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2017届高考数学一轮复习 阶段检测试题(六)


阶段检测试题(六)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点、方法 统计 统计案例 概率 算法 复数 推理与证明 综合问题 题号 3,7,11 4,6 2,9,16 5,8,15 1,13 10,12,14,17,22 18,19,20,21

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.复数 m

-1+(m+1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为( B ) (A)-1 (B)1 (C)±1 (D)±2 2 解析:若复数 m -1+(m+1)i 是纯虚数, 2 则 m -1=0 且 m+1≠0, 解得 m=±1 且 m≠-1, 解得 m=1,故选 B. 2.从 3 个红球、2 个白球中随机取出 2 个球,则取出的 2 个球不全是红球的概率是( C ) (A) (B) (C) (D)

解析:“取出的 2 个球全是红球”记为事件 A, 则 P(A)= . 因为“取出的 2 个球不全是红球”为事件 A 的对立事件, 所以其概率为 P( )=1-P(A)=1- = .故选 C. 3.(2016 常德一模)现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有 150 件、120 件、180 件、150 件.为了调查产品的情况,需从这 600 件产品中抽取一个容量为 100 的样本,若采用分层抽样,设甲产品中应抽取 产品件数为 x,且此次抽样中,某件产品 A 被抽到的概率为 y,则 x,y 的值分别为( D ) (A)25, (B)20, (C)25, (D)25,

解析:根据题意得

=

,

解得 x=25. 由于分层抽样的每个个体被抽到的概率相等, 所以 y= = .故选 D.

1

4.(2016 高安市校级一模)为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用 2 2×2 列联表进行独立性检验,经计算χ =8.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为( C ) (A)0.1% (B)1% (C)99% (D)99.9% P(χ ≥k0) k0
2 2

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

解析:因为χ =8.01>6.635,对照表格可知, 有 99%的把握说“喜欢乡村音乐与性别有关系”. 故选 C. 5.(2016 开封二模)给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是 ( C )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2 解析:当 x≤2 时,由 x =x 得 x=0,1 满足条件; 当 2<x≤5 时,由 2x-3=x 得 x=3 满足条件; 当 x>5 时,由 =x 得 x=±1,不满足条件, 所以这样的 x 值有 3 个. 故选 C. 6.(2016 济南一模)某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据, 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y=8.5x+7.5,则表中的 m 的值为( C ) x y (A)50 (B)55 2 25 (C)60 (D)65 =5, 4 35 5 m 6 55 8 75

解析:由题意, =

=

=38+ .

因为 y 关于 x 的线性回归方程为 y=8.5x+7.5, 根据线性回归方程必过样本点的中心, 得 38+ =8.5×5+7.5,

2

所以 m=60.故选 C. 7.(2016 福州一模)如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员 12 个场次得分的茎叶图.设甲、乙两人得分的平均 数分别为 , ,中位数分别为 m 甲,m 乙,则( C )

(A)

<

,m 甲<m 乙

(B)

<

,m 甲>m 乙

(C)

>

,m 甲>m 乙

(D)

>

,m 甲<m 乙

解析:由题意, = (8+10+15+16+23+25+26+27+27+28+31+32)≈22.3,

= (8+12+14+14+17+17+18+19+21+27+28+29)≈18.7, 中位数分别为 m 甲=25.5,m 乙=17.5, 所以 > ,m 甲>m 乙,故选 C.

8.(2016 重庆模拟)如图给出的是计算 + + +?+ 处应填的语句是( C )

的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)

(A)i>100,n=n+1 (B)i>100,n=n+2 (C)i>50,n=n+2 (D)i≤50,n=n+2 解析:经第一次循环得到的结果是

经第二次循环得到的结果是

3

经第三次循环得到的结果是 据观察 S 中最后一项的分母与 i 的关系是分母=2(i-1), 令 2(i-1)=100,解得 i=51, 即需要 i=51 时输出, 故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是 i>50,n=n+2.故选 C. 9.(2016 赤峰模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是( (A) (B) (C) (D)

A )

解析:抛掷两枚质地均匀的骰子的基本事件共 36 个: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2, 6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6);而向上的点数之差的绝对值为 3 的基本事件有 6 个:(1,4),(4,1), (2,5),(5,2),(3,6),(6,3), 所以向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是 = .

10.在 R 上定义运算:

=ad-bc.若不等式

≥1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为(

D )

(A)-

(B)-

(C) (D)
2 2

解析:据已知定义可得不等式 x -x-a +a+1≥0 恒成立, 2 故Δ =1-4(-a +a+1)≤0, 解得- ≤a≤ ,故 a 的最大值为 . 11.(2016 黄冈模拟)一组数据中的每一个数据都乘以 2,再都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( A ) (A)40.6,1.1 (B)48.8,4.4 (C)81.2,44.4 (D)78.8,75.6 解析:记原数据依次为 x1,x2,x3,?,xn, 则新数据依次为 2x1-80,2x2-80,2x3-80,?,2xn-80, 且 =1.2,

因此有

=

=40.6,

结合各选项知正确选项为 A.

