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重庆高考试题分类整理(数学理)05立体几何(理)

时间:2012-12-26


立体几何(理)
一、选择题 1、 (2004 理 8)设 P 是 60 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面? , PB? 平面? , A,B为 垂足,
?

( PA ? 4, PB? 2,则 AB 的长为:



A B C D 4 2 2 3 2 5 2 7 2、(2004

理 12)若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的面积与到棱 AB 的距离相等,则 动点 P 的轨迹与 ? ABC 组成图形可能是: ( ) A A

P B A A C B B

P C

A

P B C C B

P C D

3、 (2005 理 7)对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都垂直于 ? ; ②存在平面 ? ,使得 ? 、 ? 都平行于 ? ; ③ ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ④存在异面直线 l、m,使得 l// ? ,l// ? ,m// ? ,m// ? , 其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( )

4、(2005 理 10)如图,在体积为 1 的三棱锥 A—BCD 侧棱 AB、AC、AD 上 分别取点 E、F、G, 使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1,记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点,则三棱锥 O—BCD 的体积等于 ( ) A.

5、 (2006 理 4)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m , 使 m与l ( ) (A)平行 (B)相交 (C)垂直 (D)互为异面直线 6、 (2007 理 3)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( ) A、5 部分 B、6 部分 C、7 部分 D、8 部分 7、 (2008 理 9)如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有 一个交点,4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分(图中阴影部分)
-1-

1 9

B.

1 8

C.

1 7

D.

1 4

的体积,V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是(



V (A)V1= 2
(C)V1> V2

V (B) V2= 2
(D)V1< V2
0

8、 (2009 理 9)已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 50 , P 为空间中任意一点, 则过点 P 且与平面 ? 和平面 ? 所成的角都是 25 的直线的条数为(
0



A.2

B.3

C.4

D.5

9、 (2010 理 10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( A、直线 10、 (2011 理 9)高为 ) B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径 4
) D. 2

为 1 的同一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( A.

2 4

B.

2 2

C.1

二、解答题 11、 (2004 理 19)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,

PA ? 底面ABCD, AE ? PD, EF // CD, AM ? EF
(1) (2) 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线; 若 PA ? 3 AB ,求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值

王新敞
奎屯

新疆

P

E A M B C F D

-2-

12、 (2005 理 20)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB⊥侧面 BB1C1C, E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的一点,EA⊥EB1,已知 AB= 2 ,BB1=2, BC=1,∠BCC1=

? ,求: 3

(Ⅰ)异面直线 AB 与 EB1 的距离; (Ⅱ)二面角 A—EB1—A1 的平面角的正切值.

13 、 2006 理 19 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , PA ? 底 面 ABCD , ? DAB 为 直 角 , ( 中

AB // CD , AD ? CD ? 2 AB, E、F 分别为 PC 、 CD 中点。
(I)试证: CD ? 平面 BEF ;
? (II)高 PA ? k ? AB ,且二面角 E ? BD ? C 的平面角大小 30 ,求 k 的取值范围。

-3-

14、 (2007 理 19)如右图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA ? 2, AB ? 1, ?ABC ? 90? ;点 D 、 E 分 1 别在 BB1、A 1 D 上,且 B1 E ? A1 D ,四棱锥 C ? ABDA 与直三棱柱的体积之比为 3 : 5 . 1 (Ⅰ)求异面直线 DE 与 B1C1 的距离; (Ⅱ)若 BC ? A1 B1 E D C1

2 ,求二面角 A1 ? DC1 ? B1 的平面角的正切值.

A B

C C

15、 (2008 理 19)如图,在 ? ABC 中,B= 90 ,AC=

?

15 ,D、E 两点分别在 AB、AC 上.使 2

AD AE ? ? 2 ,DE=3.现将 ? ABC 沿 DE 折成直二角角,求: DB EC
(Ⅰ)异面直线 AD 与 BC 的距离; (Ⅱ)二面角 A-EC-B 的大小(用反三角函数表示).

