nbhkdz.com冰点文库

抛物线切线的一个新性质


1 2 2  

数学通讯 —— 2 o 1 3年 第 5 、 6期 ( 上半 月)  

?课 外 园地 ?  

高 一 学 生解 一道 重 点 中 学高 三 联 考试 题 

黄宝金   指导 教师   李红春  
( 湖 北 省 武 汉 市 黄 陂 区第 一 中学 盘 龙 校 区 高

一 ( 1 3 ) 班 , 4 3 0 3 1 2 )  

作 为一名 高一 学生 , 学完 数学必修 1 的函数知  识后 , 正值 1 1 月份 湖北 省高 三重点 中学联考 , 很 多  学长 都说试 卷上 的第 9题 是一 道 函数试题 , 超难 !   出于好奇 , 我拿过 来看 看 了看 , 在 一 阵思 考 与求 索  后, 居然 做 出 了 一 个 完 美 的 解 答 , 老 师 对 我 赞 不 
绝 口.  

象 有且 只有一 个交点 , 而 z一 2 显 然是方 程 l o g  ̄ : z   —z 一3的解 , 所 以 z一 2 是方程 的唯一 解 , 故 m一   2 , 于是 ( z ) +l o g + z一 2即为 厂 ( . z )= = = 2 +l o g 2 z,  

因此 原方程 厂 ( z )一 2 +√ z等价 为 2 +l o g : z一 2  

+4 7, 即是 l o g 2 X一√   .  
下面 判断方 程 l o g 。 z一  ̄ / z的解 的个 数 , 设、 /   z  
—t ( t >0 ) , 则l o g 2 t   一t , 即t  一 2   , 而 函数 Y— t   与 函数  一 2   在( O , 十。 。 ) 内只有两个 交 点 ( 2 , 4 ) 、  
( 4 , 1 6 ) ( 人 教 A 版 必 修 1教 材 P   。 。图 3 . 2— 5给  出) , 即方程 t  一 2   在( 0 , +。 。 )内 有 两 个 解 , 故 方 

题目  

已知定义在 ( 0 , +。 。 )的单 调 函数 

厂 (  ) , 若 对任 意 的 z∈ ( 0 , +C x 3 )都有 厂 [  ( z ) + 

l o g + x ]一 3 , 则方程 _ 厂 ( z ) 一2 +√ z解的个数是 
(   ( A) 3 .   ( B) 2 .   ( C) l _   ( D) O .   )  

程 厂 ( z )一 2 +√ z有 两个解 , 因此答 案选 B.  
本题考 查 了“ 函数单 调 性” 、 “ 恒 成立 ”等知 识 

解  因为 _ 厂 (  )在 ( 0 , +。 。 )是 单调 函数 , 且 

f [ - f ( x ) 十l o g  ̄ x ]一 3 , 所 以可 知 : 一定 存在正 常数 
满 足 f( z ) 十l o g + z— m, 且 厂 ( m)一 3 .  

和“ 赋值法 ” 、 “ 换元 法”等重要 方法 , 尽 管解 答 过程  迂 回曲折 , 而 最后 解 题 的依 据却 是课 本 上一 个 不 
易被人觉 察 的基 本 的图形 , 看来 老 师们 常 说 的“ 题  在书外 , 根 在 书 中”真 的不是 一句 空 话 , 值 得 我 们 
大家 注意 啊 !   ( 收 稿 日期 i 2 0 1 2 —1 2 —2 5 )  

又_ 厂 [ _ 厂 ( z )+ l o g + x ]一 3对 任 意 3 7∈ ( O ,  
+。 。 ) 都 成立 , 故 ( z ) +l o g + z— m对任 意的 z∈  
( O , +。 。 )都 成 立 , 对 此 式 令 z — m, 得: _ 厂 ( m)+   l o g  ̄ m — m, 而 _ 厂 ( , , z )一 3 , 故 3十 l o g + m — m, 即  
l o g +/ 7 2一  — —3 .  

