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河南省实验中学2014届高三上学期期中 理科


河南省实验中学 2014 届高三上学期期中考试试 卷 数学(理) Word 版含答案
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )

1.已知集合 A ? ?1,a? , B ? ?1, 2,3? ,则 a =3 是 A

? B 的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.函数 f ( x) ? lg x 的零点是( )

A. (1, 0)

B. (1, 0) 和 (?1, 0)

C.1
( )

D.1 和 ?1

3. log 4 25 ? 2 log 4 10 ? log 4 5 ? log 5 16 的值是 A.2 B. 1

C. -2

D.

-1

4.函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的一部分图象如图所示,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 则( ) B. b ? 4 D. ? ?

? , 2

A. A ? 4 C. ? ? 1 5 . 函 数 y?

? 6

cos x 的 图 像 大 致 是 ex
( ) y y y

y

O O x

x O x ) O D D. y ? x ? e x

C 6.函数 f A ( x) ? e x ln x 在点 (1, fB (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) B. y ? ex ? 1
2

C. y ? e( x ? 1)

7.已知 a ? 0, b ? 0, 函数 f ( x) ? x ? (ab ? a ? 4b) x ? ab 是偶函数,则 f ( x) 的图象与 y 轴

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交点纵坐标的最小值为( A. 16 B. 8

) C. 4 ) D. R ? P ? Q D. 2 2

8.设 P ? log 2 3 , Q ? log 3 2 , R ? log 2 (log 3 2) ,则( A. P ? R ? Q B. R ? Q ? P C. Q ? R ? P

9.设 f ( x) 、 g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 .且 g (3) ? 0 .则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 (
A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞ ,- 3)∪(3,+∞) 10.函数 f ( x) ? 2 A. 1 11.已知 sin ? ? cos ? ?
x ?1



B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3) ) C. 3 ) D. 4

? x 2 的零点的个数为(
B. 2

2, ? ? ? 0, ? ? ,则 tan ? 等于(
2 2 ? ?
C. ?1

A.

2 2

B. ?

D.1

12 .函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

??

? 的最小正周期是 ? ,若其图像向右平移 3 2?

?

A.关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ?

?
12

对称

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

5? 对称 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.计算:

?(
0

1

1 ? x 2 ? x 2 )dx ? _____
.

14.已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则 g (?1) ?

15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a 2 ? b 2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小值为 16. 已知函数 f ( x) 定义在 R 上, 对任意的 x ? R , f ( x ? 1001) ?

2 , 已知 f (11) ? 1 , f ( x) ? 1

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则 f (2013)= 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 函数 f ( x)= ? x ? 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, ? ?3.5? ? ?4, ? 2.1? ? 2 ,当

x ? ? ?2.5,3? 时,写出函数 f ( x) 的解析式,并做出函数图象。

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 M ? {x | x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R )}, N ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 M ? N ? N , 求实数 a 的取值范围.
[

19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且满足 ? cos 2 A ? 2sin 2 (? ? B) ? 2 cos 2 ( ? C ) ? 1 ? 2sin B sin C . 2 (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 b ? 4 、 c ? 5 ,求 sin B .

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2 ? 2? 点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 2 3
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
x

)的图象与 x 轴的交

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

(Ⅰ) 函数 f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线过原点,求此切线方程; (II) 函数 g ( x) ? e ? kx ? k ? e ,是否存在实数 k ,使 g ( x) ? 0 对任意的 x ? R 都成立?
x

若有求出所有满足条件的 k 的值,若没有,说明理由。
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22. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ?

1 1 ) ln x ? ? x(a ? 1) .(1)讨论函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性; a x

( 2 )当 a ? 3 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点, P ( x1 , f ( x1 )) , Q ( x2 , f ( x2 )) ,使得

y ? f ( x) 曲线在 P 、 Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ?

6 . 5

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河南省实验中学 2013——2014 学年上期期中答案
高三 理科数学
一、选择题 ADBDA CABDC 二、填空题 13. CB

?
2

+

1 3

14. 3

15.

