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3.3利用导数研究函数的极值和最值(理)copy


§3.3 利用导数研究函数的极值和最值 知识要点梳理 一.函数的极值 1.函数极值定义 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一 个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点。 如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)

的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点。 极大值与极小值统称为极值 2. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x 0 是 f ( x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果
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,则 x 0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?( x) 在 x 0 两侧满足“左负右 f ?( x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” 正” ,则 x 0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值. 3. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值 的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左 右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值 二. 函数的最大值与最小值 1. 函数的最大值与最小值: 在闭区间 ?a, b ? 上图像连续不断的函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值.
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在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; 一个是最小值。

2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数 f ( x) 在在 (a,b) 内可导, 在闭区间 ?a, b ? 上图像连续不断, 求函数 f ( x)

⑵将 f ( x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较,得出函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上的最值,其中最大的一个是最大值,最小的

疑难点、易错点剖析
1 由极值的定义可知,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。此外请注意以下几 点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (ⅲ) 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示,x1 是极大值点,
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x 4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 )

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(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可 能在区间的内部,也可能在区间的端点。

y
f(x5)

f(x3) f(x1) f(x4)

a

x1

x2

O
f(b) f(x2) f(a)

x3

x4

x5

b x

(V)可导函数的极值点的导数为 0,但是导数为 0 的点不一定是极值点,如函数 y=x 在 x=0 处导数为 0,但 x=0 不 是极值点。 (Vi)函数在一点 x0 处有极值,不一定在该点可导。如函数 y=|x| 在 x=0 有极小值,但在 x=0 处不可导即导数不存 在。 2.对于函数的最值问题,应注意以下几点: (1)在闭区间 ?a, b ? 上图像连续不断的函数 f ( x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小值. (2)在开区间 (a, b) 内图像连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.如函数 f ( x) ? 没有最大值与最小值;
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3

1 在 (0,??) 内连续,但 x

?a, b? 上 有 最 大 值 与 最 小 值 的 充 分 条 件 而 非 必 要 条 件 . 如 函 数

(3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. ( 4 )函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b ? 上的图像连续不断,是 f ( x) 在闭区间

?? x ? 1, x ? 1但x ? 0 ? f ( x) ? ? 在 ? ?1,1? 上有最大值,最小值, (最大值是 0, ? ?0, x ? 0
最小值是-2) ,但其图像却不是连续不断的(如右图) 。 (5) 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极 值可能不止一个,也可能没有一个。 (6)若函数 f(x)只有一个极值,则必为最值。若函数 f(x)在闭区间[a,b]上 递增,则 f ( x) min ? f (a) , f ( x) max ? f (b) ;若函数 f(x)在闭区间[a,b]上递 减,则 f ( x) min ? f (b) , f ( x)max ? f (a) 。

直击考点 考点一 求含字母参数的函数的极值 3 2 考例 1.(06 安徽卷)设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。
(Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 思路分析:先求出 f '( x) ,再利用奇函数定义即可求出 b,c 的值,再利用导数这一工具,可求出函数的单调区间 及极值 解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 。从而
3 2 2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? (3x 2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x 2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 2 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x ? 6 ,令 g ?( x) ? 3x ? 6 =0,解得 x ? ? 2 ,由
g ?( x) ? 3x 2 ? 6 ? 0, 解得x ? 2或x ? ? 2 , g ?( x) ? 3x 2 ? 6 ? 0, 解得 ? 2 ? x ? 2 由此可知,
函数 g ( x) 的单调递增区间是 ( ??, ? 2) 和 ( 2, ??) ;单调递减区间是 ( ? 2, 2) ; 进而得 g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。

锦囊妙计:熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值,力求解答思路顺畅,思维严谨,
书写规范。

举一反三:(2005 年全国高考题)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a. (Ⅰ)求 f ( x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点. 解:(I) f '( x) =3 x 2 -2 x -1 1 若 f '( x) =0,则 x ==- , x =1 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 x (-∞,- ) - (- ,1) 1 (1,+∞) 3 3 3 f '( x) + 0 0 + - f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 5 ∴ f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27
3 2

