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高二年级文科立体几何知识点

时间:2013-01-17


立体几何知识点
第一章 空间几何体 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体、旋转体、简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组 合体的构成形式:①由简单几何体拼接而成;②由简单几何体截去或挖去一部分而成 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱 棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面 体叫做棱锥 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫 做棱台 2、空间几何体的三视图 (1)定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正”“高平齐”“宽相等” , , 3、空间几何体的直观图: 斜二测画法的基本步骤:必修 2 P 16 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积; S 侧面 ? 2? ? r ? l
r S侧=2πr?l B

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l
O1 r h O2 R l

⑷体积公式:

V柱体 ? S ? h

1 V锥体 ? S ? h 3

1 V台体 ? h S上 ? S上 ? S下 ? S下 3

?

?

⑸球的表面积和体积:

S球 ? 4? R 2

4 V球 ? ? R3 3

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、几个公理: 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

α

A

B

l

? A ? l, B ? l ?l ?? ? ? A ?? , B ??

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面

α
l

C A

B

l r

A

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ? 推论 1:过直线和直线外一点有且只有一个平面

AB=2πr

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l
A l V θ l r h l B 图中:扇形的半径长为l, 圆心角为θ,弧AB 的长 L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径.提醒圆心角 π 为弧度角,例如60° 弧度, 3 π π 45° 弧度,90° 弧度等等) 4 2
1

α
α

A
A

l
l
m

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面

圆锥的侧面展开图是扇形, 1 扇形面积S扇形 弧长 半径 2

α

m n

公理 2 及其推论的作用:确定平面、判定多边形是否为平面图形的依据 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示:
β α
P

α

l

P ?? , P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l
L

四、平面与平面的位置关系:1、平行:没有公共点 2、相交:有一条公共直线 五、平行关系: 1. 线线平行:

·

公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据 (2)证明点共线、线共点等 4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. 符号表示: a ? b, c ? b ? a ? c
a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

证明两直线平行的常用方法: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线和它们的交线平行;

公理 4 作用:证明两直线平行

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相同 ? ?1=?2

b

方向相同则 ∠1=∠2

方向相反则 ∠1+∠2=180°

a ? a ?, b ? b?且?1与?2方向相反 ? ?1 ? ?2=180?

? ? a?? ? ? a ?b ? ? ? ? b? ?
④平行线的传递性: a ? b, c ? b ? a ? c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;

a ??

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等 二、空间两条直线的位置关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点 三、直线和平面的三种位置关系: 1.直线和平面平行

? ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ? b ? ? ? ? b? ?
⑥垂直于同一平面的两直线平行;

l α

a ??? ? ? a ?b b ?? ?

符号表示: 2. 直线和平面相交

2. 线面平行: 方法一:判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
l A α

符号表示: 3. 直线在平面内
2

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

方法二:

? // ? ? ? ? l // ? l ? ??
l // ?
l β α m

七、夹角问题 (一)异面直线所成的角:(1) 范围: (0?,90?] (2)求法:①平移,使它们相交,找到夹角 ②解三角形求出角(常用到余弦定理)

? ? 3. 面面平行: m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交? ?
六、垂直关系: 1. 线线垂直:

a2 ? b2 ? c2 余弦定理: cos? ? (计算结果可能是其补角) 2ab
(一) 线面角:(1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) , PO ?

a θ b

c



证明两直线垂直的常用方法: ①利用勾股定理证明两相交直线垂直; ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直) ; ④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。 2.线面垂直:

? 于 O,连结 AO,则 AO 为斜线 PA 在面 ? 内的射影, ?PAO (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所

成的角。
P A θ

α

O

l ? AC ? ? l ? AB ? 方法一:用线线垂直实现: ??l ?? AC ? AB ? A? AC, AB ? ? ? ?
方法二:垂直于同一条直线的两个平面平行

(2)范围: [0?,90?]

当 ? ? 0? 时, l ? ? 或 l // ? ;当 ? ? 90? 时, l ? ? ②解三角形,求出线面角

(3)求法:①作出线面角,并证明

a ? ?, a ? ? ? ? / /?
β l m α
β l

(二) 二面角:(1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n, 则 射 线
? ? ? m P n l

m



n

的 夹 角 ? 为 二 面 角

? — l — ? 的 平 面 角 。

? ?? ? ? ? 方法三: 用面面垂直实现: ? ? ? m ? ? l ? ? l ? m, l ? ? ? ?
3. 面面垂直:

l ??? 方法一:用线面垂直实现 ??? ? ? l ? ??
方法二:计算所成二面角为直角

(2)范围: [0?,180?] (3)求法:步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角
3

α

4


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