4

12.(2016 漳州二模)对于定义域为 D 的函数 y=f(x)和常数 C,若对任意正实数ξ ,存在 x∈D,使得 0<|f(x)-C|< ξ 恒成立,则称函数 y=f(x)为“敛 C 函数”.现给出如下函数: ①f(x)=x(x∈Z);②f(x)=( ) +1(x∈Z);③f(x)=log2x;④f(x)= 其中为“敛 1 函数”的有( C ) (A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③ 解析:对于函数①,取ξ = ,
x

.

因为 x∈Z,找不到 x,使得 0<|x-1|< 成立, 所以函数①不是“敛 1 函数”; 对于函数②,当 x→+∞时,( ) →0,
x

所以( ) +1→1, 所以对任意的正数ξ ,总能找到一个足够大的正整数 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立, 故函数②是“敛 1 函数”; 对于函数③,当 x→2 时,log2x→log22=1, 所以对于无论多大或多小的正数ξ ,总会找到一个 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立, 故函数③是“敛 1 函数”; 对于函数④,函数式可化为 y=1- ,

x

所以当 x→+∞时, →0,

即 1- →1, 所以对于无论多小的正数ξ ,总会找到一个足够大的正数 x,使得 0<|f(x)-1|<ξ 成立, 故故函数④是“敛 1 函数”. 故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 z=(m-1)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 解析:因为 z=(m-1)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数, 所以

.

5

解得 m=1.所以 z=-i, 则复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(0,-1), 答案:(0,-1) 14.(2016 南昌二模)观察下面数表: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 ?? 设 1 027 是该表第 m 行的第 n 个数,则 m+n 等于 . 解析:根据上面数表的数的排列规律, 1,3,5,7,9?都是连续奇数, 第一行 1 个数, 1 2 第二行 2=2 个数,且第 1 个数是 3=2 -1, 2 3 第三行 4=2 个数,且第 1 个数是 7=2 -1, 3 4 第四行 8=2 个数,且第 1 个数是 15=2 -1, ? 9 10 第 10 行有 2 个数,且第 1 个数是 2 -1=1 023, 第 2 个数为 1 025,第 3 个数为 1 027, 所以 1 027 是第 10 行的第 3 个数, 所以 m=10,n=3,所以 m+n=13. 答案:13 15.执行如图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的值是

.

解析:由输入 l=2,m=3,n=5, 计算得出 y=278>105, 由此得到 y=173>105, 再循环一次得到 y=68<105, 所以输出 68. 答案:68

6

16.(2016 宣武模拟)曲线 C 的方程为 + =1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件 A=“方程

+ =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,那么 P(A)=

.

解析:试验中所含基本事件个数为 36;若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉 6 种可能, 又椭圆焦点在 x 轴上,故 m>n,故只剩下一半情况,即有 15 种, 因此 P(A)= = .

答案: 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证: +
2

≥ .
2

证明:构造函数 f(x)=(x-a1) +(x-a2) , f(x)=2x -2(a1+a2)x+ + =2x -2x+ + . 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0, 所以Δ =4-8( + )≤0,从而得 + ≥ . (1)若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,请写出上述问题的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明. (1)解:若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1. 求证: + +?+ ≥ .
2 2

(2)证明:构造函数 2 2 2 f(x)=(x-a1) +(x-a2) +?+(x-an) =nx -2(a1+a2+?+an)x+ + =nx -2x+ +
2 2

+?+

+?+ .

因为对一切 x∈R,都有 f(x)≥0, 所以Δ =4-4n( + +?+ )≤0,

从而证得 +

+?+ ≥ .

7

18.(本小题满分 12 分) (2016 南昌市一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取 50 个进行调研,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100] 得到的频率分布直方图如图所示,若要在成绩较高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进行复查. (1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第 5 组,求学生甲或学生乙被选中复查的概率; (2)在已抽取到的 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受篮球项目的考核,求其中一人在第 3 组,另一人在第 4 组的 概率.

解:(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件 A, 第 3 组人数为 50×0.06×5=15, 第 4 组人数为 50×0.04×5=10, 第 5 组人数为 50×0.02×5=5, 根据分层抽样知,第 3 组应抽取 3 人,第 4 组应抽取 2 人,第 5 组应抽取 1 人, 所以 P(A)= . (2)记第 3 组选中的三人分别是 A1,A2,A3, 第 4 组选中的二人分别为 B1,B2, 第 5 组选中的人为 C,从这六人中选出两人, 有以下基本事件:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共 15 个基本事件, 符合一人在第 3 组,另一人在第 4 组的基本事件有 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共 6 个, 所以所求概率 P= = . 19.(本小题满分 12 分) 某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前 5 个月的产量如下: 月份 x 游艇数 y(艘) 1 2 2 3 3 5 4 7 5 8

(1)设 y 关于 x 的回归直线方程为 y=bx+a.现根据表中数据已经正确计算出了 b 的值为 1.6,试求 a 的值,并估计 该厂 6 月份的产量;(计算结果精确到 1) (2)质检部门发现该厂 1 月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前 两个月生产的游艇 2 艘,求该旅游公司有游艇被召回的概率. 解:(1) = =3,

=

=5.