(II)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a ? ( x ? 1) ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 y = f ( x) 与 x 轴至少有一 个交点 结合 f ( x) 的单调性可知:
3 2 2

当 f ( x) 的极大值

5 5 ? a <0,即 a ? (??, ? ) 时,它的极小值也小于 0,因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点, 27 27

它在(1,+∞)上。 当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因此曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它
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在(-∞,-

1 )上。 3

∴当 a ? (??, ? 考点二

5 ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点。 27
2

求函数的最值

考例 2.已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)( x ? a) (1)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (2)若 f ( x) 在(—∞,—2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围. 思路分析: (1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。 (2)当函数 f(x)在给定的区间上递增时,则在该 区间上恒有 f '( x) ? 0 ,从而得到关于 a 的不等式。 解: (Ⅰ)由原式得 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? 4a,
3 2

∴ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4.
2

1 1 ,此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 . 2 2 4 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 3 当 x在[?2, 2] 变化时, f '( x), f ( x) 的变化如下表
由 f ?(?1) ? 0 得 a ?

x F ?( x)
F ( x)

(?2, ?1)

?1

?
递增

4 (?1, ) 3
递减

0
9 极大值 2

4 3 0
极小值

4 ( , 2) 3 ?
递增

4 50 ? f ( x)极小 ? f ( ) ? ? , f 3 27
所 以 f(x) 在 [ - 2,2]上的最大值为

?

50 27

9 , 2

最小值为 ?

50 . 27
2

(2)解法一: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得

f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0,

即 4a ? 8 ? 0

?8 ? 4a ? 0.

∴-2≤a≤2.

所以 a 的取值范围为[-2,2]. 解法二:令 f ?( x) ? 0 即 3x ? 2ax ? 4 ? 0, 由求根公式得: x1,2 ?
2

由题意可知,当 x≤-2 或 x≥2 时, f ?( x) ≥0, 从而 x1≥-2, x2≤2,

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4. 在 ?? ?, x1 ?和 ?x 2 ,?? ? 上非负.
2

a ? a 2 ? 12 ( x1 ? x2 ) 3

? ? 2 即 ? a ? 12 ? a ? 6 解不等式组得: -2≤a≤2. 2 ? ? a ? 12 ? 6 ? a.
∴a 的取值范围是[-2,2]. 锦囊妙计: (1)极大值,极小值是否就是最大值,最小值,要与区间两端点的函数值进行比较,才能下结论。 (2) 在已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令 f '( x) ? 0(或f '( x) ? 0) 恒成立,解出参数的取值 范围,然后检验参数的取值能否使 f ’(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则参数的这个值应舍去,若 f ’(x)不恒为 0,则由 f '( x) ? 0(或f '( x) ? 0) ,x ? (a, b) 恒成立解出的参数的取值范围确定。

举一反三:1.(06 浙江卷) f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ? ?1,1? 上的最大值是
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 2 ? ? 解: f ( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时, f ?( x) ?0,当 0?x?1 时,

f ?( x) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C
2. (06 全国卷Ⅱ)已知 a≥ 0 ,函数 f(x) = ( x -2ax) e (1) 当 x 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论; (2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.
2 x

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解: (I)对函数 f ( x) 求导数得

f ?( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 2ax ? 2a)e x
x

令 f ?( x) ? 0, 得[ x 2 +2(1- a ) x -2 a ] e =0 从而 x 2 +2(1- a ) x -2 a =0 解得 x1 ? a ? 1 ? a ? 1, x 2 ? a ? 1 ? 当 x 变化时, f ( x) 、 f '( x) 的变化如下表
2

a2 ?1
( x1 , x 2 )


x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )
+ 递增

x1
0 极大值

x2
0 极小值

( x 2 ,??)
+ 递增

递减

∴ f ( x) 在 x = x1 处取得极大值,在 x = x2 处取得极小值。 而当 x ? 0 时 f ( x) = x( x ? 2a)e 所以当 x ? a ? 1 ?
x

