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高考中的概率统计题


高考中的概率统计
2014.9 录 一、选择题 1.(2014.河南理科第 5 题)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率( )

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8
<

br />D.

7 8

2.(2014.北京理科第 8 题)有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三 种.若 A 同学每科成绩不低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学 成绩好.”现有若干同学,他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成 绩一样,数学成绩也一样的。问满足条件的最多有多少学生( A. 2 B. 3 C. 4 ) D. 5

3.(2014.广东理科第 6 题)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查, 则 样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A、200,20

B、100,20

C、200,10

D、100,10

4.(2014.湖南理科第 2 题)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机 抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分 别为 p1 、 p2 、 p3 ,则( A、 p1 ? p2 ? p3 ) C、 p1 ? p3 ? p2 D、 p1 ? p3 ? p2

B、 p1 ? p2 ? p3

5.(2014.山东理科第(7)题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所 有志愿者的舒张压数据(单位: kPa )的分组区间为 [12,13) , [13,14) , [14,15) ,

[15,16) , [16,17] ,将其按从左到右
的顺序分别编号为第一 组, 第二组,......,第五组. 右图是根据试验数据制成 的频率分布直方图.已知第 一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( (A)1 (B)8 ) (C)12 (D)18

6.(2014.陕西理科第 9 题) 设样本数据 x1 , x2 , ( a 为非零常数, i ? 1, 2, A. 1+a, 4

, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,yi ? xi ? a

,10 ) ,则 y1 , y2,

y10 的均值和方差分别为(
D.1, 4+a



B. 1 ? a, 4 ? a

C. 1, 4

7. (2014.新课标 2.理科第 5 题)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的 概率是 0.75,连续两为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的 空气质量为优良的概率是( A. 0.8 二、填空题 8. (2014.江苏第 4 题) 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积 为 6 的概率是 . B. 0.75 ) C. 0.6 D. 0.45

9. (2014.江苏第 6 题) 设抽测的树 木的底部周长均在区间[80,130] 上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的 60 株树木中,有

株树木的底部周长小于 100cm. 江苏第 6 题图 10. (2014.广东理科第 11 题)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数 的中位数是 6 的概率为 。

11.(2014.江西理科第 12 题)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好 取到 1 件次品的概率是________. 12.(2014.上海理科第 13 题)某游戏的得分为 1, 2, 3, 4, 5, 随机变量 ? 表示小白玩该游 戏的得分.若 E (? ) ? 4.2 , 则小白得 5 分的概率至少为 13.(2014.天津理科第 (9)题)某大学为了解在 校本科生对参加某项社会 实践活动的意向, 拟采用分层抽样的 方法,从该校四个年级的 本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调 查.已知该校一年 级、二年级、三年 级、四年级的本科生 人数之比为 4:5:5:6,则应 从一年级本科生中抽 取_______名学生.三、解答题 14. (2014.河南理科第 18 题)(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测 量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中 点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,其
2
2



中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于 区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N ( ? , ? 2 ) ,则

P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826,
P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.
15. (2014.河南文科第 (18) 题) (本 小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中 抽取 100 件,测量这些产品的一项 质量指标值,由测量表得如下频数 分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图: (II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定?

16.(2014.江苏第 22 题) (本小题满分 10 分) 盒中共由 9 个球,其中由 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同。 (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个求颜色相同的概率 P ; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1 , x2 , x3 , 随机变量 X 表示 x1 , x2 , x3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) 。

17.(2014.安徽理科第(17)题) (本小题满分 12 分) 甲乙恋人进行围棋比赛, 约定先连胜两局者直接赢得比赛, 若赛完 5 局仍未初相连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为 赛结果相互独立。 (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比 3 3

18. (2014.安徽文 科第 17 题) (本小 题满分 12 分) 某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学生每周平均体 育运动时间的情况, 采用分层抽样的方法, 收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数 据(单位:小时) (Ⅰ)应收集多少位女生样本数据? (Ⅱ)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示 ) , 其 中 样 本 数 据 分 组 区 间 为 :

. 估计该校学生每周平均体 育运动时间超过 4 个小时的概率. (Ⅲ) 在样本数据中, 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均 体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有 体育运动时间与性别有关”. 附: K ?
2

