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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学上学期第五次月考试题(A卷)文


河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期第五四次月考 高二年级 文科数学 试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则 CU(A∪B)= ( A.{1,3,4} B. {3,4} C.{3} D.{4}

) )

2. 已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m? 平面 ? ,则“ ? ∥ ? ”是“ l ⊥m”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3. 设 ? , ? 为两个不同平面,m、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? , 有 两个命题: P:若 m∥n,则 ? ∥ ? ;q:若 m⊥ ? , 则 ? ⊥ ? . 那么 ( A.“p 或 q”是假命题 C.“非 p 或 q”是假命题 x +1,x≤1, ? ? 4. 设函数 f (x)=?2 ,x>1. ? ?x 1 A. 5 13 B. 9
2
2

)

B.“p 且 q”是真命题 D.“非 p 且 q”是真命题 则 f ( f (3))=( )

2 C. 3

D. 3

5. 若方程 C: x ?
?

y2 ? 1 ( a 是常数)则下列结论正确的是( a
?



A. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 w.w.w.5B. ?a ? R ,方程 C 表示双曲线 C. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 6. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2
?

D. ?a ? R ,方程 C 表示抛物线[学科

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
C. ?4 ) D.4



A. ?2

B. 2

7. 设 f ( x) ? ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. 2 B.

1 2

C.

ln 2 2

D. ln 2

8. F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 ? 450 ,则 Δ AF1F2 的 9 7

1

面积为(

) A

7 2

B

7 4

C

7

D

7 5 2


9. 如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2
B D

A m?2 C ?1 ? m ? 2

m ? 1或 m ? 2 ? 1 ? m ? 1或 m ? 2


10. 函数 f ( x) ? e x ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是( A. y ? 2e( x ? 1) C. y ? e( x ? 1) 11. 已知椭圆 C1 :

B. y ? ex ? 1 D. y ? x ? e

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P, 2 a b 使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是 ( )
A. [ ,1)

1 2

B. [

2 3 , ] 2 2

C. [

2 ,1) 2

D. [

3 ,1) 2

x2 y 2 12. 已知 A, B 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个端点, M , N 是椭圆上关于 x 轴对称的两 a b
点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 (k1k 2 ? 0) ,若椭圆的离心率为 为( ) B. 2 C. 3 D. 2

3 ,则 | k1 | ? | k 2 | 的最小值 2

A. 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,则双曲线的渐近线方 2 a

程为_________________
3 2 14. 函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? b 在 x ? 1 时取得极值,则实数 a ? _______

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双 15.设圆过双曲线 9 16
曲线中心的距离 为 .

2

16.设点 P 是椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 3b 2 的一个交点, F1 , F2 分别 2 a b
.

是椭圆的左、右焦点,且 | PF 1 |? 3 | PF2 | ,则椭圆的离心率为

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)在△ABC 中, A, B, C 为三个内角 a , b, c 为三条边, 且

?
3

?C ?

?
2

b sin 2C ? . a ? b sin A ? sin 2C

(I)判 断△ABC 的形状;

(II)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {an ? bn } 是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn 19.(本小题满分 12 分).如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45? , ?C ? 90? ,
?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD
F E
D B A

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? a7 ? ?23 , a3 ? a8 ? ?29 .

A

折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图乙),设点 E、 F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ)求证:DC ? 平面 ABC; (Ⅱ)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.

D
C 甲

B C 乙

20. (本小题满分 12 分)某普通高中高三年级共有 360 人,分三组进 行体质测试,在三个组中男、 女生人数如下表所示.已知在全体学生中随机抽取 1 名,抽到第二、三组中女生的概率分别是 0.15 、 0.1 . 第一组 第二组 第三组 y 86 女生 x 94 66 男生 z

? ? ? 求 x , y , z 的值; ? ?? ? 为了调查学生的课外活动时间,现从三个组中按1: 60 的比例抽取学生进行问卷调查,三个组被
选取的人数分别是多少?

? ??? ? 若从 ? ?? ? 中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈,求参加访谈的两名学生“来自两个组”
的概率.