当 a ≥0 时, x1 <-1, x2 ? 0, f ( x) 在 ?x1 , x2 ? 上为减函数,在 ( x 2 ,??) 上为增函数

? 0 ,当 x=0 时, f ( x) ? 0

a 2 ? 1 时, f ( x) 取得最小值 (II)当 a ≥0 时, f ( x) 在 ?? 1,1? 上为单调函数的充要条件是 x 2 ? 1 3 2 即 a ? 1 ? a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 4 3 于是 f ( x) 在[-1,1]上为单调函数的充要条件是 a ? 4 3 即 a 的取值范围是 [ , ??) 4
考点三 利用导数解决函数的综合问题
2

考 例 3.(06 年 深 圳 市 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? b 的 图 象 与 函 数 g ( x) ? x ? 3x ? 2 的 图 象 相 切 , 记

F ( x ) ? f ( x) g ( x) . (Ⅰ)求实数 b 的值及函数 F ( x) 的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 F ( x) ? k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围.
思路分析:首先由 f ( x) ? x ? b 是 g ( x) ? x ? 3x ? 2 的切线,利用导数的几何意义求出 b,再由导数与单调性,极
2

值的关系作出函数 y ? F ( x)  与 y ? k 的图像,利用数形结合的思想求解. 解:(1)依题意,令 f ?( x) ? g ?( x), 得1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1. ∴函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) 的图象的切点为 (?1,0). ,将切点坐标代入函数 f ( x) ? x ? b 可得 得 方 程

f ( x) ? g ( x ) , 即 x 2 ? 2 x ? 2 ? b ? 0 有 唯 一 实 数 解 ,

b ? 1 .或:依题意 故 ? ? 2 ? 4(2 ? b) ? 0 , 即
2

b ? 1 ? F ( x) ? ( x ? 1)( x 2 ? 3x ? 2) ? x 3 ? 4 x 2 ? 5x ? 2 ,
故 F ?( x) ? 3x ? 8 x ? 5 ? 3( x ? 1)( x ? ) ,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ? ? .
2 2

5 3

5 3

列表如下 :

x
F ?( x) F ( x)

5 (??,? ) 3 ?
递增

5 3 0 4 极大值 27 ?

5 (? ,?1) 3
递减

?1
0
极小值 0

(?1,??)

从 上 表 可 知 F ( x) 在

?
递增

5 x ? ? 处取得极大值 3 4 ,在 x ? ?1 处取得 27

极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数 y ? F ( x) 大致图象如下图所示.作函数 y ? k 的 图象,当 y ? F ( x) 的图象与函数

y ? k 的图象有三个交点时, 关 于 x 的方程 F ( x) ? k 恰有三个不

y
y=F(x) 5 3 y=k O 4 27

4 ). 27 锦 囊 妙 计 : 读题 , 审 题 , 发现 ” f ( x) ? x ? b 是
等的实数根.结合图形可知: k ? (0,

-

-1

x

g ( x) ? x 2 ? 3x ? 2

的切线”是解题的关键 , 数形结合的思想在 题综合了导数,单调性 ,极值 ,方程的解等知识与数形结合的思想方法.综合考察了学生
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该题中再一次得到运用. 本 的计算,推理,阅读理解的数

学能力. 举一反三: (07 中山市模拟.) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象为曲线 E. (Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c 在 x ?[?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围. 解 : (1)

f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b , 设 切 点 为 P( x0 , y 0 ) , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P 的 切 线 的 斜 率
2 2

k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ,由题意知 f ?( x0 ) ? 3x0 ? 2ax0 ? b ? 0 有解,
∴ ? ? 4a 2 ? 13b ? 0 即 a 2 ? 3b . (2)若函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值, 则 f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? b ? 0 有两个解 x ? ?1 和 x ? 3 ,且满足 a 2 ? 3b . 易得 a ? 3 , b ? ?9 . (3)由(2),得 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? c . 根据题意, c ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )恒成立. ∵函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )在 x ? ?1 时有极大值 5 (用求导的方法) , 且在端点 x ? 6 处的值为 54 . ∴函数 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ( x ?[?2 , 6] )的最大值为 54 . 所以 c ? 54 . 误区警示: 1 例.设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax2 ? 3ax ? 1 ,其中 0 ? a ? 1 . 3 (1)求函数 f ( x) 的极值; (2)若当 x ?[a ? 1, a ? 2] 时,恒有 f ?( x) ? a ,试确定实数 a 的取值范围. 常见错误: (1)忽略 0<a<1 导致错误; (2)解带参数的绝对值不等式出错。 2 2 正解: (1) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ? ?( x ? a)(x ? 3a) ? 0 ,得 x1 ? a , x2 ? 3a . ∵ a ? 0 ,∴ 3a ? a . 列表如下: x (??, a) (a, 3a) (3a, ? ?) 3a a
f ?( x) f ( x)