的把握认为“该校学生的每周平均

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

P(K 2 ? k0 )
kII

19. (2014.北京理科第 16 题) (本小题 13 分). 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立) : 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 投篮次数 22 15 12 23 24 命中次数 12 12 8 8 20 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 投篮次数 18 13 21 18 25 命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0 .6 的概率. (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0 .6 ,一场 不超过 0 .6 的概率. (3)记 x 是表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在 这比赛中的命中次数,比较 E ( X ) 与 x 的大小(只需写出结论)

20. (2014.北京文科第 18 题) (本小题满分 13 分) 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整 理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)

21.(2014.广东理科第 17 题) (13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工 零件数(单位:件) ,获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29, 43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 学科网人的日加工零件 数落在区间(30,50]的概率。

22 .(2014.湖南理科第 17 题)(本小题满分 l2 分) 某企事业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立。 (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率; (Ⅱ)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企 业可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望。

2 3 和 ,现安排 3 5

? 23.(2014.江西理科第 21 题) (满分 14 分)随机将 1, 2, ???, 2n n ? N , n ? 2 这 2n 个连续

?

?

正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1 ,最大数为 a2 ;B 组最小数为 b1 , 最大数为 b1 ,记 ? ? a2 ? a1 ,? ? b1 ? b2 (1)当 n ? 3 时,求 ? 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件 ? 与 ? 的取值恰好相等,求事件 C 发生的概率 p ? c ? ; (3)对(2)中的事件 C, c 表示 C 的对立事件,判断 p ? c ? 和 p ? c ? 的大小关系,并说明理 由。

24. (2014.辽宁理科第 18 题) (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图, 如图所 示:

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低 于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期望

E ( X ) 及方差 D( X ) .

25. (2014.全国理科第 20 题) (本小题满分 12 分)

0.5、 0.5、 0.4 ,各人 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6、
是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.

26.(2014.陕西理科第 19 题) (本小题满分 12 分) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元 的概率.

27. (2014.四川理科第 17 题)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每 次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分 (即获得 ?200 分) 。 设每次击鼓出现音乐的概率为

1 , 且各次击鼓出现音乐相互独立。 2

(1)设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增 加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

28.(2014.天津理科第(16)题) (本小题满分 13 分) 某大学志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学. 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学 院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选 取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ )求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ )设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

29. (2014.新课标 2.理科第 19 题) (本小题满分 12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民 家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

答案部分 选择题 5.(2014.河南理科).D 8(2014.北京理科)B 6、(2014.广东理科)A 2、(2014.湖南理科) (7)(2014.山东理科)C 9. (2014.陕西理科)A 5. (2014.新课标 2.理科)A 填空题 2014.江苏第 4 题

1 3

2014.江苏第 6 题 24

1 6 1 2014.江西理科第 12 题 2
2014.广东理科第 11 题 2014.上海理科第 13 题 0.2 2014.天津理科第(9)题 60 解答题

14.河南省(18)解 (I)收取产品的质量指标值的样本平均数 a 和样本方差 b 分别是 a=200 b=150 (错误!未找到引用源。 )由上诉可此,Z~N(200,165),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意可知 X~B(100,0.6826),所以 EX=100 错误!未找到引用源。

15.河南省文(18)解 (1)

(2)质量指标的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100
质量指标值的样本方差为

S 2 ? (?20)2 ? 0.06 ? (?10)2 ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08 ? 104
所以此题得证。 (10 分) (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标不低于 95 的产品 至少要占全部产品 80%”的规定。 (12 分) 16.(2014.江苏第 22 题)

【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解 能力。满分 10 分。 解: (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,
2 2 C4 ? C32 ? C2 6 ? 3 ?1 5 所以 P ? ? ? 2 C9 36 18

(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4 ,故 P( X ? 4) ? { X ? 4} 表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”
4 C4 1 ; ? 4 C9 126

{ X ? 3} 表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个
3 1 3 1 C4 C5 ? C3 C6 20 ? 6 13 黄球和 1 个其他颜色的球” ,故 P( X ? 3) ? ? ? ; 4 C9 126 63

于是 P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 1 ? 所以随机变量 X 的概率分布如下表:

13 1 11 ? ? 63 126 14

X P

2

3

4

11 14

13 63

1 126

17.(2014.安徽理科第(17)题) (本小题满分 12 分) 17.(本小题满分 12 分) 解:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” , Ak 表示“第 k 局甲获胜” , Bk 表示 “第 k 局乙获胜” ,则

