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54 直线与圆锥曲线的位置关系


学案 54

直线与圆锥曲线的位置关系

导学目标:1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.

自主梳理 1.直线与椭圆的位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若 Δ>0, 则直线与椭圆________; 若 Δ=0, 则直线与椭圆________;

若 Δ<0, 则直线与椭圆________. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①若 a≠0,当 Δ>0 时,直线与双曲线________;当 Δ=0 时,直线与双曲线________; 当 Δ<0 时,直线与双曲线________. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点. (3)直线与抛物线位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax2+bx+c=0. ①当 a≠0,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点. 2.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程 x2 y2 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一条弦,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 kAB=________, a b kAB· kOM=__________.点差法求弦的斜率的步骤是: 2 2 x1 y2 x2 y2 1 2 ①将端点坐标代入方程: 2+ 2=1, 2+ 2=1. a b a b 2 x1 x2 y2 y2 2 1 2 ②两等式对应相减: 2- 2+ 2- 2=0. a a b b y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 ③分解因式整理:kAB= =- 2 =- 2 . a y0 x1-x2 a ?y1+y2? x2 y2 (2)运用类比的手法可以推出:已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦,中点 M(x0,y0),则 kAB a b 2 = __________________. 已知抛物线 y = 2px (p>0) 的弦 AB 的中点 M(x0 , y0) ,则 kAB = ____________. 3.弦长公式 直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线 C:F(x,y)=0 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1 1 或|AB|= 1+ 2|y1-y2|= 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k k 自我检测 1.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上 方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 2. (2011· 中山调研)与抛物线 x2=4y 关于直线 x+y=0 对称的抛物线的焦点坐标是( ) 1 ? A.(1,0) B.? ?16,0? 1? C.(-1,0) D.? ?0,-16? x2 y2 3.(2011· 许昌模拟)已知曲线 + =1 和直线 ax+by+1=0 (a、b 为非零实数),在同 a b 一坐标系中,它们的图形可能是( )

1? 2 4.(2011· 杭州模拟)过点? ?0,-2?的直线 l 与抛物线 y=-x 交于 A、B 两点,O 为坐标 → → 原点,则OA· OB的值为( 1 1 A.- B.- 2 4 ) C.-4 D.无法确定

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 k 为何值时, 直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

1 变式迁移 1 已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线 2 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 B.?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 探究点二 圆锥曲线中的弦长问题 x2 例 2 如图所示,直线 y=kx+b 与椭圆 +y2=1 交于 A、B 两点, 4

记△AOB 的面积为 S. (1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

变式迁移 2 已知椭圆的两焦点为 F1(- 3,0),F2( 3,0),离心率 e=

3 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与椭圆相交于 P,Q 两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

探究点三 求参数的范围问题 例 3 (2011· 开封模拟)直线 m:y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点, 直线 l 过点 P(-2,0)和线段 AB 的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

x2 变式迁移 3 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 + 2 y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量OP → → +OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

函数思想的应用

例 l1,l2,

x2 y2 x2 y2 (12 分)已知椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),双曲线 2- 2=1 的两条渐近线为 a b a b

过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个交点 由上至下依次为 A,B. (1)当 l1 与 l2 夹角为 60° ,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程及离心率; |FA| (2)求 的最大值. |AP| 【答题模板】 b b 解 (1)双曲线的渐近线为 y=± x,两渐近线夹角为 60° ,又 <1,∴∠POx=30° , a a b 3 ∴ =tan30° = ,∴a= 3b.又 a2+b2=22, a 3 ∴3b2+b2=4,[2 分] x2 ∴b2=1,a2=3,∴椭圆 C 的方程为 +y2=1, 3 2 2 a -b 6 ∴离心率 e= = .[4 分] a 3 a b (2)由已知,l:y= (x-c)与 y= x 联立, b a 2 a ab ? 解方程组得 P? ? c , c ?.[6 分] a2 ab |FA| → → ? 设 =λ,则FA=λAP,∵F(c,0),设 A(x0,y0),则(x0-c,y0)=λ? c -x0, c -y0? ?, |AP| 2 a ab a2 ab c+λ· λ· ?c+λ· c c λ· ? ? c c? ∴x0= ,y0= .即 A ? 1+λ ,1+λ?.[8 分] 1+λ 1+λ ? ? 2 2 2 2 4 将 A 点坐标代入椭圆方程,得(c +λa ) +λ a =(1+λ)2a2c2, 等式两边同除以 a4,(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2,e∈(0,1),[10 分] 2 e4-e2 2 ∴λ2= 2 =-??2-e ?+2-e2?+3 ? ? e -2 ≤-2 2 ?2-e2?· 2+3=3-2 2=( 2-1)2, 2-e

|FA| ∴当 2-e2= 2,即 e2=2- 2时,λ 有最大值 2-1,即 的最大值为 2-1.[12 分] |AP| 【突破思维障碍】 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容, 一是在准确把握题意的 基础上,建立函数、不等式模型,利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决;二 是利用数形结合,考虑相切、相交的几何意义解决. 【易错点剖析】 e4-e2 |FA| 不能把 转化成向量问题,使得运算繁琐造成错误,由 λ2= 2 不会求最值或忽视 |AP| e -2 e2-2<0 这个隐含条件. 1.直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问 题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显