1 2

16. 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.参考必修一教参 P23 18. (本小题满分 12 分) 已知集合 M ? {x | x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R )}, N ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 M ? N ? N ,求实 数 a 的取值范围.
[

19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且满足 ? cos 2 A ? 2sin 2 (? ? B) ? 2 cos 2 ( ? C ) ? 1 ? 2sin B sin C . 2 (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若 b ? 4 、 c ? 5 ,求 sin B .

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20. (本小题满分 12 分) 解(1)由最低点为 M (

T ? 2? 2? = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 2 2 2 T ? 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为

2? , ?2) 得 A=2. 3

?



又 ? ? (0,

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2)? x ? [ , ],      ? 2x ? ?[ , ] 12 2 6 3 6
当 2x ?

?

),?? ?

?

?

? ?
6
=

即x?

?

2

,即 x ?

?

6

时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?
6

?

7? 6

2

时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
x

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(Ⅰ) 函数 f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线过原点,求此切线方程; (II) 函数 g ( x) ? e x ? kx ? k ? e ,是否存在实数 k ,使 g ( x) ? 0 对任意的 x ? R 都成立? 若有求出所有满足条件的 k 的值,若没有,说明理由。 解答:(Ⅰ) f '( x) ? e ,点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? e
x
x0

? e x0 ( x ? x0 ) ,把点 (0, 0) 代

入得 x0 ? 1 ,故此切线方程为 y ? ex (II) g '( x) ? e x ? k ,当 k ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 递增,? g (1)=0 ,不满足 g ( x) ? 0 对 任意的 x ? R 恒成立。 当 k ? 0 时,有 g '( x) ? 0 得, x ? ln k , 当 x ? (-?,lnk)时, g '( x) ? 0 , g ( x) 递减, 当 x ? (lnk, +?)时, g '( x) ? 0 , g ( x) 递增, 所以有? g ( x) ? g (ln k ) ? 2k ? k ln k ? e ? 0 恒成立 令 ? ( x) ? 2 x ? x ln x ? e( x ? 0), ? '( x) ? 1 ? ln x 当 x ? (0,e)时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 递增, 当 x ? (e,+?)时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 递减,

? ? ( x ) ? ? ( e) ? 0

所以 k ? e

22. (本小题共 12 分)

1 1 已知函数 f ( x) ? (a ? ) ln x ? ? x(a ? 1) . a x
(1)讨论函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性; (2)当 a ? 3 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点, P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , f ( x2 )) ,使 得 y ? f ( x) 曲线在 P 、 Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ? 【答案】 (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
6 . 5

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1 1 1 x 2 ? (a ? ) x ? 1 ( x ? a )( x ? ) 1 a ? ?1 ? ? a a , 求导数,得 f ?( x) ? ?? 2 2 2 x x x x 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? . a 1 1 1 ∵ a ? 1 ,∴ 0 ? ? 1 ,∴当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . a a a 1 1 故 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,1) 上单调递增.………………6 分 a a a?
(2)由题意得,当 a ? 3 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 )( x1 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ,

1 1 a? a ? 1 ?1 ? a ? 1 ?1 即 2 2 x1 x1 x2 x2 a?
∴a?
1 1 1 x1 ? x2 . ? ? ? a x1 x2 x1 x2

? x1 , x2 ? 0且x1 ? x2, ? x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 ) 恒成立 2 1 4 1 x ?x 4 4 整理得 x1 +x2 ? ? 又x1 +x2 ? 0 ? a ? ? 1 2 ? 2 1 x1 x2 ( x1 ? x2 ) a x1 x2 x1 ? x2 a? a

令 g (a) ?

4 1 a? a

?

4a ( 4 1-a 2) 则 g '( a ) ? ?0 2 a2 ? 1 (a 2 ? 1 )
6 5

所以 g (a ) 在 ?3, ?? ? 上单调递减,所以

g (a ) 在 ?3, ?? ? 上的最大值为 g (3) ?

? x1 +x2 ?

6 5

…………12 分

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