2 1 P( Ak ) ? , P( Bk ) ? , k ? 1, 2,3, 4,5 3 3
(Ⅰ) P( A) ? P( A 1A 2 ) ? P( B 1 A2 A 3 ) ? P( A 1B2 A 3 A4 )

? P( A1 )P( A2 ) ? P(B1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P(B2 )P( A3 )P( A4 )
2 1 2 2 1 2 56 ? ( )2 ? ? ( )2 ? ? ? ( )2 ? 3 3 3 3 3 3 81
(Ⅱ) ? 的可能取值为 2,3,4,5

P( ? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( B1 ) P( B2 ) ?

5 9

P( ? ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1B2 B3 )

? P( B1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1 ) P( B2 ) P( B3 ) ?

2 9

P( ? ? 4) ? P( A1B2 A3 A4 ) ? P(B1 A2 B3 B4 )
? P( A1 ) P( B2 ) P( A3 ) P( A4 ) ? P( B1 ) P( A2 ) P( B3 ) P( B4 ) ? 10 81

P( ? ? 5) ? 1 ? P( ? ? 2) ? P( ? ? 3) ? P( ? ? 4) ?
故 ? 的分布列为

8 81

?
P

2

3

4

5

2 9 5 2 10 8 224 E? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 9 9 81 81 81
18.(2014.安徽文科第 17 题) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 300 ?

5 9

10 81

8 81

4500 ? 90 ,所以应收集 90 位女生的样本数据. 15000

(Ⅱ)由频率分布直方图得 1 ? 2 ? (0.100 ? 0.025) ? 0.75,所以该校学生每周平均体育运 动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,300 位学生中 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时。 又因为样本数据中有 210 份是关于男生 的,90 份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别联表 男生 每周平均体育运动时 45 间不超过 4 小时 每周平均体育运动时 165 间超过 4 小时 总计 结合联表可算得 K ?
2

女生 30

总计 75

60 90

225 300

210

300 ? 22502 100 ? ? 4.762 ? 3.841 75 ? 225 ? 210 ? 90 21

所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” 。 19. (2014.北京理科第 16 题) (本小题 13 分). 解:

(Ⅰ)根据偷懒统计数据,在 10 长比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 长,分别 是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5 (Ⅱ)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” , 事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6” , 则 C ? AB ? AB , A, B 独立 根据投篮统计数据, P( A) ?

3 2 , P( B) ? 5 5

P(C) ? P( AB) ? P( AB)
3 3 2 2 ? ? ? ? 5 5 5 5 13 ? 25
所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场 不超过 0.6 的概率为 (Ⅲ) EX ? x 20. (2014.北京文科第 18 题) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 根据频数分布表, 100 名学生中课外阅读事件不少于 12 小时的学生共有 6+2+2=10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1 ?

13 25

10 ? 0.9 100

从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9。 (Ⅱ)课外阅读时间落在组[4,6)的有 17 人,频率为 0.17,所以

a?

频率 0.17 ? ? 0.085 组距 2

课外阅读时间落在组[8,10)的有 25 人,频率为 0.25,所以

b?

频率 0.25 ? ? 0.125 组距 2

(Ⅲ)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数在第 4 组. 21.(2014.广东理科第 17 题) 解:

(Ⅰ) n1 ? 7, n2 ? 2, f1 ?

7 2 ? 0.28, f 2 ? ? 0.08 25 25

(Ⅱ)频率分布直方图如下所示:

(Ⅲ)根据频率分布直方图,可得工人们日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 0.2, 设日加工零件数落在区间(30,35]的人数为随机变量 ? ,则 ? 至 少 有 1

B (4,0.2) ,故 4 人中,

人 的 日 加 工 零 件 数 落 在 区 间 ( 30 , 35] 的 概 率 为 :

0 1 ? C4 ? 0.20 ? 0.84 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904

22 .(2014.湖南理科第 17 题)(本小题满分 l2 分) 解: (1)设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件,则事件 B 为一 种新产品都没有成功,因为甲、乙成功的概率分别为

2 3 , ,则 3 5

3? 1 2 ? 2? ? P( B )? ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 5? 3 5 ? 3? ?
P ( A) ? 1 ? P ( B ) ?

