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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第29讲 数列的概念与通项公式


1.了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是自变量为正整数的一 类函数. 3.会用观察法、递推法等求数列的 通项公式.

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1.数列的概念

(1)数列是按一定① 顺序 排列的一列数, 记作a1,a2,a3,…,an,…,简记{an}. (2)数列{

an}的第n项an与项数n的关系 若能用一个公式an=f(n)给出,则这个公式 叫做这个数列的② 通项公式 .

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(3)数列可以看做定义域为N*(或其子 集)的函数,当自变量由小到大依次取 值时,对应的一列函数值,它的图象是 一群③ 孤立的点 . 2.数列的表示方法 数列的表示方法有:列举法、图示法、 解析法(用通项公式表示)和递推法 (用递推关系表示).
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3.数列分类 (1) 按 照 数 列 的 项 数 分 ④ 有穷数列 、 无穷数列 . (2)按照任何一项的绝对值是否超过某 一正常数分:⑤ 有界数列 、 无界数列 . (3)从函数单调性角度考虑分:递增数 列、⑥ 递减数列、常数列、⑦ 摆动数列 . 4.数列通项an与前n项和Sn的关系 (1)Sn=a1+a2+a3+…+an; S1(n=1) (2)an=⑧ . Sn-Sn-1(n≥2)

1.下面四个结论: ①数列是以正整数集或其真子集为定义域的函数; ②数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列通项的表示是唯一的. 其中正确的是( A.①② C.①②③ ) B.①③ D.①②③④

【解析】①②显然正确,数列的项数可以是有限的,也可 以是无限的,故 ③不正确;数列 1,0,1,0,?的通项 an =
?0 ? ?1

?n为正偶数? 1 + ,或 an=2[1+(-1)n 1],n∈N*,故④也不 ?n为正奇数?

正确.

2.若某数列{an}的前四项为 0, 2,0, 2,则下列各式: 2 ①an= 2 [1+(-1)n]; ②an= 1+?-1?n;
? 2 ?n是正偶数? ③an=? . ?0 ?n是正奇数?

其中可作为数列{an}的通项公式的是( A.① C.②③ B.①② D.①②③

)

【解析】将 n=1,2,3,4 分别代入各式,都有 a1=0,a2= 2, 3=0, 4= 2, a a 故①②③均可作为数列{an}的通项公式.

3.在数列{an}中,其通项 an=3n2-28n,则数列各项中最 小的项是( A.4 C.6 ) B.5 D.7

14 2 196 【解析】因为 an=3(n- 3 ) - 3 ,而 n∈N*, 则当 n=5 时,an 取最小值,故选 B.

an- 3 4.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= (n∈N*),则 3an+1 a4= 0 .

【解析】 a1=0, a1- 3 - 3 a2= = 1 =- 3, 3a1+1 - 3- 3 -2 3 a3= = = 3, -2 3×?- 3?+1 3- 3 a4= =0. 3× 3+1

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn=3+2n, 若 则数列{an} 的通项公式为
?5 an=? n-1 ?2

?n=1? ?n≥2?

.

【解析】当 n=1 时,S1=a1=3+21=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1. 又 a1=5 不适合上式,
?5 ?n=1? 故 an=? n-1 . ?n≥2? ?2




用观察法写数列的通项公式

【例 1】根据下列数列的前几项,写出它们的通项公式: (1)1,-1,1,-1,?; (2)2,5,10,17,?; 1 1 5 13 29 (3)2,4,-8,16,-32,?.

【解析】(1)an=(-1)n 1 或 an=cos(n+1)π. (2)将数列各项分别减去 1,则得数列 1,4,9,16,?, 则 an=n2+1. 2n-3 (3)an=(-1)n 2n .



【点评】已知数列的前 n 项,写出数列的通项公式, 主要从以下几个方面来考虑: n n+1 n-1 (1)符号用(-1) 与(-1) (或(-1) )来调节,这是因 为 n 和 n+1 奇偶交错. (2)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充 分借助分子、分母的关系. (3)对于比较复杂的通项公式,要借助等差数列、等比 数列(后面将学到)和其他方法来解决. (4)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要 靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转 化为等差或等比数列)等方法.

素材1

2an 有一数列{an},a1=a,由递推公式 an+1= ,写出这 1+an 个数列的前 4 项,并根据前 4 项观察规律,写出该数列的一 个通项公式.

【分析】 可根据递推公式写出数列的前 4 项,然后分析每一项

与该项的序号之间的关系, 归纳概括出 an 与 n 之间的一般规律, 从而做出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式.