0

+

0



极小值 极大值 4 ∴ f ( x) 极小值= f (a) ? ? a 3 ? 1 ; f ( x) 极大值= f (3a) ? 1 3 2 (2) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a 2 ? ? ( x ? 2a) 2 ? a 2 ,∵ 0 ? a ? 1 ,∵ 2a ? a ? 1 . 即 f ?( x) 在 [a ? 1, a ? 2] 上单调递减,即当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时. f ?(a ? 1) ? f ?( x) ? f ?(a ? 2) 从而: 2a ? 1 ? f ?( x) ? 4a ? 4 .
? 4 ?4 ? 4 a ? a f ?( x) ? a 恒成立,故 ?2a ? 1 ? a ? ? a ? 1 . 5 ? ?0 ? a ? 1

紧扣考纲大演练 一.单项选择题
1.

2. (06 江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? ?0,则必有( C ) (x) A. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?, 1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C 3.函数 f ( x) ? 答案:B
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1 3 ) ax ? ax2 ? x ? 1 有极值的充要条件是( 3 A. a ? 1或a ? 0 B. a ? 1或a ? 0 C. a ? 1或a ? 0

D. 0 ? a ? 1

2 【思路分析】 : f ?( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不等实根.

?a ? 0 , 即 a ? 1 或 a ? 0 ,故选 B. ? 2 ?? ? 4 a ? 4 a ? 0

4. (06 天津卷) 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) , (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 点( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 解析:函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 的图象如图所示,函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极 由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的 A.

y

y ? f ?( x)

导 函 数 f ?( x) 在 (a, b) 内有极小值

b

a

O

x

f ?( x) 在 (a, b) 内
小值的点即函数 点,只有 1 个,选

y 6..如果函数 y=f(x)的导函数的图像如右图所示, 给出下列判断: (1) 函数 y=f(x)在区间(3,5)内单调递增; (2) 函数 y=f(x)在区间(-1/2,3)内单调递减; 1 2 (3) 函数 y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增; -2 -1 -3 0 1 (4) 当 x= -1/2 时,函数 y=f(x)有极大值; ? 2 (5) 当 x=2 时,函数 y=f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是 . ③④ A ①③ B ③⑤ C ①⑤ D 答案:B 二.填空题 3 2 7.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是__ _。
2

3

4 5 x

答案: a>2 或 a<-1。 提示:f ?( x) ? 3x ? 6ax ? 3(a ? 2), ∵f(x) 既有极大值又有极小值 , 3x ? 6ax ? 3(a ? 2)=0 有两个不同的解。
2

8. 已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? m(m 为常数)在 [ - 2 , 2] 上有最大值 3 ,那么此函数在 [ - 2 , 2] 上的最小值 为 . 答案: -37. 9. (改编题)设 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0, 且
3 2

1 g (? ) ? 0 则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是 ? __________ _________ 2 1 1 答案: (??,? ) ? (0, ) 2 2
10.f(x)= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时,tan x = 解答:f′(X)=3cosx-4sinx=0 三.解答题 11.设函数 f ( x) ? ?a x ? 1 ? x ? a, x ? (0,1], a ? R .
2 ?

tanx=

3 3 3 ,f(X)在 tanx= 时取得最大值,即填 。 4 4 4

(1) 若 f(x)在 (0,1] 上是增函数,求 a 的取值范围; (2) 求 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值. 解: f ?( x) ? ?a ? ∴ a ? ( 1?

x x2 ? 1

? 1 ? 0 在[0,1]上恒成立, a ?

x2 ? 1 1 ? 1? 2 , x x

1 ) min , ∴ 0 ? a ? 2 . x2 (1) 当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在(0,1)上为增函数,∴ f ( x) 在 (0,1] 上的最大值为 ymax ? f (1) ? 1 ? (1 ? 2) a ,
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当 a ? 2 时, f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? ax x2 ? 1

?