-4-

16、 (2009 理 19)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AD ? BC 且 AD ? CD ;平面 CSD ? 平面 ABCD ,

CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2 ; E 为 BS 的中点, CE ? 2, AS ? 3 .求:
(Ⅰ)点 A 到平面 BCS 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? CD ? A 的大小.

17、 (2010 理 19)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 点 E 是棱 PB 的中点. (Ⅰ)求直线 AD 与平面 PBC 的距离; (Ⅱ)若 AD ? 3 ,求二面角 A ? EC ? D 的平面角的余弦值. P

6,

E

A

D

B

C

18、 (2011 理 19)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ? 平面 ACD , AB ? BC , AD ? CD , ?CAD ? ??? . (Ⅰ)若 AD ? ? , AB ? ? BC ,求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)若二面角 C ? AB ? D 为 ??? ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

-5-

立体几何(理)参考答案
一、选择题 1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、C 7、D 8、B 9、D 10、C 二、解答题 11、 (I)证明:因 PA⊥底面,有 PA⊥AB,又知 AB⊥AD, 故 AB⊥面 PAD,推得 BA⊥AE,又 AM∥CD∥EF,且 AM=EF, 证得 AEFM 是矩形,故 AM⊥MF. 又因 AE⊥PD,AE⊥CD,故 AE⊥面 PCD, 而 MF∥AE,得 MF⊥面 PCD,故 MF⊥PC,因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线. (II)解:连结 BD 交 AC 于 O,连结 BE,过 O 作 BE 的垂线 OH, 垂足 H 在 BE 上.易知 PD⊥面 MAE,故 DE⊥BE,又 OH⊥BE,故 OH//DE, 因此 OH⊥面 MAE. 连结 AH,则∠HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角 设 AB=a,则 PA=3a, AO ?

1 2 AC ? a .因 Rt△ADE~Rt△PDA,故 2 2

ED ?

AD2 a2 a 1 a ? ? , OH ? ED ? .从而在Rt ?AHO中 PD 2 10 2 10 a 2 ? (3a)2

sin HAO ?

OH a 2 1 5 ? ? ? ? . AO 2 10 2a 20 10

12、解法一: (Ⅰ)因 AB⊥面 BB1C1C,故 AB⊥BE. 又 EB1⊥EA,且 EA 在面 BCC1B1 内的射影为 EB. 由三垂线定理的逆定理知 EB1⊥BE,因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1 的公垂线, 在平行四边形 BCC1B1 中,设 EB=x,则 EB1= 4 ? x ,
2

作 BD⊥CC1,交 CC1 于 D,则 BD=BC· sin

?
3

?

3 . 2

在△BEB1 中,由面积关系得

1 1 3 x 4 ? x2 ? ? 2 ? ,即( x 2 ? 1)(x 2 ? 3) ? 0 . 2 2 2

解之得x ? ?1, x ? ? 3 (负根舍去)
当x ? 3时, 在?BCE 中, CE 2 ? 12 ? 2CE ? cos

?
3

? 3,

解之得 CE=2,故此时 E 与 C1 重合,由题意舍去 x ?

3.

因此 x=1,即异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (Ⅱ)过 E 作 EG//B1A1,则 GE⊥面 BCC1B,故 GE⊥EB1 且 GE 在圆 A1B1E 内, 又已知 AE⊥EB1 故∠AEG 是二面角 A—EB1—A1 的平面角.
-6-

因 EG//B1A1//BA,∠AEG=∠BAE,故 tan AEG ? 解法二:

BE 1 2 ? ? . AB 2 2

(Ⅰ)由AE ? EB1 , 得AE ? EB1 ? 0, 又由AB ? 平面 而 BB1C1C 得 AB⊥EB1 从而 AB? EB1 =0.