由 图象可知 函数 Y— l o g + z与Y—   一3 的图  

抛 物 线切 线 的一 个新 性质 
卢 荣邦   指导 老师   黄元华  
( 广 东 省 深 圳 市 高 级 中学 高 一 7班 , 5 1 8 0 4 0 )  

我 最近 通 过探 究 发 现 , 过 抛 物线 外 一 点 的两  切线 与过抛 物线 顶 点 的切 线 , 具 有 下 列 一个 漂 亮  的几 何性质 .  

性 质  过 抛 物 线 外 一 点 P作 不 垂 直 于 抛 物 线 

对称 轴 的两 切线 

, P B, A, B 为切 点 , 直线 P A,  

P B 与过抛物线 顶 点 0 的切 线 分 别交 于 点 M , N,  

?

课 外 园地 ?  

数 学通 讯 —— 2 0 1 3 年第 5 、 6期 ( 上 半 月)  

1 2 3  
n y = p( x+ m   ’ 消去 
一 一

则 P M ?PN — AM ?B N.  

证 明  取 0为原 点 , MN 

J   l  


连 结  ~ Q N   E h ? Y  ̄ - J 1 {
化简得  一 2   +2 p m: 0 .  
一  

所在 直线 为 Y轴 , 建 立 直 角 坐  标系, 如图 1 .  
设抛 物 线 的 方程 为 Y  一 
2 衄 ( P > O ) , P(  ,  ) (   ≠ 
图 l  
肘 

P ( o  
\ 

因为点 P在抛物线外 , 所 以  一2   >0 , 从而 △  
=  2 n ) 。 一8 p m 一 4 ( n 。 一2 p m )> 0 .  

. } 、 『  

由韦达定理得  + y 2 =2 n , Y l? Y 2= 2 p m.  

O ) , A( x 1 ,  1 ) , B( x 2 ,  2 ) , 则 

Y }= = =2 p x 。 , Y ;一 2 p x   2 , 切 线 

又 葡 一( - _   , 等一   ) , 帝一 ( _ _   , 等一   ) , 所  
以  + 


P A 的方 程为 Y   Y= p( x+z   ) , 切线 P B的 方程为  Y 2 Y— p ( x+ 2 ) . 依题意 , 显 然有  Y 2 ≠0 .   在 上述 切 线 方 程 中 令 X = 0 , 得 M( O ,   ) ,  
厶 

一 ( 一2 m,   (   +  )一 2 n )  

( 一2 m, 一 ) ,  

N( O , 姿) .  
厶 

商 一( 一2 m, 一   ) 一葡 +帝 ,  

将点 P的 坐标代 人 P A, P B 的方 程 , 得3 ,   n—  p ( m+z   ) , 3 , 2  — p ( m+x 2 ) , 故直线 A B的方程 为 n y   =p ( x+m) , 所以 A B过  轴上的定点 Q ( 一 m, O ) .  

所 以 P M Q N 为 平 行 四 边 形 , 所 以 器一   P M   一  
两 B N


PM ?PN 一  

?BN .  

( 收稿 日期 : 2 0 1 3 一O l 一0 8 )  

有趣 的“ 诗歌数”  
王剑明  
( 浙 江省 嘉兴 市第 一 中学 , 3 1 4 0 0 0 )  

诗词是华夏文 明 的重要 组成 部 分 , 是 文学 的瑰  宝. 在文学这个百 花园中, 诗歌 和数学 时有联姻 , 显示 
了独 有 的魅 力 .  