8

因为回归直线 y=bx+a 过点( , ), 所以 a= -a =5-1.6×3=0.2, 所以 y=1.6x+0.2, 当 x=6 时,y=1.6×6+0.2=9.8≈10, 所以估计该厂 6 月份的产量为 10 艘. (2)法一 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1,a2,二月份生产的 3 艘游艇为 b1,b2,b3, 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有{a1,a2}, {a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}共 10 种, 其中 2 艘游艇全为二月份生产的结果有{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共 3 种, 所以两艘游艇全部为二月份生产的概率为 P= ,

所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 1-P= ,

即该旅游公司有游艇被召回的概率为 . 法二 设一月份生产的 2 艘游艇为 a1,a2,二月份生产的 3 艘游艇为 b1,b2,b3, 旅游公司向该厂购买了一、二月份生产的两艘游艇的所有可能结果有 {a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3},共 10 种, 其中,两艘游艇中至少一艘为一月份生产的结果有{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2}, {a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},共 7 种, 所以两艘游艇中至少一艘为一月份生产的概率为 P= ,

即该旅游公司有游艇被召回的概率为 . 20.(本小题满分 12 分) (2016 安徽示范高中模拟)某数学老师对本校高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1∶50 进行分层抽样抽 取 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失)得到的频率分布表如下: 分数段 (分) 频数 频率 a 0.25 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) b [130,150) 合计

9

(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在 [90,150]范围内为及格). (2)从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率. 解:(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人, 在[110,130)范围内的有 3 人, 所以 a= =0.1,b=3.

又分数在[110,150)范围内的频率为 =0.25, 所以分数在[90,110)范围内的频率为 1-0.1-0.25-0.25=0.4, 所以分数在[90,110)范围内的人数为 20×0.4=8, 由茎叶图可知分数在[100,110)范围内的人数为 4 人, 所以分数在[90,100)范围内的学生数为 8-4=4. 20 人中数学成绩及格的学生为 13 人. 所以估计全校数学成绩及格率为 =65%. (2)设 A 表示事件“从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,平均得分大于等于 130 分”, 由茎叶图可知大于等于 110 分的有 5 人, 记这 5 人分别为 m,n,c,d,e, 则选取学生的所有可能结果为(m,n),(m,c),(m,d),(m,e),(n,c),(n,d),(n,e), (c,d),(c,e),(d,e),基本事件数为 10, 事件“2 名学生的平均得分大于等于 130 分”也就是“这 2 名学生的分数之和大于等于 260 分”, 所以可能结果为(118,142),(128,136),(128,142),(136,142)共 4 种情况,基本事件数为 4, 所以 P(A)= = . 21.(本小题满分 12 分) (2016 长春市质量监测二)根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的 1 000 位上网购物者的年龄情况如 图所示.

(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求 a,b 的值; (2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了 鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放 50 元的代金券,潜在消费人群每人发放 100 元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的 1 000 位上网购物者中抽取 5 人,并在这 5 人中随机抽取 3 人进行回访,求此三人获得代金券总和为 200 元的概率.

10

解:(1)由题图及题意可知 a=0.035,b=0.025. (2)利用分层抽样从样本中抽取 5 人,其中属于高消费人群的有 3 人,属于潜在消费人群的有 2 人.令高消费的 3 人为 A,B,C,潜在消费的 2 人为 a,b,从中取出三人,总共有 ABC,ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb,Aab,Bab,Cab,10 种 情况,其中 ABa,ABb,ACa,ACb,BCa,BCb 为获得代金券总和为 200 元的情况,因此,三人获得代金券总和为 200 元 的概率为 . 22.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x)= ,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; (2)是否存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立?若存在,求出 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)因为(ln x)′= ,f(1)=0,

所以 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,

g′(x)=

.令 g′(x)=0 得 x=1.

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0, 故(0,1)是 g(x)的单调递减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0, 故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间, 因此 x=1 是 g(x)的唯一极值点, 且为极小值点, 从而是最小值点,所以最小值为 g(1)=1. (2)满足条件的 x0 不存在.理由如下: 假设存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立,

即对任意 x>0,有 ln x<g(x0)<ln x+ .(*)

但对上述 x0,取 x1=

时,有 ln x1=g(x0),

这与(*)式左边不等式矛盾, 因此不存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立.

11


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