故 EB ? EB1 ? ( EA ? AB) ? EB1 ? EA ? EB1 ? AB ? EB1 ? 0 即EB ? EB1 , 故线段BE是异面直线AB与EB1的公垂线.
设 O 是 BB1 的中点,连接 EO 及 OC1,则在 Rt△BEB1 中,EO= 因为在△OB1C1 中,B1C1=1,∠OB1C1= 所以 OC1=OB1=1, 又因∠OC1E=∠B1C1C-∠B1C1O= ? ?

? ,故△OB1C1 是正三角形, 3

1 BB1=OB1=1, 2

2 3

?
3

?

?
3

, 故△OC1E 是正三角形,

所以 C1E=1,故 CE=1,易见△BCE 是正三角形,从面 BE=1, 即异面直线 AB 与 EB1 的距离是 1. (Ⅱ)由(I)可得∠AEB 是二面角 A—EB1—B 的平面角,在 Rt△ABE 中,由 AB= 2 , BE=1,得 tanAEB= 2 . 又由已知得平面 A1B1E⊥平面 BB1C1C, 故二面角 A—EB1—A1 的平面角 ? ?

?

2

? ?AEB ,故

? 2 tan? ? tan( ? ?AEB) ? cot AEB ? . 2 2
13、I)证:由已知 DF

// AB 且 ?DAB 为直角。故 ABFD 是矩形。从而 CD ? BF 。又 PB ? 底面 ABCD,
?

CD ? AD ,故由三垂线定理知 CD ? PD. D ? PDC 中,E、F 分别为 PC、CD 的中点,故 EF//PD,从而 CD ? EF ,由此得 CD ? 面 BEF。 (II)连接 AC 交 BF 于 G,易知 G 为 AC 的中点,连接 EG,则在 ? PAC 中易知 EG//PA。又因 PA ? 底面 ABCD,故 EG ? 底面 ABCD。在底面 ABCD 中,过 G 作 GH ? BD。垂足为 H,连接 EH,由三 垂线定理知 EH ? BD。从而 ?EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角。 1 1 设 AB ? ? 则在? PAC中,有EG ? PA ? k? 2 2 1 1 以下计算 GH,考虑底面的平面图(如答(19)图 2) 。连结 GD,因 S? CBD ? BD ? GH ? GB ? DF 2 2 GB ? DF 1 1 故 GH= .在 ? ABD中,因AB ? a.AD ? 2a.得BD ? 5a 。而 GB ? FB ? AD ? a, BD 2 2

-7-

1 ka GB ? AB a ? a 5 EG 2 5k 因此,tan EHG ? 。 k ?0 由 DF ? AB, 从而得GH ? ? ? a。 ? ? BD 5 GH 2 5a 5a 5
? 知 ?EHG 是锐角。 故要使 ?EHG ? 30 , 必须

5k 3 2 15 , 解之得, 中的取值范围为 k ? ? tan 30? ? 2 3 15

14、 (Ⅰ)因 B1C1 ? A1 B1 ,且 B1C1 ? BB1 ,故 B1C1 ? 面 A1ABB1,从而 B1C1⊥B1E,又 B1E⊥DE,故 B1E 是异面直线 B1C1 与 DE 的公垂线. 设 BD 的长度为 x ,则四棱椎 C ? ABDA 的体积 V1 为 1 A1 B1 F E D C1

V1 ?

1 1 1 S ABDA1 ? BC ? ( DB ? A1 A) ? AB ? BC ? ( x ? 2) ? BC . 3 6 6

而直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V2 为

V2 ? S ?ABC ? AA1 ?

1 AB ? BC ? AA1 ? BC . 2 1 3 8 由已知条件 V1 : V2 ? 3 : 5 ,故 ( x ? 2) ? ,解得 x ? . 6 5 5 8 2 从而 B1D ? B1 B ? DB ? 2 ? ? . 5 5
又直角三角形 A1 B1 D 中,

A B

C C

2 29 2 , A1 D ? A1 B1 ? B1 D 2 ? 1 ? ( ) 2 ? 5 5
又因 S ?A1B1D ? 故 B1 E ?