见其中.因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力. 2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参 数范围问题.基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如 ax2+bx+c=0 -b c 的方程,由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= .然后再把要研究的问题转化为用 x1+x2 和 a a x1x2 去表示.最后,用函数、不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条 件的挖掘,比如判别式 Δ≥0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) x2 y2 1.(2011· 菏泽调研)F1、F2 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的两个焦点,P 是椭圆上任一点, a b 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 2.若双曲线 - =1 的渐近线上的点 A 与双曲线的右焦点 F 的距离最小,抛物线 y2 9 4 =2px (p>0)通过点 A,则 p 的值为( ) 9 2 13 13 A. B.2 C. D. 2 13 13 3.(2011· 武汉月考)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 4.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若 |FA|=2|FB|,则 k 等于( ) 1 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 x2 2 5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 4 5 A.2 B. 5 4 10 8 10 C. D. 5 5 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) x2 y2 6. (2011 届合肥期末)若直线 y=kx+1 (k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 恒有公共 5 t 点,则 t 的范围是______________. y2 7.P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 8.(2010· 全国Ⅱ)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线 与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若 AM =M B ,则 p=________. 三、解答题(共 38 分) 9. (12 分)已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B, 求|AB| 的长.





x2 y2 3 10.(12 分)(2010· 天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶 a b 2 点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在 → → 线段 AB 的垂直平分线上,且QA· QB=4,求 y0 的值.

x2 y2 11.(14 分)(2011· 江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M, a b 1 N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 → → → 双曲线上一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.

学案 54

直线与圆锥曲线的位置关系

自主梳理 1.(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个 b2x0 b2 b2x0 p (3)②平行 一个 2.(1)- 2 - 2 (2) 2 a y0 a a y0 y0 自我检测 1.C 2.C 3.C 4.B 课堂活动区 例 1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线 与圆锥曲线的位置关系,也就是用代数的方法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方

法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数 是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以用 判别式 Δ 的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系. ?y=kx+2, ? 解 由? 2 得 2x2+3(kx+2)2=6, 2 ?2x +3y =6, ? 即(2+3k2)x2+12kx+6=0, Δ=144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 6 6 当 Δ=72k2-48>0,即 k> 或 k<- 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 当 Δ=72k2-48=0,即 k= 或 k=- 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3 6 6 当 Δ=72k2-48<0,即- <k< 时,直线和曲线没有公共点. 3 3 4 变式迁移 1 D [直线 AB 的方程为 y= x-1(t=0 时不合题意,舍去),与抛物线方程 t 1 2 1 4 x2= y 联立得 x2- x+ =0,由于直线 AB 与抛物线 C 没有公共点,所以 Δ= 2-2<0,解得 2 t 2 t t> 2或 t<- 2.] 例 2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、 椭圆与直线的位置关系等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. “设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问 题的基本方法.当所求弦为焦点弦时,可结合圆锥曲线的定义求解. x2 解 (1)设点 A 的坐标为(x1, b), 点 B 的坐标为(x2, b), 由 +y2=1, 解得 x1,2=± 2 1-b2, 4 1 所以 S= b|x1-x2|=2b 1-b2≤b2+1-b2=1. 2 2 当且仅当 b= 时,S 取到最大值 1. 2 y=kx+b ? ?2 (2)由?x 得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0, 2 + y = 1 ? ?4 Δ=16(4k2-b2+1).① 16?4k2-b2+1? |AB|= 1+k |x1-x2|= 1+k · =2.② 4k2+1 |b| 2S 又因为 O 到 AB 的距离 d= 2=|AB|=1, 1+k
2 2

所以 b2=k2+1.③ 将③代入②并整理,得 4k4-4k2+1=0, 1 3 解得 k2= ,b2= ,代入①式检查,Δ>0. 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 故直线 AB 的方程是:y= x+ 或 y= x- 或 y=- x+ 或 y=- x- . 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 变式迁移 2 解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b c 3 则 c= 3, = .∴a=2,b=1. a 2 x2 ∴所求椭圆方程为 +y2=1. 4 y=x+m, ? ?2 (2)由?x 消去 y 得关于 x 的方程: 2 ? ? 4 +y =1,