2 15

,再根据对立事件概率之间的公式可得

13 13 ,所以至少一种产品研发成功的概率为 15 15

(2)由题可得,设该企业可获得利润为 ? ,则 ? 的取值有 0,120+0,100+0,120+100,即

? =0,120,100,220
由独立试验的概率计算公式可得:

? 2? ? 3? 2 P(? ? 0) ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 5 ? 15 2 ? 3? 4 P(? ? 120) ? ? ?1 ? ? ? 3 ? 5 ? 15 ? 2? 3 1 P(? ? 100) ? ?1 ? ? ? ? ? 3? 5 5

P (? ? 220) ?

2 3 2 ? ? 3 5 5

所以 ? 的分布列如下:

?
P (? )

0

100

120

220

2 15

1 5

4 15

2 5

则数学期望 E? ? 0 ?

2 4 1 2 ? 120 ? ? 100 ? ? 220 ? ? 32 ? 20 ? 88 ? 130 . 15 15 5 5

23.(2014.江西理科第 21 题) 解: (1)随机变量 ? 取值的所有可能是 2,3,4,5

P(? ? 5) ?
P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ?

4 1 ? 3 C6 5
4 1 ? 3 C6 5 6 3 ? 3 C6 10 6 3 ? 3 C6 5

? 的分布列为: ?
P
2 3 4 5

1 5

3 10

3 10

1 5

所以, ? 的数学期望为

1 3 3 1 7 E (? ) ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 5 10 10 5 2
(2)事件 ? 与? 的取值恰好相等的基本事件: 共 P(c) ? 2 ?
1 2 3 n ?2 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? ... ? C2( n ?2) n C2 n

(n ? 3)

n ? 2 时, P(c) ? 2 ?

2 2 ? 2 C4 3
1 的 2

(3)因为 P(c) ? P(c) ? 1 ,所以要比较 P (c) 与 P(c) 的大小,实际上要比较 P (c) 与 大小,

由 P(c) ? 2 ?

1 2 3 n ?2 1 ? 1 ? C2 ? C4 ? C6 ? ... ? C2( n ?2) n C2 n

(n ? 3) 可知,

当 n ? 2 时, P(c) ? P(c) 当 n ? 3 时, P(c) ? P(c) 24. (2014.辽宁理科第 18 题) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 A , A2 表示事件“日销售量低于 50 个” , B 1 表示事件“日销售量不低于 100 个” 表示事件 “在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个” , 因此

P( A1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15
P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108
(Ⅱ) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
0 P( X ? 0) ? C3 ? (1 ? 0.6)3 ? 0.064 , 1 P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6)2 ? 0.288 , 2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? (1 ? 0.6) ? 0.432 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.63 ? 0.216 ,

分布列为

X
P
因 为 X

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

B ( 3 , 0.6 ) , 所 以 期 望 E( X ) ? 3 ? 0.6 ? 1.8 , 方 差

D( X ) ? 3 ? 0.6 ? (1 ? 0.6) ? 0.72
25. (2014.全国理科第 20 题) (本小题满分 12 分) 解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备, i ? 0,1, 2 , B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:丁需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备

(Ⅰ) D ? A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B ?C
i P(B) ? 0.6, P(C) ? 0.4, P( Ai ) ? C2 ? 0.52 , i ? 0,1, 2 ………3 分

所以 P( D) ? P( A 1 ? B?C ? A 2 ?B? A 2 ? B ? C)

? P( A1 ? B ? C) ? P( A2 ? B) ? P( A2 ? B ? C)

? P( A1 ) ? P(B) ? P(C) ? P( A2 ) ? P(B) ? P( A2 ) ? P(B) ? P(C)
? 0.31 ……………………………………6 分
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为

P(? ? 0) ? P(B ? A0 ? C)

? P( B) ? P( A0 ) ? P(C )
? (1 ? 0.6) ? 0.52 ? (1 ? 0.4)
? 0.06

P(? ? 1) ? P( B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C ) ? P(B) ? P( A0 ) ? P(C) ? P(B) ? P( A0 ) ? P(C) ? P(B) ? P( A1) ? P(C)
? 0.6 ? 0.52 ? (1 ? 0.4) ? (1 ? 0.6) ? 0.52 ? 0.4 ? (1 ? 0.6) ? 0.52 ? (1 ? 0.4)
? 0.25