1 1 A1 D ? B1 E ? A1 B1 ? B1 D . 2 2

A1 B1 ? B1 D 2 29 . ? A1 D 29

(Ⅱ)如右图,过 B1 作 B1F⊥C1D,垂足为 F,连接 A1F.因 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1D, 故 A1B1⊥面 B1DC1,由三垂线定理知 C1D⊥A1F,故∠A1FB1 为所求二面角的平面角. 在直角 ?C1 B1 D 中, C1 D ? B1C1 2 ? B1 D 2 ? 2 ? ( ) 2 ? 又因 S ?C1B1D ?

2 5

3 6 , 5

1 1 C1 D ? B1 F ? B1C1 ? B1 D ,故 2 2

B1 F ?

B1C1 ? B1 D 2 3 AB 3 3 ,所以 tan A1 FB1 ? 1 1 ? . ? C1 D 9 B1 F 2
AD AE ? ,故 BE∥BC.又因 B=90°,从而 DB CE

15、 (Ⅰ)在答(19)图 1 中,因

AD⊥DE.
-8-

在第(19)图 2 中,因 A-DE-B 是直二面角,AD⊥DE,故 AD⊥底面 DBCE,从

而 AD⊥DB.而 DB⊥BC,故 DB 为异面直线 AD 与 BC 的公垂线. 下求 DB 之长.在答(19)图 1 中,由 又已知 DE=3,从而 BC ?

AD AE DE AD 2 ? ? 2 ,得 ? ? . CB BC BC AB 3

3 9 DE ? . 2 2
2 2 2

? 15 ? ? 9 ? AB ? AC ? BC ? ? ? ? ? ? ? 6. ? 2 ? ?2?
2



DB 1 ? , 故DB=2. AB 3

(Ⅱ)在第(19)图 2 中,过 D 作 DF⊥CE,交 CE 的延长线于 F,连接 AF.由(1)知, AD⊥底面 DBCE,由三垂线定理知 AF⊥FC,故∠AFD 为二面角 A-BC-B 的平面 角. 在底面 DBCE 中,∠DEF=∠BCE,

1 15 5 DB ? 2, EC ? ? ? , 3 2 2 DB 4 ? . 因此 sin BCE ? EC 5
从而在 Rt△DFE 中,DE=3,

4 12 DF ? DE sin DEF ? DE sin BCE ? 3? ? . 5 5 AD 5 ? . 在 Rt ?AFD中, AD ? 4, tan AFD ? DF 3 5 因此所求二面角 A-EC-B 的大小为 arctan . 3
16、 (Ⅰ) 因为 AD//BC,且 BC ? 平面BCS , 所以 AD // 平面BCS , 从而 A 点到平面 BCS 的距离等于 D 点到 平面 BCS 的距离。 因为平面 CSD ? 平面ABCD,AD ? CD, 故 AD ? 平面CSD ,从而 AD ? SD ,由 AD//BC,得

BC ? DS ,又由 CS ? DS 知 DS ? 平面BCS ,从而 DS 为点 A 到平面 BCS 的距离,因此在
-9-

Rt ?ADS 中, DS ? AS 2 ? AD2 ? 3 ?1 ? 2
(Ⅱ)如答(19)图 1,过 E 点作 EG ? CD, 交 CD 于点 G ,又过 G 点 作 GH ? CD ,交 AB 于 H ,故 ?EGH 为二面角 E ? CD ? A 的平 面角,记为 ? ,过 E 点作 EF//BC,交 CS 于点 F,连结 GF,因平面

ABCD ? 平面CSD, GH ? CD, 易知GH ? GF

,



??

?
2

? ?EGF . 1 CS ? 1 ,在 Rt ?CFE 中, 2

由于 E 为 BS 边中点,故 CF ?