2an 【解析】 因为 a1=a,an+1= , 1+an 4a 1+a 2a 2a2 4a 所以 a2= ,a3= = 2a =1+3a, 1+a 1+a2 1+ 1+a

8a 1+3a 2a3 8a a4= = 4a =1+7a. 1+a3 1+ 1+3a xa 观察规律:an= 形式,其中 x 与 n 的关系可由 n 1+ya =1,2,3,4 得出 x=2n 1.而 y 比 x 小 1, 2n 1a 所以 an= . - 1+?2n 1-1?a
- -

【点评】从特殊的事例,通过分析、归纳,总结出一般规 律,再进行科学的证明,这是创新意识的具体体现,这种 探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引 起足够的重视.



利用数列前n项和公式求通项
【例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,分别求其

通项公式. (1)Sn=3n-2; 1 (2)Sn=8(an+2)2(an>0).

【解析】(1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n 1-2) =2·n 1. 3 由于 a1=1 不适合上式,因此数列{an}的通项公式为
?1 an=? n-1 3 ?2·
- -

?n=1? . * ?n∈N ,且n≥2?

1 (2)当 n=1 时,a1=S1=8(a1+2)2,解得 a1=2. 1 1 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=8(an+2) -8(an-1+2)2, 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0, 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0, 又 an>0,所以 an-an-1=4, 可知{an}为等差数列,公差为 4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 4=4n-2, a1=2 也适合上式,故 an=4n-2.

?S 1 ?n=1? 【点评】本例的关键是应用 an=? 求数列的通 ?Sn-Sn-1 ?n≥2?

项,特别要注意验证 a1 的值是否满足“n≥2”的通项公式;同 时认清“an+1-an=d(常数)(n≥2)”与“an-an-1=d(d 为常数, n≥2)”的细微差别.

素材2

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n,则数列{an}的通 项公式是 an=6n-5 .

【解析】当 n=1 时,S1=a1=3×12-2×1=1, 当 n≥2 时, n=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] a =6n-5, 又 a1=1 适合上式,故 an=6n-5(n∈N*).

三 已知数列的前n项和Sn与an的递推关系, 求通项公式.
【例 3】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1 =Sn+3n(n∈N*). (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an(n∈N*),求 a 的取值范围.

【解析】(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3 ,由此可得 Sn+1-3
n n+1

=2(Sn-3n),

当 a≠3 时,{Sn-3n}是以 a-3 为首项,2 为公比的等比 数列, 因此所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)·n 1(n∈N*). 2 当 a=3 时,Sn=3n,bn=Sn-3n=0 满足上式. 综上,所求通项公式为 bn=(a-3)·n 1(n∈N*). 2
- -

(2)由(1)知,Sn=3 +(a-3)· 2 于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1

n

n-1

(n∈N*),

=3n+(a-3)·n 1-3n 1-(a-3)·n 2 2 =2×3n 1+(a-3)·n 2, 2
- -





-2

所以 an+1-an=4×3 =2
n-2

n-1

+(a-3)· 2

n-2

3 n-2 [12×(2) +a-3].

因为 an+1≥an, 3 n-2 3 n-2 所以 12· ) +a-3≥0,a≥3-12·2) , (2 ( 由 n≥2 知 a≥-9.又 a2=a1+3>a1, 综上所述,所求 a 的取值范围是[-9,+∞).

【点评】转化是数列中最基本,最常用的解题策略,本例中 an 与 Sn 之间的转化,an+1≥an 对?n∈N*恒成立与最值转化充 分说明转化是问题探究的有效成功途径.

素材3

?n+1?an 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,且 Sn= 2 .求 证:数列{an}为等差数列.

【分析】 要证明数列{an}为等差数列,可先求出{an}的 通项公式或 an 的递推关系式.

【解析】由已知,得 2Sn=(n+1)an,2Sn-1=nan-1(n≥2), an n 两式相减得(n-1)an=nan-1,所以 = . an-1 n-1 a2 2 a3 3 a4 4 an n 于是有a =1,a =2,a =3,?, = (n≥2), an-1 n-1 1 2 3 以上各式相乘,得 an=na1=n(n≥2,n∈N*). 又 a1=1 满足 an=n,所以 an=n. 因为 an-an-1=1,所以数列{an}为等差数列.

备选例题

10 n 在数列{an}中, 其前 n 项和 Sn=120-10(n+12)·11) (n ( ∈N*),试问该数列有没有最大的项?若有,求其项数;若 没有,请说明理由.

20 【解析】a1=S1=11, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 10 n 10 n-1 =[120-10(n+12)(11) ]-[120-10(n+11)·11) ] ( 10 n =(n+1)(11) , 10 n 由于 a1 也适合,因此 an=(n+1)(11) .

?an≥an+1 设{an}中第 n 项最大,则? , ?an≥an-1 ? ??n+1??10?n≥?n+2??10?n+1 11 11 ? 即? 10 n 10 n-1 ? ??n+1??11? ≥n?11? ?

.

所以 9≤n≤10,故该数列第 9 项或第 10 项最大.

数列通项公式的求法: ①观察分析法; ②公式法:an= S1 (n=1)

Sn-Sn-1

(n≥2);

③转化成等差、等比数列.


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