P(? ? 4) ? P( A2 ? B ? C) ? P( A2 ) ? P(B) ? P(C) ? 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.06
P( ? ? 3) ? P( D) ? P( ? ? 4) ? 0.25

P( ? ? 2) ? 1 ? P( ? ? 0) ? P( ? ? 1) ? P( ? ? 3) ? P( ? ? 4)
? 1 ? 0.06 ? 0.25 ? 0.25 ? 0.06 ? 0.38 ?????????????????????????10
分 数学期望

EX ? 0 ? P( ? ? 0) ? 1? P( ? ? 1) ? 2 ? P( ? ? 2) ? 3? P( ? ? 3) ? 4 ? P( ? ? 4)
? 0.25 ? 2 ? 0.38 ? 3 ? 0.25 ? 4 ? 0.06
? 2 ???????????????????????12 分
26.(2014.陕西理科第 19 题) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg” , B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.4

利润=产量 ? 市场价格 ? 成本

? X 所有可能的取值为
500 ?10 ? 1000 ? 4000, 500 ? 6 ? 1000 ? 2000, 300 ?10 ? 1000 ? 2000, 300 ? 6 ? 1000 ? 800

P( X ? 4000) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.4) ? 0.3 P( X ? 2000) ? P( A)P(B) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.4) ? 0.5
P( X ? 800) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
所以 X 的分布列为

X
P

4000 0.3

2000 0.5

800 0.2

(Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” ( i =1,2,3) , 由题意知 C1 , C2 , C3 相互独立,由(Ⅰ)知,

P(Ci ) ? P( X ? 4000) ? P( X ? 2000) ? 3 ? 0.5 ? 0.8(i ? 1, 2,3) ,
3 季的利润均不少于 2000 元的概率为

P(C1C2C3 ) ? P(C1 )P(C2 )P(C3 ) ? 0.83 ? 0.512 ;
3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为

P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? P(C1C2C3 ) ? 3? 0.83 ? 0.2 ? 0.384 ;
所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896 27.(2014.四川理科第 17 题) 解: (1) X 可能取值有 ?200 ,10,20,100

1 1 1 1 3 1 1 1 P( X ? ?200) ? C30 ( )0 (1 ? )3 ? , P( X ? 10) ? C3 ( ) (1 ? ) 2 ? , 2 2 8 2 2 8 1 1 3 1 1 3 1 3 P( X ? 20) ? C32 ( ) 2 (1 ? )1 ? , P( X ? 100) ? C3 ( ) (1 ? )0 ? 2 2 8 2 2 8
故分布列为

X

?200

10

20

100

3 1 8 8 3 3 1 7 (2)由(1)知:每盘游戏出现音乐的概率是 p ? ? ? ? 8 8 8 8 7 511 0 7 0 则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 p1 ? 1 ? C3 ( ) (1 ? )3 ? 8 8 512
P (3)由(1)知,每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是

1 8

3 8

1 3 3 1 10 E ( X ) ? (?200) ? ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? 分 8 8 8 8 8
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过 若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少。 28.(2014.天津理科第(16)题) (本小题满分 13 分) 本小题主要考查古典概型及其概率计算公式, 互斥事件、 离散型随机变量的分布列与数学期 望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分 13 分. (Ⅰ)解:设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 A ,则

P( A) =

1 2 C3 ?C7

0 3 C3 C7

C

3 10

=

49 . 60
49 . 60

所以,选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为 所以, f ( x) 的最小正周期 T =

2p = p. 2

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
k 3- k C4 ×C6 P(x = k ) = (k = 0,1,2,3) . 3 C10

所以,随机变量 X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10 1 1 3 + 2? 2 10

随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 0 ?

1 6

1 30 1 6 3? . 30 5

29. (2014.新课标 2.理科第 19 题) (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由所给数据计算得

t?

1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 7

y?
7

1 (2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9) ? 4.3 7
2 i

? (t ? t )
i ?1 7 i ?1 i

? 9 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9 ? 28

? (t ? t )( y ? y )
i

? (?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ?1.6
? 14
? 7

b?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? 14 ? 0.5 , 28

? ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 ? ? y ? bt a
所求回归方程为 y ? 0.5t ? 2.3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, b ? 0.5 ? 0 ,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收 入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元。 将 2015 年的年份代号 t ? 9 代入(Ⅰ)中的回归方程,得
?

y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 608 千元。


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