EF ? CE2 ? CF 2 ? 2 ?1 ? 1 ,因 EF ? 平面CSD ,又 EG ? CD ,故由三垂线定理的逆定理得
FG ? CD ,从而又可得 ?CGF : ?CSD, 因此

GF CF ? ,而在 Rt ?CSD 中, DS CD

CD ? CS 2 ? SD2 ? 4 ? 2 ? 6, 故 GF ?
在 Rt ?FEG 中, tan EGF ?

CF 1 1 ? DS ? ? 2? CD 6 3

EF ? ? ? 3 ,可得 ?EGF ? ,故所求二面角的大小为 ? ? FG 3 6
P

17、 (Ⅰ)如图 ,在矩形 ABCD 中, AD // 平面 PBC , 故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离. 因 PA ? 底面 ABCD ,故,由 PA ? AB 知 ?PAB 为等腰三角 形,又点 E 是棱 PB 中点,故 AE ? PB .又在矩形 ABCD 中, BC ? AB ,而 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的射影,由 三垂线定理得 BC ? PB ,从而 BC ? 平面 PAB ,故 E

F A G B C D

BC ? AE .从而 AE ? 平面 PBC ,故 AE 之长即为直线 AD
与平面 PBC 的距离.

(Ⅱ)过点 D 作 DF ? CE ,交 CE 于 F,过点 F 作 FG ? CE ,交 AC 于 G,则 ?DFG 为所求的二面 角的平面角. 由 ( Ⅰ ) 知 BC ? 平 面 PAB , 又 AD // BC , 得 AD ? 平 面 PAB , 故 AD ? AE , 从 而

DE ? AE2 ? AD2 ? 6 .
在 Rt?CBE 中, CE ?

BE2 ? BC2 ? 6 .由 CD ? 6 ,所以 ?CDE 为等边三角形,故 F 为 CE

的中点,且 DF ? CD ? sin

?
3

?

3 2 . 2

- 10 -

因为 AE ? 平面 PBC,故 AE ? CE ,又 FG ? CE ,知 FG // 的中点. 连接 DG,则在 Rt?ADC 中, DG ? 所以 cos DFG ?

1 3 AE ,从而 FG ? ,且 G 点为 AC 2 2

1 1 3 AC ? AD 2 ? CD 2 ? . 2 2 2

DF 2 ? FG 2 ? DG 2 6 . ? 2 ? DF ? FG 3

18、 (I)解:如答(19)图 1,设 F 为 AC 的中点,由于 AD=CD,所以 DF⊥AC. 故由平面 ABC⊥平面 ACD,知 DF⊥平面 ABC, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高, 且 DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°= 3 . 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF= 2 3 ,AB=2BC, 由勾股定理易知 BC ?

2 15 4 15 , AB ? . 5 5

故四面体 ABCD 的体积

1 1 1 4 15 2 15 4 V ? ? S?ABC ? DF ? ? ? ? ? . 3 3 2 5 5 5
(II)如答(19)图 1,设 G,H 分别为边 CD,BD 的中点,则 FG//AD,GH//BC,从而∠FGH 是异面 直线 AD 与 BC 所成的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点,则 EF//BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB.又由(I)有 DF⊥平面 ABC, 故由三垂线定理知 DE⊥AB. 所以∠DEF 为二面角 C—AB—D 的平面角,由题设知∠DEF=60° 设 AD ? a, 则DF ? AD ? sin CAD ?

a . 2

在 Rt ?DEF中, EF ? DF ? cot DEF ?

a 3 3 ? ? a, 2 3 6

从而 GH ?

1 3 BC ? EF ? a. 2 6
1 a BD ? , 2 2

因 Rt△ADE≌Rt△BDE,故 BD=AD=a,从而,在 Rt△BDF 中, FH ? 又 FG ?

1 a AD ? , 从而在△FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理得 2 2

FG 2 ? GH 2 ? FH 2 GH 3 cos FGH ? ? ? 2 FG ? GH 2FG 6
因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

3 . 6
- 11 -


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