根据历史记载 : “ 都下佛寺 , 五百余 所” , “ 所在郡 县 , 不  可胜言. ” 这说 明南朝梁武帝时光是都下 ( 金陵)就有 
佛寺 5 0 0余所 , 所 以“ 四百八 十” 显 然不是准确 数据 ,  

李 白的“ 朝辞 白帝彩云间, 千里江 陵一 日还. 两 岸  猿声 啼不住 , 轻舟已过万重 山” , 杜甫 的“ 两个黄鹂 鸣  翠柳 , 一行 白鹭上青天. 窗含西岭千秋雪 , 门泊东吴 万  里船” , 柳宗元 的“ 千 山鸟飞绝 , 万径 人踪 灭. 孤舟 蓑  笠翁 , 独钓寒江雪” , 都是 公认 的名篇 , 通过 数字 和文 
学语言的巧妙结 合 , 向我们 展 示 了一 幅幅美 丽 的画 

而是一种概 数 , 那么杜牧 为什么要选择使用“ 四百 八  十” 这个数字 呢? 吴 慧颖 先生 在他 的著作《 中国数 文  化》 一书 中指 出: 唯一 的解释是 因为“ 四百八 十”是三  的倍数. 我 国人 民对 “ 三”有一种特殊的迷恋 , 在文学  作 品中, 常常用三 的倍数来 描述大数. 诗人用“ 四百八  十”来代替“ 五百 ” 概括南朝 的佛寺数量之多 , 是一种  以退为进 、 明减 暗增 的手法. 吴 先生的论点是很 有见  地的, “ 三” 在古汉语 中本来就有 “ 多”的意思. 古人形  成 自然数 的概念 , 经过 了漫长的岁月 , 先 民们 开始 只  有一 、 二、 三的概念 , 三 个 以上 就统称 为很多 了 , 三是  数 的发展史上一个最 重要 的里程碑. 我 国古代的哲学 
思想 , 也认为“ 三”是产生万物 的本 原. 老子《 道德经 》   说: “ 一生二 , 二生三 , 三生万物. ” “ 三”既然如此重 要 ,  

卷, 数字的嵌入 , 深化了诗歌的时空意境 , 加强了景物  的对 比和衬托的作用 , 使 人 回味无穷.   晚唐诗人杜牧擅长七言绝句 , 下面这首《 江南春 》  
绝句就是一首脍 炙人 口的佳作 :   千里莺啼绿映红 , 水村 山郭酒旗 风.   南朝 四百八十寺 , 多少楼 台烟雨中!  

在这首诗里用了“ 千”和“ 四百八 十”两个数字 ,  


抛物线的性质

? 抛物线的性质(见下表): 抛物线的焦点弦的性质: ? 关于抛物线的几个重要...的两条切线交于点 M(x0,y0), 则 (6)自抛物线外一点 P 作两条切线,...

抛物线经典性质总结

m?x0 ? x ? 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作...作为新课程的一个理念,让学生进行一些学有余 力的研究,提高学生学习数学的兴趣...

抛物线及其性质

高中抛物线及其性质 抛物线 (parabola) 一:抛物线的...BF AF ? BF p 切线 y0 y ? ? p( x ? x0...//www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt...

抛物线性质

抛物线性质抛物线的焦点弦的性质: 1 关于抛物线的几个重要结论: (1)弦长公式同...外一点 P 作两条切线,切点为 A,B,若焦点为 F, 点 F. 又若切线 PA⊥...

抛物线性质

抛物线性质_数学_高中教育_教育专区。抛物线性质(三) 1.已知 P 是抛物线 y 2...4 y 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作抛物线的切线 ...

抛物线切线的几个典型性质及其证明----hhhhhhh

抛物线三条切线的奇妙性质 2页 2财富值 2011年高考数学复习优质课... 20页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此...

抛物线及其性质

抛 物线的切线问题,注意与导数的几何意义联系,利用导数求解. 有关焦点弦问题要注意焦点弦 的性质. 抛物线 y2=2px(p>0)的几何性质: (1)焦点坐标 F,0,离心...

抛物线及其性质

抛物线及其性质_数学_高中教育_教育专区。抛物线及其性质 ☆知识梳理☆一、抛物线...x0 , y0 ? 的切线方程是 7 P 到点 A ?1, 4 ? 的距离为 d2 , 13...

抛物线及其性质知识点大全

抛物线及其性质 1.抛物线定义:平面内到一定点 F 和...(2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的...? 成立. AF BF p (3)切线——抛物线与函数有缘...