(147—48k).③



O≤m≤7,七=4可9--m2.
代入式③得 哥3(4矿一m4)=2

-32k=m,则



宰(-…x譬)=m(…42譬)
等(147+3,,12)(49一m2)=m(2 090—42m2)
090m一42m3



‰+2=lOan+I一口。(n=1,2,…). 易知口l=9,n2=9al+8=81+8=89.



由式③知‰=a(5+2√石)8—1+n(5—2√石)“’1, 其中,A、B为待定常数,则

芍3m4—42m3+2090m一7 203=O(0≤m≤7). ④

令以m)=3m4—42m3+2
≤7),则 leO)=一7
203<0,

090m一7

203(o。<m

』“肚9'
【(5+2√石)A+(5—2√石)B=89.

解得A-—2 +—9~/-6。宙=—-2 +—9幅246
203

2,/6.

“7)=7 203+7(2 090—42x49)一7 =7(2
090—2

058)=7×32>0.

飙。=警(5+衙~警(5-2-]6)川.
这就是符合题意的n位正整数的个数. (吴伟朝
510006)

从而,以O)f(7)<0.
由此可知,必存在一个数m(O<m<7),使式④ 成立.从而,使式③成立的非零实数蠡存在.所以,使 式①成立的非零实数k存在.

广州大学数学与信息科学学院,

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数学奥林匹克高中训练题(5)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 吴伟朝, WU Wei-chao 广州大学数学与信息科学学院,510006 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2006,""(6) 0次

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