(1 ? a 2 ) x 2 ? 1 x 2 ? 1( x 2 ? 1 ? ax)

0? x?

1 1 时,  f ?( x) ? 0,  2 ? x ? 1时 f ?( x) ? 0 a ?1 a ?1
2

1  2 ? x 时 , f ( x) max ? a ? a 2 ? 1 . a ?1 3 2 12.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x . (1)若 f ( x) 在 x ?[1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ? [1,a]上的最小值和最大值. 2 解析: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0 . 3 1 ∵ x≥1. ∴ a ? ( x ? ) , 2 x 3 1 . ? a ? ( x ? )m i ? n 3 (当 x=1 时,取最小值) 2 x
∴当 ∴ a<3(a=3 时也符合题意) . ∴ a≤3.
3 2 (2) f ?(3) ? 0 ,即 27-6a+3=0, ∴ a=5, f ( x) ? x ? 5 x ? 3x . 1 2 令 f ?( x) ? 3x ? 10 x ? 3 ? 0 得 x ? 3 ,或 x ? (舍去) 3 当 1 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ; 当 3 ? x ? 5 时, f ?( x) ? 0 即当 x ? 3 时, f ( x) 有极小值 f (3) ? ?9 .又 f (1) ? ?1, f (5) ? 15 ∴ f(x)在 x ? [1, 5] 上的最小值是 f (3) ? ?9 ,最大值是 f (5) ? 15 . 1 2 13(07 福建漳州市模拟)已知函数 f ( x) ? x ? ln x 2 (1)求函数 f ( x) 在区间[1, e ]上的最大值、最小值; 2 3 (2)求证:在区间(1, ? ? )上,函数 f ( x) 图象在函数 g ( x) ? x 图象的下方; 3 n n n (3)设函数 h( x) ? f ?( x) ,求证: [h( x)] ? 2 ≥ h( x ) ? 2 .

1 x2 ?1 = ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 x x 当 x ?[1, e ]时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间[1, e ]上是增函数
解:(1) f ?( x) ? x ?

e2 1 ? 1 ????????4 分 ;当 x ? e 时, f ( x) 有最大值 2 2 1 (1 ? x)(1 ? x ? 2 x 2 ) 1 2 2 3 2 (2)设 F ( x) = x ? ln x ? x ,则 F ?( x) ? x ? ? 2 x ? x x 2 3 ∵ x ? 1, F ?( x) ? 0 ∴ F ( x) 在区间(1, ? ? )上是减函数 ????????????7 分 1 又∵ F (1) ? ? ? 0 6 1 2 2 1 2 ∴ x ? ln x ? x 3 ? 0 ,即 x 2 ? ln x ? x 3 , x ? (1, ? ?) 2 3 2 3 2 3 ∴在区间(1, ? ? )上,函数 f ( x) 图象在函数 g ( x) ? x 图象的下方??????????9 分 3 1 1 (3)当 n ? 1时,左边= x ? ? 2 ,右边= x ? ? 2 ,不等式成立; x x 当 n ? 2 时, 1 1 [h( x)] n ? h( x n ) ? ( x ? ) n ? ( x n ? n ) x x
∴ 当 x ? 1时, f ( x) 有最小值
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1 = [C n ( x n?2 ?

由已知, x ? 0
n n

1 2

1 x
n?2

2 ) ? Cn ( x n?4 ?

1 x
n?4

n ?1 ) ? ? ? Cn (

1 x
n?2

? x n?2 )]

∴ [h( x)] ? h( x ) ≥ C n ? C n ? ? ? C n
n
1 2

n ?1

? 2n ? 2

∴ [h( x)] ? 2 ≥ h( x ) ? 2 .
n n

????????????14 分

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