5x2+8mx+4(m2-1)=0, 则 Δ=64m2-80(m2-1)>0,解得 m2<5.(*) 8 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- m, 5 4?m2-1? x1x2= ,y1-y2=x1-x2, 5 ∴|PQ|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 2?x1-x2?2 8 16 2 ? - m?2 = 2?? ?? 5 ? - 5 ?m -1??=2, 15 30 解得 m2= ,满足(*),∴m=± . 8 4 例 3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看,就是直线方程与圆 锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题,结合判别式 Δ 研究,利用设而不求与整体代入 等技巧与方法,从而延伸出一些复杂的参数范围的研究. ?y=kx+1 ? 解 由? 2 2 (x≤-1) ? ?x -y =1 得(k2-1)x2+2kx+2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x = 2k <0 1-k 则? -2 ?x x =1-k >0
1 2 2 1 2 2 0 0 0 0

Δ=4k2+8?1-k2?>0 ,∴1<k< 2.

x +x k ? ?x = 2 =1-k 设 M(x ,y ),由? y +y 1 ? ?y = 2 =1-k
1 2 1 2

2



2

设 l 与 y 轴的交点为 Q(0,b),则由 P(-2,0), k 1 2 M?1-k2,1-k2?,Q(0,b)三点共线得 b= , ? ? -2k2+k+2 设 f(k)=-2k2+k+2,则 f(k)在(1, 2)上单调递减, ∴f(k)∈(-2+ 2,1), ∴b∈(-∞,-2- 2)∪(2,+∞). 变式迁移 3 解 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1, 2 1 2 2 ? 整理得? ?2+k ?x +2 2kx+1=0.① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2? 2 2 2 Δ=8k2-4? ?2+k ?=4k -2>0,解得 k<- 2 或 k> 2 . 2 2 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? → → (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①,x1+x2=- .② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1).

→ → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= . 2 2 2 由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2 课后练习区 1.A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.[1,5) 7.5 8.2 9.解 设直线 AB 的方程为 y=x+b, 2 ? ?y=-x +3, 由? 消去 y 得 x2+x+b-3=0,(3 分) ?y=x+b, ? ∴x1+x2=-1. 1 1 于是 AB 的中点 M(- ,- +b), 2 2 13 且 Δ=1-4(b-3)>0,即 b< .(6 分) 4 1 1 又 M(- ,- +b)在直线 x+y=0 上,∴b=1 符合.(8 分) 2 2 ∴x2+x-2=0.由弦长公式可得 |AB|= 1+12 ?-1?2-4×?-2?=3 2.(12 分) c 3 10.解 (1)由 e= = ,得 3a2=4c2. a 2 再由 c2=a2-b2,得 a=2b. 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2 ? ? ?a=2b, ?a=2, 解方程组? 得? ?ab=2, ?b=1. ? ? x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1.(4 分) 4 (2)由(1)可知 A(-2,0),且直线 l 的斜率必存在.设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率 为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2). y=k?x+2?, ? ?2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x 2 ? 4 +y =1. ? 由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 由根与系数的关系,得-2x1= , 1+4k2 2-8k2 4k 所以 x1= . 2,从而 y1= 1+4k 1+4k2 8k2 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为(- , ).(6 分) 1+4k2 1+4k2 以下分两种情况讨论: → ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是QA=(-2,- → y0),QB=(2,-y0). → → 由QA· QB=4,得 y0=± 2 2.(8 分) ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为

2k 1 8k2 y- ). 2=- (x+ k 1+4k 1+4k2 6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), → → QA· QB=-2x1-y0(y1-y0) -2?2-8k2? 6k 4k 6k = + ) 2 2( 2+ 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k2 4?16k4+15k2-1? = =4, ?1+4k2?2 14 整理得 7k2=2,故 k=± . 7 2 14 所以 y0=± .(11 分) 5 2 14 综上,y0=± 2 2或 y0=± .(12 分) 5 11.解

x2 y2 x2 y2 0 0 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2- 2=1. a b a b y0 y0 1 由题意有 · = ,(3 分) x0-a x0+a 5 c 30 可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e= = .(6 分) a 5 ?x2-5y2=5b2, ? (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0. ?y=x-c, ?

?x +x = 2 , 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? 35b ?x x = 4 .
1 2 1 1 2 2 2 1 2

5c



→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB, ? ?x3=λx1+x2, 即? (9 分) ?y3=λy1+y2. ? 又 C 为双曲线上一点, 2 2 即 x2 3-5y3=5b ,有 2 (λx1+x2) -5(λy1+y2)2=5b2.化简得 2 2 2 2 λ2(x2 1-5y1)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b .② 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 2 2 2 2 2 所以 x2 1-5y1=5b ,x2-5y2=5b .(11 分) 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为 λ2+4λ=0,解得 λ=0 或 λ=-4. (14 分)


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