3

21.(本小题满分 12 分)已知 函数 f(x)=

2 3 2 x -2ax +3x(x∈R). 3

(1)若 a=1,点 P 为曲线 y = f(x)上的一个动点,求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的 切线方程; (2)若函数 y = f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a.

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? 长轴的端点为 ? ? ?3,0 ? 、 ? ?3,0? ,且椭圆上的点到焦点的最 小距离是 1 .

? ? ? 求椭圆 ? 的标准方程;

? ?? ? ? 为原点, ? 是椭圆 ? 上异于 ? 、 ? 的任意一点,直线 ?? , ?? 分别 交 y 轴于 ? , ? ,问
???? ? ???? ????? 是否为定值,说明理由.

4

A卷

DADBB

高二第五次月考文科数学 答案 DBADC CA B 卷 BCCDA C DBAD

BB 16.

填空题 13.

4 y?? x 3

14. -2

15.

16 3

14 4

17.(1)解:由

b sin 2C ? 及正弦定理有: sin B ? sin 2C ..2 分 a ? b sin A ? sin 2C

∴ B ? 2C 或 B ? 2C ? ? 若 B ? 2C ,且

?

2 ∴ B ? 2C ? ? ,则 A ? C ,? 4 分

3

?C ?

?

,∴ ? ? B ? ? , B ? C ? ? (舍) ;..3 分

2 3

∴ ?ABC为等腰 三角形.????5 分
2 2 (2)∵ | BA ? BC |? 2 ,∴ a ? c ? 2ac ? cos B ? 4 ,∴ cos B ?

2 ? a2 (? a ? c) , a2 ??? ? ??? ? 2 1 4 2 而 cos B ? ? cos 2C ,∴ ? cos B ? 1,∴ 1 ? a ? ,∴ BA ? BC ? ( ,1) .?10 分 2 3 3

??? ? ??? ?

18. (Ⅰ)解:设等差数列 {an } 的公差是 d . 依题意 a3 ? a8 ? (a2 ? a7 ) ? 2d ? ?6 ,从而 d ? ?3 . 所以 a2 ? a7 ? 2a1 ? 7d ? ?23 ,解得 a1 ? ?1 . ??????2 分 ??????4 分

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 .

??????6 分

19.证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? ∴ ?ADB ? 45? , ?ABD ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD.又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 ABC. ???????? 6 分
5

(Ⅱ)解:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(Ⅰ)知,DC ? 平面 ABC, 1 ∴EF⊥平面 ABC, ∴ VA?BFE ? VF ? AEB ? S?AEB ? FE 3 在图甲中,∵ ?ADC ? 105? , ∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30? 1 1 1 1 由 CD ? a 得 BD ? 2a, BC ? 3a , EF ? CD ? a ∴ S?ABC ? AB ? BC ? ? 2a ? 3a ? 3a2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 3 3 2 a ? a? a . ∴ S?AEB ? ∴ VA? BFE ? ? ???????? 12 分 a 3 2 2 12 2 20.

B2C 共 15 个. -------------------------------------------------9 分

21.解:(Ⅰ)设切线的斜率为 k,则 k ? f ?( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 2( x ?1) ? 1 ?2 分
2 2

又 f (1) ?

5 5 ,所以所求切线的方程为: y ? ? x ? 1 ,即 3x ? 3 y ? 2 ? 0. ????4 分 3 3

2 (Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? 4ax ? 3 , 要使 y ? f ( x) 为单调增函数,必须满足 f ?( x) ? 0

即对任意的 x ? (0, ??), 恒有f ?( x) ? 0

????6 分

f ?( x) ? 2x2 ? 4ax ? 3 ? 0
?a ? 2x2 ? 3 x 3 ? ? 4x 2 4x
????9 分



x 3 6 6 6 ? ? ,当且仅当 x ? 时,等号成立, 所以 a ? 2 2 2 4x 2
6

所求满足条件的 a 值为 1 22.

?????????????12 分

7


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